Как найти площадь фигуры по клеткам параллелограмм

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы

---

В 18 задании нас ждут задачи с четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами. Необходимо знать формулы вычисления площади всех вышеперечисленных четырехугольников, а также их свойства.

В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается задание, связанное с нахождением площади фигуры.

Как найти площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга и сектора?

С одной стороны, мы знаем соответствующие формулы. Для выполнения большинства заданий этого будет вполне достаточно, но иногда надо проявить и определенную сообразительность. В некоторых случаях будет разумно представить
заданную геометрическую фигуру как сумму или как разность более простых фигур. Безусловно, площадь измеряется в соответствующих единицах. Например, если длины сторон фигуры заданы в сантиметрах, то вычисляемая площадь автоматически измеряется в квадратных сантиметрах. Чтобы не загромождать условие задачи информацией, которая при ее решении фактически не используется, единицы измерения, если они не существенны, не указаны.

Ответом в задании 16 является целое число или конечная десятичная дробь.

---

Теория к заданию №18

---

Приступим к разбору теории.

Выпуклый четырехугольник:

Правильный многоугольник:

• Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
• Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

Ниже я привожу формулы для вычисления элементов произвольного правильного многоугольника:

Разберем пример четырехугольника — ромб.

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

• Диагональ ромба является его осью симметрии.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами углов.

Трапеция:

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

Ниже я разобрал типовые примеры 11 задания. Давайте приступим к их рассмотрению.

---

Разбор типовых вариантов задания №18 ОГЭ по математике

---

Первый вариант задания

Решение:

Найдем угол BAD — это сумма углов, на которые диагональ делит этот угол, поэтому:

∠BAD = 35° + 30° = 65°

Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

Значит:

∠ABC = ∠ADC = 180 — 65 = 115°

∠BAD = ∠BCD = 65°

Так как нас просят найти меньший угол, то это 65.

Ответ: 65

---

Второй вариант задания

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, умноженную на высоту. Основания нам известны из условия, необходимо самим найти высоту:

После проведения высоты, у нас получается прямоугольный треугольник. Прямоугольный — потому что высота проводится к основанию под углом 90 градусов. Один из углов равен 45°, значит, и второй тоже, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, треугольник равнобедренный.

Проведя еще одну высоту, мы получим прямоугольник в центре, та с противоположной стороной, равной основанию 3.

Так как трапеция равнобедренная, то и треугольники равны, значит оставшаяся длина делится пополам:

( 9 — 3 ) / 2 = 3

А так как треугольники равнобедренные, то и высота равна 3.

Отсюда можем найти площадь:

S = ( a + b ) • h / 2 = ( 3 + 9 ) • 3 / 2 = 18

Ответ: 18

---

Третий вариант задания

Решение:

Средняя линия трапеции является еще и средней линией для треугольников, на которые трапецию поделила её диагональ. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому отрезки, на которые делит диагональ среднюю линию, будут равны:

10 / 2 = 5

11 / 2 = 5,5

Так как нас просят найти больший из отрезков, то ответ 5,5.

Ответ: 5,5

---

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Решение:

Для решения необходимо помнить и знать формулу для вычисления площади трапеции, а это

«полусумма оснований умноженная на высоту»

Непонятно, зачем нам дана информация о значениях длин отрезков, тем не менее решение выглядит так:

1. Верхнее основание равно 7
2. Нижнее основание равно 9 + 12 = 21
3. Полусумма (21 + 7) / 2 = 14
4. Высота равна 12

Таким образом, площадь равна 14 • 12 = 168 см²

Ответ: 168

---

Четвертый вариант задания

Решение:

Площадь ромба будем искать по формуле:

S=ah,

где a – сторона ромба, h– высота, опущенная на сторону а.

По условию а=4.

Найдем h. Для этого рассмотрим  ∆ОКС и ∆АРС:

Здесь ОК || АР, причем ОК проходит через середину АС (т.к. АВСD ромб, то его диагонали в т.О делятся пополам). Значит, ОК – ср.линия ∆АРС. Поэтому АР=2ОК. Т.к. пор условию ОК=1, то АР=2·1=2. Т.о., h=АР=2.

Отсюда получаем:

S=4·1=4.

Ответ: 4

---

Пятый вариант задания

Решение:

Т.к. АК биссектриса, то углы ВАК и КАD равны. Обозначим ∠ВАК через х.

Поскольку АВСD параллелограмм, то ∠В+∠А=180⁰. Т.к. АК биссектриса, то ∠А=2х. Тогда ∠В=180⁰–2х.

Рассм. ∆АВК:

По теореме о сумме углов треуг-ка ∠ВАК+∠В+∠ВКА=180⁰.

По условию ∠ВКА = 41⁰.

Отсюда получаем:

х+ 180⁰–2х+41⁰=180⁰

х–2х=180⁰–180⁰–41⁰

–х=–41⁰

х=41⁰

Значит, искомый (острый) ∠А=2·41⁰=82⁰

Ответ: 82

Решение заданий №19(задания на
клетчатой бумаге)

1.Основные типы задач

1.     
Определение тангенса угла;

2.     
Определение площади фигуры (ромба, трапеции,
параллелограмма, треугольника);

3.     
Определение расстояния от точки до прямой
(отрезка);

4.     
Определение длины средней линии треугольника и
трапеции;

5.     
Определение длины большего катета, большей
диагонали;

6.     
Определение площади сложных или составных фигур;

7.     
Определение градусной меры вписанного угла.

            1.Определение
тангенса угла

Задача
1

Най­ди­те
тангенс угла А тре­уголь­ни­ка ABC, изображённого
на рисунке 1.

Решение: Ответ: 0,4.

Рис.1

Задача 2

Найдите
тангенс угла AOB, изображённого 
на рисунке 3.

Решение: 1.      Достроим до прямоугольного треугольника СОВ. 2. Ответ: 2.

Рис. 3

2. Определение площади фигуры

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм (рис. 7).
Найдите его площадь.

Решение: 1.    Проведем высоту. 2.  Основание 5      Высота 2 2.      Найдем площадь Ответ: 10.

Рис. 7

.

Задача 2

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб (рис. 9).
Найдите площадь этого ромба.

Решение: 1. Проведем диагонали. 2. Найдем площадь Ответ: 30.

Рис. 9

3. Определение расстояния от
точки до прямой (отрезка)

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены три
точки: A, B и C (рис. 11). Найдите расстояние от
точки A до середины отрезка BC.

Решение: 1.      Построим отрезок ВС и отметим его середину т.О. 2. Соединим т.А с т.О. Получа- ем нужное расстояние: Ответ: 8

Рис. 11

4. Определение длины средней линии
треугольника и трапеции

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC
(рис. 14). Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение: Средняя линия  Ответ: 4.

Рис. 14

Задача 2

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция (рис. 15). Найдите
длину её средней линии.

Основания трапеции соответствен-но равны 7 и 1 Средняя линия  Ответ: 4.

Рис.15

5. Определение длины большего катета, большей диагонали

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный
треугольник (рис. 16). Найдите длину его большего катета.

Решение: По рисунку видно, что длина большего катета = 6. Ответ: 6.

Рис. 16

6. Определение площади сложных
или составных фигур

Задача 1

На
клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура (рис. 18). Найдите её
площадь.

Решение: Посчитаем ко­ли­че­ство кле­ток внут­ри за­кра­шен­ной области: их 19 Ответ: 19.

Рис. 18

Задача 2

Пло­щадь
одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке
19.

Решение: 1 способ (рис. 19.1) Найдём пло­щадь дан­ной фи­гу­ры по фор­му­ле Пика: Ответ: 20,5.	Рис. 19 Рис. 19.1
Решение: 2 способ (рис.19.2) Площадь дан­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и двух треугольников: Ответ: 20,5.	Рис. 19.2

Задачи для самостоятельно решения

       
I.           
Определение
тангенса угла

1.       Найдите тангенс угла А треугольника, изображённого на рисунке.

2.      Найдите тангенс угла С треугольника ABC, изображённого на рисунке.

3.      Найдите тангенс угла AOB,
изображённого на рисунке.

4.       Найдите тангенс углаAOB,
изображённого на рисунке.

5.      Найдите тангенс углаAOB,
изображённого на рисунке.

6.      Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

7.      Найдите
тангенс углаAOB.

8.      Найдите тангенс углаAOB.

9.      Найдите тангенс угла  AOB.

10.   
Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

     II.           
Определение площади фигуры (ромба, трапеции,
параллелограмма, треугольника)

1.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.
Найдите его площадь.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

3.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный
треугольник.

4.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён ромб. Найдите его площадь.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

6.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

7.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

  III.           
Определение расстояния от точки до прямой
(отрезка)

1.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до
пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

2.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС.
Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах. 

3.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние
от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС. Ответ вы­ра­зи­те
в сантиметрах.

4.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки А, В и С.
Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС.
Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

5.      На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны
точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние
от точки А до пря­мой BC. Ответ вы­ра­зи­те в сантиметрах.

   IV.           
Определение длины средней линии треугольника
и трапеции

1.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

2.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

3.      На клет­ча­той бу­ма­ге с
раз­ме­ром клет­ки 1×1 изображён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину
его средней линии, параллельной сто­ро­не AC.

4.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

6.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

     V.           
Определение длины большего катета, большей
диагонали

1.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

3.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его
большего катета.

4.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину
его большей диагонали.

5.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

   VI.           
Определение площади сложных или составных
фигур

1.      На клетчатой бумаге с размером
клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

2.      На клетчатой бумаге с
размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

3.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её
площадь.

4.      На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её
площадь.

5.      Пло­щадь одной клет­ки равна
1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

6.      Пло­щадь одной клет­ки равна
1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

VII.           
Определение площади сложных или составных
фигур

1.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

2.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

3.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

4.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

5.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

6.      Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.