Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №24. Вычисление площадей с помощью интегралов.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Нахождение площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью определенного интеграла.
2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница
3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница
Формула Ньютона – Лейбница
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].
Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции
формула Ньютона – Лейбница
Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым. ( зависит от расположения криволинейной трапеции)
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y= x, y = 5 – x, x = 1, x = 2, используя определенный интеграл.
Решение. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b).
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а) .
Рассчитываем разность F(b) – F(а) , это и будет ответ
№2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=4-х2,у=3х, у=0 и находящейся в 1-й четверти.
Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а) .
Рассчитываем разность F(b) – F(а) , это и будет ответ.
Решение. S=SOAB +SABC
№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)2, ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х
Решение:
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.
Сначала находим первообразную функцию F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .
Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а) .
Рассчитываем разность F(b) – F(а), это и будет ответ.
Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:
Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.
В нашей задаче: прямая 
определяет ось 
, прямые 
параллельны оси 
и парабола 
симметрична относительно оси 
, для неё находим несколько опорных точек:
Искомую фигуру желательно штриховать:
Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке 
график функции 
расположен над осью 
, поэтому искомая площадь:
Ответ: 
После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.
И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и осью 
Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью 
:
Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
и координатными осями.
Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:
и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:
Если криволинейная трапеция расположена не выше оси 
, то её площадь можно найти по формуле: 
.
В данном случае: 
Ответ: 
– ну что же, очень и очень похоже на правду.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:
Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы 
и прямой 
, поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:
таким образом:
Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».
С прямой 
всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:
Выполним чертеж:
А теперь рабочая формула: если на отрезке 
некоторая непрерывная функция 
больше либо равна непрерывной функции 
, то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых 
, можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.
В нашем примере очевидно, что на отрезке 
парабола располагается выше прямой, а поэтому из 
нужно вычесть 
Завершение решения может выглядеть так:
На отрезке 
: 
, по соответствующей формуле:
Ответ: 
Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы 
. Поскольку ось 
задаётся уравнением 
, то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу 
либо 
А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения
Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:
а) 
, 
.
б) 
, 
, 
Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги
В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:
Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
Решение: выполним бесхитростный чертёж,
хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую 
можно недочертить до оси 
, и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.
Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:
1) на отрезке 
над осью 
расположен график прямой 
;
2) на отрезке 
над осью 
расположен график гиперболы 
.
Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:
Ответ: 
И познавательный пример для самостоятельного решения:
Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
и координатными осями.
Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:
На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс 
зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.
Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.
Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой 
и прямой 
, где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:
и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, 
– верхний предел.
Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция 
(Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html
После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.
Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле 
, все основные вариации мы разобрали выше.
Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.
Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!
1.9. Объём тела вращения
1.7. Геометрический смысл определённого интеграла
| Оглавление |
Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:
S(G)=∫abf(x)dx для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],
S(G)=-∫abf(x)dx для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].
Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y=f(x) или x=g(y).
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Пусть функции y=f1(x) и y=f2(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем f1(x)≤f2(x) для любого значения x из [a;b]. Тогда формула для вычисления площади фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f1(x) и y=f2(x) будет иметь вид S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx.
Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, x=g1(y) и x=g2(y): S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y)dy.
Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.
В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G1 равна площади фигуры G2. Это значит, что
Поэтому, S(G)=S(G2)-S(G1)=∫abf2(x)dx-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx.
Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.
Во втором случае справедливо равенство: S(G)=S(G2)+S(G1)=∫abf2(x)dx+-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx
Графическая иллюстрация будет иметь вид:
Если обе функции неположительные, получаем: S(G)=S(G2)-S(G1)=-∫abf2(x)dx–∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx . Графическая иллюстрация будет иметь вид:
Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y=f1(x) и y=f2(x) пересекают ось Ox.
Точки пересечения мы обозначим как xi, i=1, 2,…, n-1. Эти точки разбивают отрезок [a; b] на n частей xi-1; xi, i=1, 2,…, n, где α=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. Фигуру G можно представить объединением фигур Gi, i=1, 2,…, n. Очевидно, что на своем интервале Gi попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S(Gi)=∫xi-1xi(f2(x)-f1(x))dx, i=1, 2,…, n
Следовательно,
S(G)=∑i=1nS(Gi)=∑i=1n∫xixif2(x)-f1(x))dx==∫x0xn(f2(x)-f(x))dx=∫abf2(x)-f1(x)dx
Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.
Проиллюстрируем на графике общий случай.
Формулу S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx можно считать доказанной.
А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y=f(x) и x=g(y).
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)
Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.
Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y=-x2+6x-5 и прямыми линиями y=-13x-12, x=1, x=4.
Решение
Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.
На отрезке [1;4] график параболы y=-x2+6x-5 расположен выше прямой y=-13x-12. В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:
S(G)=∫14-x2+6x-5–13x-12dx==∫14-x2+193x-92dx=-13×3+196×2-92×14==-13·43+196·42-92·4–13·13+196·12-92·1==-643+1523-18+13-196+92=13
Ответ: S(G)=13
Рассмотрим более сложный пример.
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x+2, y=x, x=7.
Решение
В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x=7. Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.
Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.
Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы y=x+2. Для нахождения абсциссы используем равенства:
y=x+2ОДЗ: x≥-2×2=x+22×2-x-2=0D=(-1)2-4·1·(-2)=9×1=1+92=2∈ОДЗx2=1-92=-1∉ОДЗ
Получается, что абсциссой точки пересечения является x=2.
Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y=x+2 , y=x пересекаются в точке (2;2), поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.
На интервале [2;7] график функции y=x расположен выше графика функции y=x+2 . Применим формулу для вычисления площади:
S(G)=∫27(x-x+2)dx=x22-23·(x+2)3227==722-23·(7+2)32-222-23·2+232==492-18-2+163=596
Ответ: S(G)=596
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y=1x и y=-x2+4x-2.
Решение
Нанесем линии на график.
Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1x и -x2+4x-2. При условии, что x не равно нулю, равенство 1x=-x2+4x-2становится эквивалентным уравнению третьей степени -x3+4×2-2x-1=0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».
Корнем этого уравнения является х=1: -13+4·12-2·1-1=0.
Разделив выражение -x3+4×2-2x-1 на двучлен x-1, получаем: -x3+4×2-2x-1⇔-(x-1)(x2-3x-1)=0
Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x2-3x-1=0:
x2-3x-1=0D=(-3)2-4·1·(-1)=13×1=3+132≈3.3 ; x2=3-132≈-0.3
Мы нашли интервал x∈1; 3+132, на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:
S(G)=∫13+132-x2+4x-2-1xdx=-x33+2×2-2x-ln x13+132==-3+13233+2·3+1322-2·3+132-ln3+132—133+2·12-2·1-ln 1=7+133-ln3+132
Ответ: S(G)=7+133-ln3+132
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y=x3, y=-log2x+1 и осью абсцисс.
Решение
Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y=-log2x+1 из графика y=log2x, если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у=0.
Обозначим точки пересечения линий.
Как видно из рисунка, графики функций y=x3 и y=0 пересекаются в точке (0;0). Так получается потому, что х=0 является единственным действительным корнем уравнения x3=0.
x=2 является единственным корнем уравнения -log2x+1=0, поэтому графики функций y=-log2x+1 и y=0 пересекаются в точке (2;0).
x=1 является единственным корнем уравнения x3=-log2x+1. В связи с этим графики функций y=x3 и y=-log2x+1 пересекаются в точке (1;1). Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x3=-log2x+1 не может иметь более одного корня, так как функция y=x3 является строго возрастающей, а функция y=-log2x+1 строго убывающей.
Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.
Вариант №1
Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x∈0; 1, а вторая ниже красной линии на отрезке x∈1;2. Это значит, что площадь будет равна S(G)=∫01x3dx+∫12(-log2x+1)dx.
Вариант №2
Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x∈0; 2, а вторая между красной и синей линиями на отрезке x∈1; 2. Это позволяет нам найти площадь следующим образом:
S(G)=∫02x3dx-∫12×3-(-log2x+1)dx
В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y))dy. Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y.
Разрешим уравнения y=x3 и -log2x+1 относительно x:
y=x3⇒x=y3y=-log2x+1⇒log2x=1-y⇒x=21-y
Получим искомую площадь:
S(G)=∫01(21-y-y3)dy=-21-yln 2-y4401==-21-1ln 2-144–21-0ln 2-044=-1ln 2-14+2ln 2=1ln 2-14
Ответ: S(G)=1ln 2-14
Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x, y=23x-3, y=-12x+4.
Решение
Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y=x. Синим цветом нанесем линию y=-12x+4, черным цветом обозначим линию y=23x-3.
Отметим точки пересечения.
Найдем точки пересечения графиков функций y=x и y=-12x+4 :
x=-12x+4ОДЗ: x≥0x=-12x+42⇒x=14×2-4x+16⇔x2-20x+64=0D=(-20)2-4·1·64=144×1=20+1442=16; x2=20-1442=4Проверка:x1=16=4, -12×1+4=-12·16+4=-4⇒x1=16 не является решением уравненияx2=4=2, -12×2+4=-12·4+4=2⇒x2=4 является решением уравниния ⇒(4; 2) точка пересечения y=x и y=-12x+4
Найдем точку пересечения графиков функций y=x и y=23x-3:
x=23x-3ОДЗ: x≥0x=23x-32⇔x=49×2-4x+9⇔4×2-45x+81=0D=(-45)2-4·4·81=729×1=45+7298=9, x245-7298=94Проверка:x1=9=3, 23×1-3=23·9-3=3⇒x1=9 является решением уравнения ⇒(9; 3) точка пересечания y=x и y=23x-3×2=94=32, 23×1-3=23·94-3=-32⇒x2=94 не является решением уравнения
Найдем точку пересечения линий y=-12x+4 и y=23x-3:
-12x+4=23x-3⇔-3x+24=4x-18⇔7x=42⇔x=6-12·6+4=23·6-3=1⇒(6; 1) точка пересечения y=-12x+4 и y=23x-3
Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.
Способ №1
Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.
Тогда площадь фигуры равна:
S(G)=∫46x–12x+4dx+∫69x-23x-3dx==23×32+x24-4×46+23×32-x23+3×69==23·632+624-4·6-23·432+424-4·4++23·932-923+3·9-23·632-623+3·6==-253+46+-46+12=113
Способ №2
Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.
Тогда решим уравнение линии относительно x, а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.
y=x⇒x=y2 красная линияy=23x-3⇒x=32y+92 черная линияy=-12x+4⇒x=-2y+8 синяя линия
Таким образом, площадь равна:
S(G)=∫1232y+92–2y+8dy+∫2332y+92-y2dy==∫1272y-72dy+∫2332y+92-y2dy==74y2-74y12+-y33+3y24+92y23=74·22-74·2-74·12-74·1++-333+3·324+92·3–233+3·224+92·2==74+2312=113
Как видите, значения совпадают.
Ответ: S(G)=113
Итоги
Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Общие сведения
Вычислить площадь фигуры на плоскости считается довольно простой операцией. Для ее выполнения необходимо знать только формулу. Существенно усложняет задачу фигура, ограниченная прямыми.
Одной из них считается криволинейная трапеция. Ее площадь можно определить только при нахождении значений определенного интеграла.
Операция интегрирования считается довольно сложной, поскольку необходимо знать основные правила. Перед нахождением площади криволинейной трапеции специалисты рекомендуют внимательно изучить и освоить правила интегрирования основных функций.
Разбирается неопределенный интеграл, а затем осуществляется переход к более сложным операциям.
Информация об интегралах
С понятием интеграла связано много направлений научных отраслей. Обозначается он символом «∫». С помощью интеграла открываются большие возможности по быстрому и эффективному нахождению значений следующих величин: площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, поверхности, пути при неравномерном движении, массы неоднородного физического тела и так далее.
Упрощенный вариант представления и определения интеграла — сумма бесконечно малых слагаемых. Интеграл бывает нескольких типов: одинарный, двойной, тройной, криволинейный и так далее. Для любого элемента он может быть двух типов:
- Неопределенный.
- Определенный.
Операция нахождения первого типа значительно проще второго. Это объясняется тем, что во втором случае следует не только найти первообразную, но и выполнить правильную подстановку значений.
Неопределенным интегралом функции вида f(х) называется такая первообразная функция F(х), производная которой равна подинтегральному выражению. Записывается это таким образом: ∫(f(x)) = F(х) + С.
Последняя величина является константой, поскольку при выполнении операции нахождения производной константа равна 0.
Для нахождения первообразной используется специальная таблица интегралов:
Рисунок 1. Таблица интегралов и их первообразные.
В таблице приведены простые функции. Для нахождения площади фигуры, которая ограничена линиями, достаточно значений первообразных на рисунке 1. Вычисление определенного интеграла заключается в получении первообразной и подстановке начального и конечного значений. Следует отметить, что константа при этом не берется. Существует способ, чтобы найти определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница позволяет быстро и эффективно вычислить площадь фигуры. Для этого нужно подставить значения ее границ (a и b) в первообразные: F(x)|(a;b) = F(b) – F(a).
Криволинейные фигуры
Криволинейная фигура (трапеция) — класс плоских фигур, которые ограничены графиком неотрицательной и непрерывной функции, а также осью ОУ и прямыми (х = а, х = b). Она изображена на рисунке 2. Для нахождения ее площади следует использовать определенный интеграл.
Рисунок 2. Фигуры с криволинейными сторонами.
Интегрирование разбивает фигуру на прямоугольные части. Длина каждой из них равна ординате y = f(х) через промежутки, которые очень малы, по оси декартовой системы координат (есть еще и полярная) ОХ на отрезке [a;b]. Ширина является бесконечно малым значением. При интегрировании находятся площади прямоугольников и складываются. Для того чтобы не путаться в графиках, геометрическую фигуру следует заштриховать.
Криволинейная трапеция — геометрическая фигура с неровными сторонами, которые образовались в результате пересечения графика непрерывной функции с осями абсцисс и ординат.
Применение обыкновенных методов нахождения площади этой фигуры невозможно, поскольку она обладает одной или несколькими неровными сторонами (кривыми линиями).
Способы вычисления и рекомендации
Для расчетов площади криволинейной трапеции используется несколько методов. Их условно можно разделить на следующие: автоматизированные и ручные. Первый из них выполняется при помощи специализированного программного обеспечения (ПО). Примером является онлайн-калькулятор, который не только находит площадь заданной фигуры, но и изображает ее в декартовой системе координат.
Существует и другое ПО, которое является более «мощным». К нему можно отнести наиболее популярные среды: Maple и Matlab. Однако существует множество программ, написанных на языке программирования Python. Программы нужны также при освоении темы интегрирования. Если необходимо рассчитать множество интегралов и площадей криволинейных фигур, то без них не обойтись.
Новичку для автоматизированных вычислений рекомендуется применять различные онлайн-калькуляторы. Однако следует выделить неплохую программу, которая обладает довольно неплохими функциональными возможностями.
Она называется Integral calculator и представляет собой очень удобное приложение для Android-устройств. Кроме того, можно скачать подобное ПО для Linux, Mac и Windows.
Программа — это калькулятор, который используется для нахождения интегралов и производных, а также его можно применять для решения уравнений интегрального и дифференциального типов. Integral calculator обладает такими функциональными возможностями:
- Вычисление производных.
- Нахождения первообразных для определенных и неопределенных интегралов.
- Решение систем уравнений.
- Выполнения операций над матрицами и определителями.
- Построение графиков заданных функций в 2D и 3D.
- Расчет точек перегиба.
- Вычисление рядов Фурье.
- Решение дифференциальных уравнений линейного типа первого и второго порядков.
Однако специалисты не рекомендуют использовать приложения такого типа, поскольку нужно уметь решать подобные задачи самостоятельно. Любые математические операции развивают мышление, а злоупотребление ПО приводит к значительной деградации. Решать какие-либо задачи рекомендуется также людям, которые не имеют отношения к математической сфере.
Основной алгоритм
При нахождении площади криволинейной трапеции рекомендуется следовать определенному алгоритму. Он поможет избежать ошибок, поскольку задача разбивается на несколько простых подзадач, решение которых довольно просто контролировать. Алгоритм имеет следующий вид:
- Нужно прочитать и понять условие задачи.
- Начертить декартовую систему координат.
- Построить график заданной функции.
- Изобразить линии, ограничивающие фигуру.
- После определения границ нужно аккуратно заштриховать фигуру.
- Вычислить неопределенный интеграл функции, которая дана в условии.
- Посчитать площадь, подставив значения ограничивающих прямых в первообразную.
- Проверить решение задачи при помощи программы.
Первый пункт — внимательное чтение условия задачи. Этап считается очень важным, поскольку формирует дальнейший алгоритм. Необходимо выписать все известные данные, а затем подумать над дальнейшим решением задачи. Следует обратить особое внимание на график функции, который при возможности нужно упростить. Далее следует выписать линии, которые будут ограничивать фигуру.
Следующий пункт считается наиболее простым, поскольку нужно начертить обыкновенную систему координат. В условии должен быть указан ее тип. Если обозначена полярная система, то следует ее начертить. Во всех остальных случаях изображается декартовая система координат.
Третий пункт алгоритма — правильное построение графика функции. В этом случае нет необходимости составлять таблицу зависимости значения функции от аргумента. График должен быть схематичным. Например, если это парабола, то нужно ее изобразить. В этом случае необходимо ознакомиться с основными базовыми функциями и их графиками.
Следующим шагом является правильное изображение прямых. Если ее уравнение имеет следующий вид “x = 5” или что-то подобное, то она будет проходить параллельно оси ОУ. Например, при y = 10 прямая проходит параллельно оси ОХ. В других случаях нужно составить таблицу зависимостей значений уравнения прямой от переменной. Следует брать всего два значения аргумента, поскольку их достаточно для проведения прямой.
После всех операций образуется фигура, которая ограничена линиями. Ее необходимо заштриховать. После этого вычисляется неопределенный интеграл заданной функции. Необходимо воспользоваться табличными значениями первообразных на рисунке 2. Однако здесь есть небольшой нюанс: константу записывать нет необходимости. Она «уничтожается» при подстановке в формулу Ньютона-Лейбница.
В полученное значение следует подставить значения границ. Кроме того, необходимо обратить особое внимание на знак формулы. При отрицательном значении границы формула принимает следующий вид: F(x)|(-a;b) = F(b) – F(-a) = F(b) + F(a). Проверка правильности решения выполняется с помощью ПО.
Примеры решения
Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют решить несколько задач. В качестве примера можно взять криволинейные трапеции, изображенные на рисунке 2.
Разновидность параболы
В первом примере функция вида y = -x^2 + 2x и ось ОХ образуют фигуру. Необходимо найти ее площадь. Из функции видно, что ветви параболы направлены вниз (отрицательный знак перед квадратом). Точки пересечения находятся следующим образом:
- Тело функции приравнивается к 0: -х^2 + 2x = 0.
- Выносится общий множитель: -x(x-2) = 0.
- Решаются обе части уравнения.
- Первый корень: -х1 = 0 или х1 = 0.
- Для нахождения второго нужно решить другую часть уравнения: х2-2 = 0. Отсюда, х2 = 2.
Ветви параболы проходят через координаты по ОХ: 0 и 2 соответственно. Координата «х» вершины точки параболы находится с помощью подстановки в формулу: x = -b/(2*a) = -2 / -2 = 1. В этом случае координата «у» вычисляется следующим образом: y = -(1^2) + 2 * 1 = -1 + 2 = 1. Точка с координатами (1;1) является вершиной параболы. Границы интегрирования — координаты по ОХ, через которые проходят ветви параболы.
После всех операций следует вычислить неопределенный интеграл функции, воспользовавшись таблицей на рисунке 1: ∫ (-х^2 + 2x) dx = – (x^3 / 3 + x^2) + C = x^2 – x^3 / 3 + C. После этого следует подставить начальное и конечное значения (константа убирается): S = x^2 – x^3 / 3 = (2^2 – 2^3 / 3) – (0^2 – 0^3 / 3) = 4 – 8/3 = 4 / 3 (кв. ед.). Последняя запись является единицей измерения площади. Она обозначается в условных единицах, так как в условии задачи размерность сторон фигуры не указана.
Гипербола, степенная и прямая
На следующем рисунке изображен график функции гиперболы (у = 1 / х). Прямые, которые ограничивают график, описываются следующими законами: у1 = -2 и у2 = -1. Для вычисления площади заданной фигуры следует взять интеграл: ∫(1/х) dx = ln (|x|) + С. Для окончательного решения необходимо подставить значения в натуральный логарифм: S = ln (2) – ln (1) = 0,6931 – 0 = 0,6931 (кв. ед.).
Фигура, которая ограничена прямыми y1 = -1 и y2 = 1, и представлена функцией вида y = 3^x. Площадь находится следующим образом: S = ∫ (3^x) dx = 3^x / (ln(|3|)) = [3^1 / (ln(3))] – [3^(-1) / (ln(3))] = (3 / 1,0986) – ((1/3) / 1,0986) = 2,7307 – 0,3034 = 2,4273 (кв. ед.).
Последняя фигура представлена графиком прямой y = 0,5х + 1, которую ограничивают прямые х1 = -1 и х2 = 2. Значение площади можно найти таким способом: S = ∫ (0,5х + 1) dx = (0,5 * х^2) / 2 + x = [((0,5 * 2^2) / 2) + 2] – [((0,5 * (-1)^2) / 2) + (-1)] = 3 – 0,75 = 2,25 (кв. ед.).
Для определения значения площади криволинейной фигуры (трапеции) необходимо использовать определенные интегралы. При решении нужно внимательно следить за знаками и первообразными из таблицы на рисунке 1.
План урока:
Криволинейная трапеция и понятие определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Задачи, связанные с определенным интегралом
Криволинейная трапеция и понятие определенного интеграла
Построим на плоскости график произвольной функции у(х), который полностью располагается выше горизонтальной оси Ох. Далее проведем две вертикальные линии, пересекающие ось Ох в некоторых точках a и b. В результате мы получим интересную фигуру, которая на рисунке показана штриховкой:
Особенностью этой фигуры является то, что одна из ее сторон (верхняя) – это не прямая линия, а какая-то произвольная кривая. Условно будем считать эту фигуру четырехугольником, ведь у нее действительно четыре угла и четыре стороны. Две из них (вертикальные красные линии), очевидно, параллельны друг другу. Две другие стороны (кривую линию и участок оси Ох) параллельными назвать никак нельзя.
Напомним, что в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу, а две другие не параллельны, называют трапецией. Поэтому полученную нами фигуру мы также назовем трапецией. Но так как одна из ее сторон кривая, то мы будем использовать термин «криволинейная трапеция», чтобы отличать ее от трапеции «настоящей».
У каждой плоской фигуры есть площадь, и криволинейная трапеция – не исключение. Но как ее подсчитать? Есть приближенный способ подсчета. Разобьем отрезок [a; b] на несколько более мелких отрезков, и построим на каждом из них прямоугольник:
Обозначим площадь первого прямоугольника как S1, площадь второго прямоугольника – как S2 и т. д. Мы строим прямоугольники таким образом, что их левая сторона в точности равна значению функции в соответствующей точке. Обозначим те точки, на которых стоят стороны прямоугольника, как х1, х2, х3 и т. д. Тогда значения функции в этих точках будут соответственно равны у(х1), у(х2) и т. д.:
Площадь каждого полученного прямоугольника подсчитать несложно – она равна произведению его высоты на ширину. Мы организовали разбиение на прямоугольники таким образом, что ширина у них одинакова. Обозначим ее как ∆х. Тогда площадь каждого отдельного прямоугольника равна
Тогда общая площадь криволинейной трапеции приближенно будет равна сумме площадей всех треугольников:
где n – это количество прямоугольников (на рисунках мы выбрали n = 10).
Ясно, что чем больше число n, тем более точное приближение мы получим. Например, если разбить трапецию уже не на 10, а на 20 прямоугольников, то получим такую картинку:
Обратите внимание, что ширина каждого прямоугольника, то есть величина ∆х, уменьшилась.
При росте числа n ошибка при оценке площади трапеции будет уменьшаться и стремится к нулю. Поэтому в предельном случае, когда n стремится к бесконечности, в формуле (1) вместо знака приближенного равенства «≈» можно поставить знак «=». При этом величина ∆х также будет стремится к нулю, то есть становится бесконечно малой. В математике для таких величин вместо символа ∆ принято использовать букву d, то есть вместо ∆х мы напишем dx. С учетом всего этого формула (1) примет вид:
В правой части стоит сумма бесконечного числа слагаемых. У нее есть специальное название – определенный интеграл. Ясно, что величина этой суммы, то есть площадь трапеции, зависят от чисел а и b (боковых границ трапеции). Поэтому обозначение интеграла выглядит так:
Обозначение очень похоже на неопределенный интеграл. Единственное отличие – это появление чисел а и b, которые определяют боковые границы трапеции. Число b называют верхним пределом интегрирования, а число a– нижним пределом интегрирования. Дадим более строгое определение понятию определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у(х) и вертикальными прямыми, проходящими через точки а и b.
Формула Ньютона-Лейбница
Изначально мы хотели научиться вычислять площадь криволинейной трапеции, однако пока что мы лишь придумали, как ее обозначать – через определенный интеграл. Но как вычислить значение его значение? Оказывается, определенный интеграл очень тесно связан с неопределенным интегралом, и эта связь описывается формулой Ньютона-Лейбница.
Ещё раз построим криволинейную трапецию, а ее площадь обозначим как S. Пусть ее левая граница совпадает с осью Оу, а правая будет равна некоторому значению х0. Дело в том, что нас будет интересовать зависимость площади трапеции от значения ее правой границы, то есть некоторая функция S(x). Обозначим площадь получившейся трапеции как S(x0):
Теперь сдвинем правую границу вправо на величину ∆х. В итоге получим новую трапецию, площадь которой можно записать как S(x0 + ∆x). При этом ее площадь увеличилась на некоторую величину ∆S:
Получается, что мы дали некоторое приращение аргумента ∆х, и получили приращение функции ∆S. Мы уже выполняли похожие действия в рамках предыдущих уроков, изучая понятие производной.
Итак, мы можем записать, что
Оценим величину ∆S. Если заменить соответствующую площадь прямоугольником, то его площадь окажется равной произведению ширины прямоугольника (она равна ∆x) на высоту, которая равна у(х0):
Поделим обе части равенства (2) на величину ∆х и получим:
А теперь устремим величину ∆х к нулю. В результате в равенство (2), а значит, и (3) будет становиться все более точным. В итоге мы можем написать, что
Хорошо подумайте, что мы получили. Вспомните определение производной. Оказывается, в левой части равенства (4) стоит не что иное, как производная функции S! То есть мы можем написать, что
Получается, что производная функции S на равна значению функции у(х). А это значит, что она является ее первообразной:
Здесь F(x) – первообразная функции у(х), а F(x0) – конкретное значение этой первообразной в точке х0.
Теперь рассмотрим более привычную криволинейную трапецию, у которой правой и левой границей являются числа а и b:
Как найти ее площадь? С помощью формулы (5) мы можем найти две площади:
Из рисунков очевидно, что площадь интересующей нас трапеции равна разности величин S(b) и S(a):
Эту площадь мы и обозначаем определенным интегралом. То есть можно записать, что
Таким образом, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, необходимо проинтегрировать функцию у(х), а потом в полученную первообразную подставить числа а и b вычесть один результат из другого.
Для примера вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией у = х2 и вертикальными прямыми х = 1 и х = 3.
Сначала находим первообразную функции у = х2, взяв от нее интеграл (неопределенный):
Отметим, что в обоих случаях речь идет об одной и той же первообразной, поэтому значения констант С у них одинаковы. Теперь вычитаем из F(3) величину F(1):
Константы интегрирования сократились. Для простоты решение записывают в несколько более короткой форме. Сначала сразу после определенного интеграла пишут первообразную (то есть находят неопределенный интеграл), причем без константы интегрирования
Далее ставят вертикальную черту и пишут пределы интегрирования, которые надо подставить в первообразную:
Потом ставят знак равно и подставляют в первообразную верхнее и нижнее число, после чего выполняют оставшиеся арифметические действия:
Задание. Вычислите
Задание. Найдите площадь фигуры, ограниченной полуволной синусоиды и осью Ох.
Решение. Сначала построим схематичный график у = sinx, чтобы понять, что именно нам надо вычислить:
Теперь ясно, что надо произвести вычисление определенного интеграла синуса на отрезке [0; π]:
Итак, мы теперь знаем и про определенный, и про неопределенный интеграл. Хотя они и очень похожи, между ними есть большая разница, и ее важно понимать. Определенный интеграл – это число, а именно величина площади криволинейной трапеции. Неопределенный интеграл – это функция (точнее, семейство функций), которая является первообразной для интегрируемой функции. Формула Ньютона-Лейбница как раз и показывает ту связь, которая есть между двумя этими различными понятиями.
Может ли определенный интеграл быть отрицательным числом? Кажется, что нет, ведь площадь фигур не бывает отрицательной. Но не всё так просто. Рассмотрим случай, когда график функции является не верхней, а нижней границей трапеции. Например, пусть трапеция образована функцией
Просто надо найти определенный интеграл:
Получили отрицательное значение. Дело в том, что фигура располагается под осью Ох. Из-за этого ее площадь получается со знаком минус.
Рассмотрим ещё один пример. Найдем интеграл косинуса на промежутке от 0 до 2π:
Получился ноль. Посмотрим на графике, какую же площадь мы посчитали:
Оказывается, график на отрезке дважды пересекает ось Ох. В результате получается сразу три криволинейных трапеции. Две из них расположены выше оси Ох, а потому из площади считаются со знаком «+». Третья трапеция лежит ниже оси Ох, а потому ее площадь считается со знаком «–». То, что интеграл оказался равным нулю, означает, что площадь нижней трапеции в точности равна сумме площадей двух верхних фигур, поэтому в сумме они и дали ноль.
Отметим важное свойство определенного интеграла:
Проиллюстрируем это правило графически. Каждый из этих интегралов равен площади соответствующих криволинейных трапеций:
Задачи, связанные с определенным интегралом
Определенный интеграл помогает находить и площади более сложных фигур, которые получаются при пересечении нескольких различных графиков.
Рассмотрим задачу на интеграл. Пусть требуется найти площадь фигуры, полученной при пересечении параболы
Сначала найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции:
Корнями этого квадратного уравнения являются числа 1 и 4. Именно в этих точках и пересекаются графики (это и так видно из графика). Площадь интересующей нас фигуры можно получить вычитанием из одной криволинейной трапеции другой:
Величины S1и S2 можно вычислить через определенный интеграл. Обратите внимание, что найденные нами корни являются пределами интегрирования:
Тогда искомая нами площадь составит
Ошибочно думать, что определенные интегралы нужны только для расчета площадей. С их помощью можно и решать ряд физических задач. Пусть известен закон изменения скорости тела v(t). Можно доказать, что путь, пройденный этим телом за период времени с t1по t2, будет равен интегралу
Задание. Самолет разгоняется, однако из-за сопротивления воздуха он набирает скорость не равномерно. Скорость самолета в момент времени t может быть вычислена по формуле
Определите, какое расстояние пролетит самолет в период времени между 16-ой и 25-ой секундой разгона.
Решение. Задача сводится к простому вычислению интеграла:
Ответ: 610 метров.
Этот пример показывает важную зависимость между скоростью тела и путем, который она преодолевает. Если есть график изменения скорости тела, то площадь под этим графиком равна тому пути, которое проходит тело:
Действительно, если тело двигается равномерно (то есть с постоянной скоростью), то путь, пройденный им, может быть вычислен по известной формуле
Но если построить для такого случая график v(t), то он будет выглядеть как горизонтальная прямая линия. Тогдафигура под графиком окажется прямоугольником, чья площадь равна произведению длины и ширины:
Заметим, что зависимость между путем, скоростью временем носит линейный характер, и именно поэтому здесь может быть использован неопределенный интеграл. Но ведь в физике очень много линейных зависимостей! И во всех этих случаях интегралы играют огромную роль!
Рассмотрим задачу. Есть пружина, которая изначально находится в нерастянутом состоянии. Потом человек начинает медленно и с постоянной скоростью, растягивать пружину, увеличивая ее длину на 0,5 метра. Жесткость пружины (ее коэффициент упругости) равна 100 Н/м. Какую работу совершил человек при растягивании пружины?
Из средней школы известна следующая формула для вычисления работы:
где F– сама сила, а S– путь, пройденный телом под действием этой силы. Легко заметить, что эта формула похожа на ранее рассмотренную зависимость пути от скорости и времени (они обе являются линейными). Сначала рассмотрим простой случай, когда сила остается неизменной. Тогда можно построить график F(S). Окажется, что площадь под графиком как раз равна работе, совершенной силой:
Случай с пружиной сложнее, ведь сила при растяжении пружины не остается неизменной. Чем сильнее растянута пружина, с тем большей силой ее приходится тянуть. Известен закон Гука, связывающий удлинение пружины с силой ее натяжения:
где k – коэффициент жесткости пружины, а x– ее удлинение. По смыслу задачи максимальное удлинение известно и равно 0,5 м. Можно нарисовать такой график зависимости силы натяжения пружины от ее удлинения (он будет выглядеть как прямая линия, так как эта зависимость является прямой пропорциональностью):
И в данном случае работа также будет равна площади под графиком функции, то есть ее можно посчитать с помощью определенного интеграла! В качестве пределов интегрирования надо взять крайние значения удлинения пружины (это 0 и 0,5 м), а качестве интегрируемой функции – F(t), которая равна
Существует и много других примеров приложений определенного интеграла. С его помощью можно находить объемы сложных фигур (конуса, пирамиды, тел вращения), определять центр масс тел сложной формы. Следует отметить и использование интегралов в механике при решении задач, в которых сила действует не на конкретную точку, а на площадь (задачи на распределенную нагрузку). В качестве примера можно привести расчет прочности крыши, на которой лежит слой снега.Но для их рассмотрения необходим более высокий уровень математических и физических знаний, который можно получить уже в рамках не среднего, а высшего образования.
