Как найти площадь фигуры заданной формулой - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Данный калькулятор поможет найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла. Это свойство аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функции.

Аддитивность означает, что площадь замкнутой области, составленных из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур. Интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций. Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.
Калькулятор поможет вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн.

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая определяет ось , прямые параллельны оси и парабола симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке график функции расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ: – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке над осью расположен график прямой ;
2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Нахождение
площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x),
x=g(y).

В
разделе геометрический
смысл определенного интеграла мы
разобрались с нахождением площади
криволинейной трапеции G.
Вот полученные формулы:

для
непрерывной и неотрицательной
функции y=f(x) на
отрезке[a;b],
для
непрерывной и неположительной
функции y=f(x) на
отрезке[a;b].

Однако
при решении задач на нахождение площади
очень часто приходится иметь дело с
более сложными фигурами.

В
этой статье мы поговорим о вычислении
площади фигур, границы которых заданы
функциями в явном виде, то есть,
как y=f(x) или x=g(y),
и подробно разберем решение характерных
примеров.

Навигация
по странице.

Формула
для вычисления площади фигуры,
ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
Примеры
вычисления площади фигуры, ограниченной
линиями y=f(x) или x=g(y).

Формула
для вычисления площади фигуры, ограниченной
линиями y=f(x) или x=g(y).

Теорема.

Пусть
функции  и  определены
и непрерывны на отрезке [a;b],
причем  для
любого значения x из [a;b].
Тогда площадь
фигуры G,
ограниченной линиями x=a, x=b,  и  вычисляется
по формуле .

Аналогичная
формула справедлива для площади фигуры,
ограниченной линиями y=c,y=d, и : .

Доказательство.

Покажем
справедливость формулы для трех случаев:

В
первом случае, когда обе функции
неотрицательные, в силу свойства
аддитивности площади сумма
площади исходной фигуры G и
криволинейной трапеции равна
площади фигуры .
Следовательно,

Поэтому, .
Последний переход возможен в силу
третьего свойства
определенного интеграла.

Аналогично,
во втором случае справедливо равенство .
Вот
графическая иллюстрация:

В
третьем случае, когда обе функции
неположительные, имеем .
Проиллюстрируем
это:

Теперь
можно переходить к общему случаю, когда
функции и пересекают
ось Ox.

Обозначим
точки пересечения .
Эти точки разбивают отрезок [a;
b]на n частей ,
где .
Фигуру Gможно
представить объединением фигур .
Очевидно, что на своем интервале попадает
под один из трех рассмотренных ранее
случаев, поэтому их площади находятся
как

Следовательно,

Последний
переход справедлив в силу пятого свойства
определенного интеграла.

Графическая
иллюстрация общего случая.

Таким
образом, формула доказана.

Пришло
время перейти к решению примеров на
нахождение площади фигур, ограниченных
линиями y=f(x) и x=g(y).

К
началу страницы

Примеры
вычисления площади фигуры, ограниченной
линиямиy=f(x) или x=g(y).

Решение
каждой задачи будем начинать с построения
фигуры на плоскости. Это нам позволит
сложную фигуру представить как объединение
более простых фигур. При затруднениях
с построением обращайтесь к статьям: основные
элементарные функции, их свойства и
графики; геометрические
преобразования графиков функций и исследование
функции и построение графика.

Пример.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной параболой и
прямыми , x=1, x=4.

Решение.

Построим
эти линии на плоскости.

Всюду
на отрезке [1;4] график
параболы выше
прямой .
Поэтому, применяем полученную ранее
формулу для площади и вычисляем
определенный интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница:

Немного
усложним пример.

Пример.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

В
чем здесь отличие от предыдущих примеров?
Ранее у нас всегда были две прямых,
параллельных оси абсцисс, а сейчас
только одна x=7.
Сразу возникает вопрос: где взять второй
предел интегрирования? Давайте для
этого взглянем на чертеж.

Стало
понятно, что нижним пределом интегрирования
при нахождении площади фигуры является
абсцисса точки пересечения графика
прямой y=x и
полу параболы .
Эту абсциссу найдем из равенства:

Следовательно,
абсциссой точки пересечения является x=2.

Обратите
внимание.

В
нашем примере и по чертежу видно, что
линии и y=x пересекаются
в точке(2;2) и
предыдущие вычисления кажутся излишними.
Но в других случаях все может быть не
так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда
аналитически вычислять абсциссы и
ординаты точек пересечения линий.

Очевидно,
график функции y=x расположен
выше графика функции на
интервале [2;7].
Применяем формулу для вычисления
площади:

Еще
усложним задание.

Пример.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной графиками
функций и .

Решение.

Построим
график обратной пропорциональности и
параболы .

Прежде
чем применять формулу для нахождения
площади фигуры, нам нужно определиться
с пределами интегрирования. Для этого
найдем абсциссы точек пересечения
линий, приравняв выражения и .

При
отличных от нуля значениях x равенство эквивалентно
уравнению третьей степени с
целыми коэффициентами. Можете обратиться
к разделу решение
кубических уравнений чтобы
вспомнить алгоритм его решения.

Легко
проверить, что x=1 является
корнем этого уравнения: .

Разделив
выражение на
двучлен x-1,
имеем:

Таким
образом, оставшиеся корни находятся из
уравнения :

Теперь
из чертежа стало видно, что фигура G заключена
выше синей и ниже красной линии на
интервале .
Таким образом, искомая площадь будет
равна

Рассмотрим
еще один характерный пример.

Пример.

Вычислить
площадь фигуры, ограниченной кривыми и
осью абсцисс.

Решение.

Сделаем
чертеж.

–
это обычная степенная функция с
показателем одна треть, график
функции можно
получить из графика отобразив
его симметрично относительно оси абсцисс
и подняв на единицу вверх.

Найдем
точки пересечения всех линий.

Ось
абсцисс имеет уравнение y=0.

Графики
функций и y=0 пересекаются
в точке (0;0) так
как x=0 является
единственным действительным корнем
уравнения .

Графики
функций и y=0 пересекаются
в точке (2;0),
так как x=2является
единственным корнем уравнения .

Графики
функций  и  пересекаются
в точке (1;1),
так как x=1является
единственным корнем уравнения .
Это утверждение не совсем очевидно,
но  –
функция строго возрастающая, а  –
строго убывающая, поэтому, уравнение  имеет
не более одного корня.

Как
же действовать дальше? Здесь есть
несколько вариантов.

Можно
фигуру G представить
суммой двух криволинейных трапеций.
Первая фигура расположена выше оси
абсцисс и ниже синей линии на отрезке ,
вторая фигура расположена выше оси
абсцисс и ниже красной линии на отрезке .
Следовательно,
искомая площадь будет равна .
Можно
фигуру G представить
разностью двух фигур. Первая фигура
является криволинейной трапецией и
расположена выше оси Ox и
ниже синей линии на отрезке ,
вторая фигура расположена выше красной
и ниже синей линии на отрезке .
В
этом случае площадь представляем как .
А
можно фигуру G рассматривать
на отрезке ,
заключенной правее синей линии и левее
красной. Вот
на этом варианте и остановимся.

Единственное
замечание: в этом случае для нахождения
площади придется использовать формулу
вида .
То есть, ограничивающие линии нужно
представить в виде функций от аргумента y.
Это сделать в нашем случае достаточно
легко. Разрешим уравнения и относительно x:

Таким
образом, искомая площадь равна

Мы
бы пришли к этому же результату и в двух
других случаях.

Можно
переходить к последнему примеру.

Пример.

Вычислить
площадь плоской фигуры, ограниченной
линиями .

Решение.

С
построением этих линий проблем возникнуть
не должно. На чертеже красной линией
изображен график функции ,
синей линией ,
а черной линией .

Определим
точки пересечения линий.

Начнем
с графиков функций и :

Найдем
точку пересечения графиков функций и :

Осталось
найти точку пересечения прямых и :

Дальше
можно поступить двояко:

Площадь
искомой фигуры можно представить суммой
площадей фигур, изображенных на рисунке

Тогда
площадь фигуры равна:

Также
можно было площадь исходной фигуры
выразить суммой площадей, показанных
на чертеже

Для
этого случая, перед применением формулы
для вычисления площади фигуры, разрешим
уравнения линий относительно x:

Таким
образом, площадь равна:

Как
видите, значения совпадают.

К
началу страницы

Подведем
итог.

Мы
разобрали все наиболее часто встречающиеся
случаи нахождения площади фигуры,
ограниченной явно заданными линиями.
Для этого нужно уметь строить линии на
плоскости, находить точки пересечения
линий и применять формулу для нахождения
площади, что подразумевает наличие
навыков вычисления определенных
интегралов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ_а^b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл ʃ_а^b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ_а^b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ_а^b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ_а^b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х³,
{у = 1.

Таким образом, имеем х₁ = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S_DACE – S_DABE = ʃ₁² x³ dx – 1 = x⁴/4|₁² – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ_а^b(√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫₄⁹ (√x – 2)dx = ∫₄⁹√x dx –∫₄⁹ 2dx = 2/3 x√х|₄⁹– 2х|₄⁹= (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х³ – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х³ – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x² – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у_min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х³ – 4х = 0 или х(х² – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х₁ = 0, х₂ = 2, х₃ = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х³ – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ₀² (x³ – 4x)dx|.

Имеем: ʃ₀² (x³ – 4х)dx =(x⁴/4 – 4х²/2)|₀²= -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х² – 2х + 1, прямыми х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х₀ = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х² – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х₀ = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у₀ = 2 · 2² – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х² – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г_у = 2х² – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение 2х² – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x_b = -b/2a;

x_b = 2/4 = 1/2;

y_b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S_О_A_В_D = S_OABC – S_ADBC.

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S_ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S_ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

S_OABC = ʃ₀²(2x² – 2х + 1)dx = (2x³/3 – 2х²/2 + х)|₀² = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S_О_A_В_D = S_OABC – S_ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

Источник

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции y=f(x) . В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь выражается формулой

${ S= intlimits_{a}^{b} f(x),dx,.}$

(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции y=f(x) . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

$sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_kleqslant Sleqslant sum_{k=0}^{n-1} M_kDelta x_k,,$

где $sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k$ — площадь внутренней ступенчатой фигуры, $sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k$ —площадь внешней ступенчатой фигуры, $m_k=min_{xin [x_k;x_{k+1}]}f(x)$ и $M_k=max_{xin[x_k;x_{k+1}]}f(x)$ . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

$sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_kleqslant intlimits_{a}^{b} f(x),dxleqslant sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,.$

Таким образом, числа и $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ разделяют одни и те же числовые множества: $Biggl{,sum_{k=0}^{n-1}m_kDelta x_k,Biggr},$ $Biggl{,sum_{k=0}^{n-1}M_kDelta x_k,Biggr}$ . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому $S=intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции y=f_1(x) , сверху графиком функции y=f_2(x) , а слева и справа прямыми x=a,~x=b (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

$S= intlimits_{a}^{b}bigl[f_2(x)-f_1(x)bigr]dx,.$

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями и высотами f(x) .

Площадь фигуры между двумя графиками функций

Пусть теперь функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции .

Рассмотрим фигуру Phi , симметричную фигуре относительно оси . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y=f(x) , которая на [a;b] принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

Интегрирование знакопеременной функции

$S(Phi)= intlimits_{a}^{b} bigl(-f(x)bigr)dx$ . Но S(Phi)=S(F).

Значит,

$S(F)= intlimits_{a}^{b} bigl(-f(x)bigr)dx= -intlimits_{a}^{b} f(x),dx,.$

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ дает значение площади криволинейной трапеции с точностью до знака. Если же функция меняет знак на отрезке [a;b] в конечном числе точек, то значение интеграла $intlimits_{a}^{b} f(x),dx$ дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции y=f(x) , отрезками оси и, быть может, отрезками, параллельными оси (рис. 32).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=e^x , осью абсцисс и прямыми x=1,~x=2 (рис. 33).

Решение. Имеем: $S= intlimits_{1}^{2} e^x,dx= Bigl.{e^x}Bigr|_{1}^{2}= e^2-e= e(e-1)$ (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы y^2=4x и отрезком прямой x=2 (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

$S= 2int_{0}^{2}2sqrt{x},dx= left.{frac{4x^{3/2}}{3/2}}right|_{0}^{2}= frac{8}{3}cdot 2^{3/2}= frac{16}{3}sqrt{2},.$

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y^2=9x,~ y=3x (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника OAB и прямоугольного треугольника OAB:

$S= intlimits_{0}^{1} sqrt{9x},dx- intlimits_{0}^{1} 3x,dx= left.{3cdot frac{x^{3/2}}{3/2}}right|_{0}^{1}- left.{3cdot frac{x^2}{2} }right|_{0}^{1}= 2-frac{3}{2}= frac{1}{2},.$

Площадь фигуры, ограниченной кривой, осью абсцисс и двумя прямыми

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой a(y^2-x^2)+x^3=0 .

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси . Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Площадь фигуры, ограниченной петлёй кривой

Записав уравнение кривой в виде $y^2=frac{x^2}{a}(a-x)$ , найдем точки пересечения ее с осью , положив y=0colon, x_1=0,~ x_2=a . Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

$frac{1}{2}S= frac{1}{sqrt{a}} intlimits_{0}^{a} xsqrt{a-x},dx,.$

Воспользовавшись формулой из таблицы при a=-1,~ b=a , получим:

$intlimits_{0}^{a} xsqrt{a-x},dx= left.{frac{2(-3x-2a)sqrt{(a-x)^3}}{15}}right|_{0}^{a}= frac{4}{15},a^{5/2},.$

Значит, окончательно имеем:

$frac{1}{2}S= frac{1}{sqrt{a}}cdot frac{4}{15},a^{5/2}= frac{4}{15},a^2quad Leftrightarrowquad S=frac{8}{15},a^2,.$

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть кривая y=f(x),~ f(x)geqslant0,~ aleqslant xleqslant b задана в параметрической форме

$begin{cases}x=varphi(t),\ y=psi(t),end{cases} alpha leqslant tleqslant b,,$

где функция x=varphi(t) монотонна на отрезке [alpha;beta] , причем varphi(alpha)=a, varphi(beta)=b , и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как y=f(x)= fbigl(varphi(t)bigr)= psi(t) , то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

$S= intlimits_{a}^{b} f(x),dx= intlimits_{alpha}^{beta} fbigl(varphi(t)bigr) varphi'(t),dt= intlimits_{alpha}^{beta} psi(t) varphi'(t),dt,.$

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

$S= intlimits_{alpha}^{beta} psi(t)varphi'(t),dt,.$

(5)

Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически $begin{cases} x=acos{t},,\ y=bsin{t},,end{cases} 0leqslant tleqslant 2pi,.$

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке A(a;0) соответствует значение t=0 , а точке B(0;b) — значение $t=frac{pi}{2}$ . Поэтому

$begin{aligned} S&= 4intlimits_{0}^{a}y,dx= -4intlimits_{0}^{pi/2}bsin{t}cdot(-asin{t}),dt= 4abintlimits_{0}^{pi/2} sin^2t,dt=\ &= 2abintlimits_{0}^{pi/2} bigl(1-cos2tbigr),dt= left.{2ab!left(t- frac{1}{2}sin2t right)}right|_{0}^{pi/2}= pi,ab,. end{aligned}$

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами ell и , выходящими из точки , и непрерывной кривой Gamma (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка . Пусть rho=rho(varphi) — полярное уравнение кривой Gamma , а varphi_0 и Phi — углы между полярной осью и лучами ell и соответственно. При этом пусть функция непрерывна на [varphi_0;Phi] .

Разобьем данный сектор на частей лучами

$varphi_0< varphi_1< varphi_2< ldots< varphi_k< varphi_{k+1}< ldots< varphi_n= Phi$

и рассмотрим k-й частичный сектор $[varphi_k; varphi_{k+1}]$ (рис. 39). Пусть r_k — наименьшее значение функции rho(varphi) в $[varphi_k; varphi_{k+1}]$ , a R_k — наибольшее значение функции в этом отрезке.

Площадь в полярных координатах и разбиение сектора на n частей

Построим два круговых сектора с радиусами r_k и R_k . Обозначим через Deltavarphi_k величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

$frac{1}{2}cdot r_k^2cdot Deltavarphi_k leqslant S_kleqslant frac{1}{2}cdot R_k^2cdot Deltavarphi_k,.$

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна $frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_k$ , а площадь внешней фигуры равна — $frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k$ . Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу s_P и S_P для интеграла $frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi$ . Так как функция rho(varphi) непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция . Поэтому для любого varepsilon найдется такое разбиение отрезка [varphi_0,Phi] , что S_P-s_P<varepsilon . Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади выполняются неравенства

Площадь, ограниченная одним лепестком полярной розы

$frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_kleqslant Sleqslant frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k,.$

(6)

В то же время по определению определенного интеграла

$frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 Deltavarphi_kleqslant frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi leqslant frac{1}{2} sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 Deltavarphi_k,.$

(7)

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

$S= frac{1}{2} intlimits_{varphi_0}^{Phi} rho^2(varphi),dvarphi,.$

(8)

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы rho=asin2varphi (рис. 40).

Решение. Значениям varphi=0 и $varphi=frac{pi}{2}$ соответствует rho=0 Поэтому

$S= frac{1}{2} intlimits_{0}^{pi/2} a^2sin^22varphi,dvarphi= frac{a^2}{2} intlimits_{0}^{pi/2} frac{1-cos4varphi}{2},dvarphi= left.{frac{a^2}{4}! left(varphi- frac{1}{4}sin4varphiright)}right|_{0}^{pi/2}= frac{a^2}{4}cdot frac{pi}{2}= frac{pi}{2},a^2,.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вам также может понравиться

Как найти слово в нескольких документах word

Как найти минимумы функций в эксель

No mans sky засыпанная технология как найти

Добавить комментарий Отменить ответ