По графику скорости от времени v(t) можно найти перемещение тела. Для этого нужно уметь рассчитывать площади плоских фигур.
По-английски «Square» – значит «площадь». Первая буква этого слова – буква «S». Перемещение обозначают буквой S потому, что S – это площадь фигуры, заключенной между линией скорости и горизонтальной осью времени.
Как вычислить площади плоских фигур
Рис.1. Чтобы рассчитать перемещение по графику v(t) нужно уметь вычислять площади трех плоских фигур
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника (рис. 1а) можно найти, перемножив две его перпендикулярные стороны:
[ large boxed{ S_{text{прямоуг}} = a cdot b }]
Площадь трапеции
Примечание: Трапеция – это четырехугольник, две его стороны параллельные, а две другие – не параллельные. Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Умножив полусумму оснований трапеции на ее высоту, получим площадь (рис. 1б) трапеции:
[ large boxed{ S_{text{трапец}} = frac{1}{2} (a + b) cdot h }]
Площадь прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника (рис. 1в) площадь можно вычислить, перемножив два его катета и взяв половину от получившегося произведения:
[ large boxed{ S_{text{треуг}} = frac{1}{2} cdot a cdot b }]
Скорость не меняется
Пусть тело движется по прямой и при этом его скорость не изменяется (остается одной и той же). На языке математики «скорость не изменяется» можно записать так:
[v=const]
На графике для скорости v(t) такая скорость обозначается горизонтальной линией. На рисунке 2 эта линия обозначена синим цветом.
Рис.2. Площадь прямоугольника на графике v(t), если скорость тела не изменяется, будет численно равна перемещению тела
Примечание: Движение с постоянной (т. е. с одной и той же) скоростью называют равномерным движением.
Если скорость направлена по оси движения – линия лежит выше оси t времени (рис. 2а).
А когда скорость направлена против оси движения – линия скорости располагается ниже оси t времени (рис. 2б). Математики в таком случае говорят: «Скорость имеет отрицательную проекцию на ось».
Какую бы проекцию не имела скорость – положительную, или отрицательную, длина вектора скорости остается положительной. Поэтому, когда мы вычисляем площадь фигуры, то не учитываем знак «минус» для скорости (рис. 2б).
В обоих случаях перемещение тела можно вычислить по формуле:
[ large S = v_{0} cdot (t_{2} — t_{1}) ]
Примечание: Перемещение тела – это всегда либо нулевая, либо положительная величина S. Математики словосочетание «либо нулевая, либо положительная» заменят одним словом «не отрицательная».
Скорость увеличивается
Когда скорость тела увеличивается, то линия скорости на графике v(t) всегда располагается так, чтобы с ростом времени удаляться от оси времени. Чем больше времени пройдет, тем дальше от горизонтали располагаются точки, лежащие на линии скорости (рис. 3).
Рис.3. Так выглядит зависимость скорости от времени v(t), когда тело увеличивает свою скорость, двигаясь по оси – рис а) и против оси – рис. б)
Примечание: Движение с возрастающей скоростью называют равноускоренным движением.
Когда тело движется по направлению оси, линия скорости расположена выше горизонтальной оси времени (рис 3а).
А если тело движется против оси, линия скорости располагается ниже горизонтальной оси времени (рис. 3б).
Вычислим перемещение тела, движущегося в положительном направлении оси Ox. Для тела, движущегося противоположно оси, перемещение рассчитывается аналогично.
Выбор интервала времени влияет на то, будем ли мы вычислять площадь трапеции (рис. 4а), или прямоугольного треугольника (рис. 4б).
Рис.4. График v(t) — тело движется в положительном направлении оси и увеличивает свою скорость. От того, какой интервал времени мы выберем, зависит, будем ли мы вычислять путь, пройденный телом, с помощью площади трапеции – рис. а), или прямоугольного треугольника — рис. б)
На графике скорости v(t) для рисунка 4а перемещение с помощью трапеции вычисляется так:
[ large S = frac{1}{2} cdot (v_{1} + v_{2}) cdot (t_{2} — t_{1}) ]
А для рисунка 4б перемещение тела найдем с помощью площади треугольника:
[ large S = frac{1}{2} cdot v_{2} cdot (t_{2} — 0) ]
Скорость уменьшается
Когда тело замедляется и его скорость уменьшается, с ростом времени линия скорости приближается к горизонтальной оси t
- сверху – если тело движется по оси (рис. 5а),
- или снизу – когда тело движется против оси (рис. 5б).
Рис.5. Так выглядит зависимость скорости от времени v(t), когда тело уменьшает свою скорость, двигаясь по оси – рис а) и против оси – рис. б)
Примечание: Движение с уменьшающейся по модулю скоростью называют равнозамедленным движением.
Будем вычислять перемещение тела, движущегося в положительном направлении оси Ox. Аналогичным способом рассчитывается перемещение тела, движущегося противоположно оси.
От того, какой интервал времени нас интересует, зависит, будем ли мы вычислять площадь трапеции (рис. 6а), или треугольника (рис. 6б).
Рис.6. График v(t) — тело движется в положительном направлении оси и уменьшает свою скорость. Выбор интервала времени определяет, будем ли мы вычислять путь, пройденный телом, с помощью трапеции – рис. а), или треугольника — рис. б)
Найдем на графике v(t) перемещение с помощью площади трапеции для рисунка 6а:
[ large S = frac{1}{2} cdot (v_{1} + v_{2}) cdot (t_{2} — t_{1}) ]
А для рисунка 6б перемещение тела найдем с помощью площади треугольника:
[ large S = frac{1}{2} cdot v_{1} cdot (t_{2} — t_{1}) ]
Выводы
На графике v(t) перемещение – это:
- площадь прямоугольника, когда скорость не изменяется;
- площадь треугольника, или трапеции, когда скорость изменяется — падает, или растет.
1. Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени
Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.
Начнем с самого простого случая – равномерного движения. На рисунке 6.1 изображен график зависимости v(t) – скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной осн времени, так как при равномерном движении скорость постоянна.
Фигура, заключенная под этим графиком, – прямоугольник (он закрашен на рисунке). Его площадь численно равна произведению скорости v на время движения t. С другой стороны, произведение vt равно пути l, пройденному телом. Итак, при равномерном движении
путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени.
Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.
Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображенной на рисунке 6.2.
Разобьем мысленно все время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 6.2).
Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим ком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигур заключенной под всем графиком. (Использованный нами прием лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».)
2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении
Применим теперь описанный выше способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.
Начальная скорость тела равна нулю
Направим ось x в сторону ускорения тела. Тогда ax = a, vx = v. Следовательно,
v = at. (1)
На рисунке 6.3 изображен график зависимости v(t).
? 1. Используя рисунок 6.3, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости путь l выражается через модуль ускорения a и время движения t формулой
l = at2/2. (2)
Главный вывод:
при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату времени движения.
Этим равноускоренное движение существенно отличается от равномерного.
На рисунке 6.4 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел, одно из которых движется равномерно, а другое – равноускоренно без начальной скорости.
? 2. Рассмотрите рисунок 6.4 и ответьте на вопросы.
а) Каким цветом изображен график для тела, движущегося равноускоренно?
б) Чему равно ускорение этого тела?
в) Чему равны скорости тел в тот момент, когда они прошли одинаковый путь?
г) В какой момент времени скорости тел равны?
? 3. Тронувшись с места, автомобиль за первые 4 с проехал расстояние 20 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какое расстояние проедет автомобиль:
а) за 8 с? б) за 16 с? в) за 2 с?
Найдем теперь зависимость проекции перемещения sx от времени. В данном случае проекция ускорения на ось x положительна, поэтому sx = l, ax = a. Таким образом, из формулы (2) следует:
sx = axt2/2. (3)
Формулы (2) и (3) очень похожи, что приводит порой к ошибкам при решении простых задач. Дело в том, что значение проекции перемещения может быть отрицательным. Так будет, если ось x направлена противоположно перемещению: тогда sx < 0. А путь отрицательным быть не может!
? 4. На рисунке 6.5 изображены графики зависимости от времени пути и проекции перемещения для некоторого тела. Какой цвет у графика проекции перемещения?
Начальная скорость тела не равна нулю
Напомним, что в таком случае зависимость проекции скорости от времени выражается формулой
vx = v0x + axt, (4)
где v0x – проекция начальной скорости на ось x.
Мы рассмотрим далее случай, когда v0x > 0, ax > 0. В этом случае снова можно воспользоваться тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. (Другие комбинации знаков проекции начальной скорости и ускорения рассмотрите самостоятельно: в результате получится та же общая формула (5).
На рисунке 6.6 изображен график зависимости vx(t) при v0x > 0, ax > 0.
? 5. Используя рисунок 6.6, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью проекция перемещения
sx = v0x + axt2/2. (5)
Эта формула позволяет найти зависимость координаты x тела от времени. Напомним (см. формулу (6), § 2), что координата x тела связана с проекцией его перемещения sx соотношением
sx = x – x0,
где x0 — начальная координата тела. Следовательно,
x = x0 + sx, (6)
Из формул (5), (6) получаем:
x = x0 + v0xt + axt2/2. (7)
6. Зависимость координаты от времени для некоторого тела, движущегося вдоль оси x, выражается в единицах СИ формулой x = 6 – 5t + t2.
а) Чему равна начальная координата тела?
б) Чему равна проекция начальной скорости на ось x?
в) Чему равна проекция ускорения на ось x?
г) Начертите график зависимости координаты x от времени.
д) Начертите график зависимости проекции скорости от времени.
е) В какой момент скорость тела равна нулю?
ж) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
з) Пройдет ли тело через начало координат? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
и) Начертите график зависимости проекции перемещения от времени.
к) Начертите график зависимости пути от времени.
3. Соотношение между путем и скоростью
При решении задач часто используют соотношения между путем, ускорением и скоростью (начальной v0, конечной v или ими обеими). Выведем эти соотношения. Начнем с движения без начальной скорости. Из формулы (1) получаем для времени движения:
t = v/a. (8)
Подставим это выражение в формулу (2) для пути:
l = at2/2 = a/2(v/a)2 = v2/2a. (9)
Главный вывод:
при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату конечной скорости.
? 7. Тронувшись с места, автомобиль набрал скорость 10 м/с на пути 40 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какой путь от начала движения проехал автомобиль, когда его скорость была равна: а) 20 м/с? б) 40 м/с? в) 5 м/с?
Соотношение (9) можно получить также, вспомнив, что путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени (рис. 6.7).
Это соображение поможет вам легко справиться со следующим заданием.
? 8. Используя рисунок 6.8, докажите, что при торможении с постоянным ускорением тело проходит до полной остановки путь lт = v02/2a, где v0 – начальная скорость тела, a – модуль ускорения.
В случае торможения транспортного средства (автомобиль, поезд) путь, пройденный до полной остановки, называют тормозным путём. Обратите внимание: тормозной путь при начальной скорости v0 и путь, пройденный при разгоне с места до скорости v0 с тем же по модулю ускорением a, одинаковы.
? 9. При экстренном торможении на сухом асфальте ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с2. Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости: а) 60 км/ч (максимальная разрешенная скорость в городе); б) 120 км/ч? Найдите тормозной путь при указанных скоростях во время гололеда, когда модуль ускорения равен 2 м/с2. Сравните найденные вами значения тормозного пути с длиной классной комнаты.
? 10. Используя рисунок 6.9 и формулу, выражающую площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении:
а) l = (v2 – v02)/2a, если скорость тела увеличивается;
б) l = (v02 – v2)/2a, если скорость тела уменьшается.
? 11. Докажите, что проекции перемещения, начальной и конечной скорости, а также ускорения связаны соотношением
sx = (vx2 – v0x2)/2ax (10)
? 12. Автомобиль на пути 200 м разогнался от скорости 10 м/с до 30 м/с.
а) С каким ускорением двигался автомобиль?
б) За какое время автомобиль проехал указанный путь?
в) Чему равна средняя скорость автомобиля?
Лютый опыт
Дополнительные вопросы и задания
13. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, после чего поезд движется равномерно, а вагон – с постоянным ускорением до полной остановки.
а) Изобразите на одном чертеже графики зависимости скорости от времени для поезда и вагона.
б) Во сколько раз путь, пройденный вагоном до остановки, меньше пути, пройденного поездом за то же время?
14. Отойдя от станции, электричка какое-то время ехала равноускоренно, затем в течение 1 мин – равномерно со скоростью 60 км/ч, после чего снова равноускоренно до остановки на следующей станции. Модули ускорений при разгоне и торможении были различны. Расстояние между станциями электричка прошла за 2 мин.
а) Начертите схематически график зависимости проекции скорости электрички от времени.
б) Используя этот график, найдите расстояние между станциями.
в) Какое расстояние проехала бы электричка, если бы на первом участке пути она разгонялась, а на втором – тормозила? Какова была бы при этом ее максимальная скорость?
15. Тело движется равноускоренно вдоль оси x. В начальный момент оно находилось в начале координат, а проекция его скорости была равна 8 м/с. Через 2 с координата тела стала равной 12 м.
а) Чему равна проекция ускорения тела?
б) Постройте график зависимости vx(t).
в) Напишите формулу, выражающую в единицах СИ зависимость x(t).
г) Будет ли скорость тела равна нулю? Если да, то в какой момент времени?
д) Побывает ли тело второй раз в точке с координатой 12 м? Если да, то в какой момент времени?
е) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент времени, и чему будет равен пройденный при этом путь?
16. После толчка шарик вкатывается вверх по наклонной плоскости, после чего возвращается в начальную точку. На расстоянии b от начальной точки шарик побывал дважды через промежутки времени t1 и t2 после толчка. Вверх и вниз вдоль наклонной плоскости шарик двигался с одинаковым по модулю ускорением.
а) Направьте ось x вверх вдоль наклонной плоскости, выберите начало координат в точке начального положения шарика и напишите формулу, выражающую зависимость x(t), в которую входят модуль начальной скорости шарика v0 и модуль ускорения шарика a.
б) Используя эту формулу и тот факт, что на расстоянии b от начальной точки шарик побывал в моменты времени t1 и t2 составьте систему двух уравнений с двумя неизвестными v0 и a.
в) Решив эту систему уравнений, выразите v0 и a через b, t1 и t2.
г) Выразите весь пройденный шариком путь l через b, t1 и t2.
д) Найдите числовые значения v0, a и l при b = 30 см, t1 = 1с, t2 = 2 с.
е) Постройте графики зависимости vx(t), sx(t), l(t).
ж) С помощью графика зависимости sx(t) определите момент, когда модуль перемещения шарика был максимальным.
Графиком скорости равноускоренного движения является прямая линия (рис. 15), так как проекция уравнения (8) на ось, параллельную направлению движения, есть уравнение прямой vvQat(8) Ускорение тела, совершающего равнопеременное движение, есть величина Рис.15 постоянная. aconst Графиком ускорения служит прямая, параллельная оси времени расположенная в области положительных значений функции (если движение равноускоренное а>0) или в области отрицательных значений (если движение равнозамедленное a<0).
4.3. График перемещения и координаты тела, движущегося с постоянным ускорением.
1. Раньше мы установили, что если скорость постоянна, то площадь под графиком скорости (рис. 11) численно равна перемещению тела. Можно доказать (мы примем это без доказательства), что это верно и для непостоянной скорости, т. е. при любой форме графика. Таким образом, чтобы найти перемещение при равноускоренном движении, надо найти площадь под графиком скорости (рис. 15). Из рисунка видно, что величина перемещения равна численно площади трапеции с высотой h, основаниями v и vo (9) Теперь исключим из этой формулы конечную скорость. Для этого подставим в формулу (9) выражение для скорости (8).
(10) Уравнение (10) можно использовать для решения ОЗМ, найти координату тела xxosxТогда (11) причем xovoи а могут быть как положительными, так и отрицательными.
Уравнение (11) называют уравнение координаты тела, совершающего равнопеременное движение. Согласно (11) зависимость x(t) не является линейной. Данный вид зависимости является квадратичной функцией. В алгебре такая функция обозначалась вами yxax2bxcБуквой у обозначена зависимая переменная величина (или функция), а буквой x – независимая переменная величина (аргумент). Графиком такого вида функции является парабола. Значит, и графиком координаты тела, движущегося по закону (11), т.е. равноускоренно является парабола.
На рис. 16 парабола имеет вершину в точке (0;0). Начальная координата xo=0, скорость и ускорение тела имеют положительные значения. Это означает: X,м 1) движение совершается вдоль направления оси координат выбранной системы отсчета;
2) скорость и ускорение сонаправлены; 3) скорость по модулю возрастает или тело ускоряется.
Мы знаем, что скорость и ускорение – векторы, и могут иметь отрицательные значения, тогда парабола может быть направлена «ветвями вниз». Поэтому вид графика x(t) и s(t) может иметь множество вариантов, но это всегда «кусок» параболы. При начальной координате х0=0, уравнения координаты и перемещения совпадают, поэтому будут одинаковыми и графики x(t) и s(t).
3. Если исключить из формулы (9) время, то получим Рис.16 (12) Наконец, если подставить в определение средней скорости (4) выражение для перемещения (9), то после преобразования получим Рис. 16 4. Если начальная скорость равна нулю, то формулы упрощаются: выпадают слагаемые, содержащие v0 (см. сводную таблицу).
Задача 1. Начальная скорость тела равна нулю, ускорение а = 20 м/с2. Постройте графики зависимости atvtstза 4 с. (О т в е т: см. рис. 16).
Упражнение 5. К каждой задаче (кроме первой) перед тем, как начать ее решать, рекомендуем начертить от руки график vtи проставить на осях графика те числа, что даны в условии. На первых порах при решении задач держите перед собой сводную таблицу формул (§ 10).
-
Автомашина, двигаясь равноускоренно, за 5 секунд увеличила свою скорость с 20 м/с до 30 м/с. С каким ускорением двигалась машина и какой путь прошла она за это время? (О т в е т: 2 м/с, 125 м).
-
Тело начало двигаться из состояния покоя равноускоренно и за первую секунду прошло путь 10 м. Найдите ускорение тела и путь, пройденный им за первые 3 секунды движения. (О т в е т: 20 м/с, 90 м).
-
Тело начало двигаться из состояния покоя равноускоренно и за первую секунду прошло путь 10 м. Какова была мгновенная скорость тела в конце первой секунды? (О т в е т: 20 м/с).
-
Тело начало двигаться из состояния покоя и первые 4 секунды двигалось с постоянным ускорением 2 м/с, после чего стало двигаться равномерно. Какой путь прошло тело за первые 10 секунд движения? Какова была его средняя скорость за эти 10 секунд? (Ответ: 64 м; 6,4 м/с).
-
Первые 4 секунды тело двигалось с постоянной скоростью 20 м/с, после чего стало двигаться с ускорением 5 м/с. Какова будет скорость тела через 10 секунд после начального момента и какой путь оно пройдет за это время? (О т в е т: 290 м).
-
Машина, двигаясь равноускоренно, увеличила свою скорость с 10 м/с до 20 м/с, пройдя при этом путь 100 м. Каково ее ускорение? (Ответ: 1,5 м/с).
-
Машина, имевшая скорость 30 м/с, начала тормозить и остановилась через 3 секунды. Каково было ее ускорение и какой путь прошла она при торможении? (Ответ: -10 м/с; 45 м).
-
Машина, двигавшаяся со скоростью 20 м/с, прошла при торможении до полной остановки путь 15 м. Каково было ускорение машины при торможении? (Ответ: -13,3 м/с).
-
Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло за первые 2 секунды путь 10 м. Какой путь прошло оно за следующие 2 секунды? (О т в е т: 30 м).
None (О т в е т : 25 м).
11. Тело начало двигаться из состояния покоя равноускоренно и за четвертую секунду своего движения прошло путь 35 м. С каким ускорением двигалось тело? (Ответ: 10 м/с).
12.Два тела начали одновременно двигаться из состояния покоя в одном направлении из одной точки. Первое тело двигалось с постоянным ускорением 5 м/с, а второе — с постоянным ускорением 3 м/с. Через какое время расстояние между телами станет равным 25 м? (О т в е т: 5 с).
График скорости тела в зависимости от времени имеет форму равнобедренной трапеции. Покажите, как выглядит график ускорения и график пути в зависимости от времени. (Ответ: см.
рис. 17).
None Рассмотрим движение тело при следующих условиях хо=0, vo=0, a>0, .
При равнопеременном прямолинейном движении без начальной скорости пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как ряд нечетных чисел.
(13)Поясним на примере:
Пусть тело из состояния покоя начинает двигаться равноускореннои за ∆t1=2 секунды проходит путь l1 тогда за следующий такой же интервал времени (∆t2=2 с) оно пройдет путь l2, который будет в три раза больше l1l2=3 l1За следующий такой же интервал времени (∆t3=2 c) тело пройдет путь l3= 5 l1Эту закономерность можно продолжить. Называют ее законом путей.
Проиллюстрируем эту закономерность графически За промежуток времени tтело прошло путь lloЗа последующий промежуток времени tтело, как видно из рисунка, пройдет путь, равный l = 3lo Рис. 18 За промежуток времени тело пройдет путь За промежуток времени тело пройдет путь……….. и т. д.
Заполните пропуски.
ЗАДАЧА 1. Исходя из полученных ВЫШЕ результатов, постройте график пути от времени для равнопеременного прямолинейного движения без начальной скорости.
ЗАДАЧА 2. Из состояния покоя тело начинает двигаться равномерно и прямолинейно. За четвертую секунду своего движения оно проходит путь, равный 21см. Какой путь прошло тело за вторую секунду? Одним из возможных решений данной задачи является следующее. Так как пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как 1: 3 : 5 : 7 : … , то 7/3 = 21Ответ. Тело за вторую секунду проходит путь, равный см.
Заполните пропуски.
ОГЭ 2018 по физике ›
Реальное механическое движение — это движение с изменяющейся скоростью. Движение, скорость которого стечением времени изменяется, называют неравномерным движением.
При неравномерном движении координату тола уже нельзя определить но формуле ( x=x_0+v_xt ), так как значение скорости движения не является постоянным. Поэтому для характеристики быстроты изменения положения тела с течением времени при неравномерном движении вводят величину, называемую средней скоростью.
Средней скоростью ( vec{v}_{ср} ) неравномерного движения называют физическую величину, равную отношению перемещении ( vec{s} ) тела ко времени ( t ), за которое оно произошло: ( vec{v}_{ср}=frac{s}{t} ).
Записанная формула определяет среднюю скорость как векторную величину. В практических целях этой формулой можно воспользоваться для определения модуля средней скорости лишь в том случае, когда тело движется вдоль прямой в одну сторону. Если же нужно определить среднюю скорость движения автомобиля от Москвы до Санкт-Петербурга и обратно, чтобы рассчитать расход бензина, то эту формулу применить нельзя, поскольку перемещение в этом случае равно нулю и средняя скорость тоже равна нулю. Поэтому на практике при определении средней скорости пользуются величиной, равной отношению пути ( l ) ко времени ( t ), за которое этот путь пройден: ( v_{ср}=frac{l}{t} ). Эта скорость обычно называется средней путевой скоростью.
Важно, что, зная среднюю скорость неравномерного движения на каком-либо участке траектории, нельзя определить положение тела на этой траектории в любой момент времени. Например, если средняя скорость движения автомобиля за 2 часа 50 км/ч, то мы не можем сказать, где он находился через 0,5 часа от начала движения, через 1 час, 1,5 часа и т.п., поскольку он мог первые полчаса двигаться со скоростью 80 км/ч, затем какое-то время стоять, а какое-то время ехать в пробке со скоростью 20 км/ч.
Двигаясь по траектории, тело проходит последовательно все её точки. В каждой точке траектории оно находится в определённые моменты времени и имеет какую-то скорость.
Мгновенной скоростью называют скорость тела в данный момент времени в данной точке траектории.
Предположим, некоторое тело совершает неравномерное прямолинейное движение (рис. 17), его скорость в точке О можно определить следующим образом: выделим на траектории участок AB, внутри которого находится точка О. Перемещение тела на этом участке — ( vec{s}_1 ) совершено за время ( t_1 ). Средняя скорость движения на этом участке – ( vec{v}_{ср.1}=frac{s_1}{t_1} ). Уменьшим перемещение тела. Пусть оно равно ( vec{s}_2 ), а время движения — ( t_2 ). Тогда средняя скорость за это время: ( vec{v}_{ср.2}=frac{s_2}{t_2} ). Еще уменьшим перемещение, средняя скорость на этом участке: ( vec{v}_{ср.3}=frac{s_3}{t_3} ).
При дальнейшем уменьшении перемещения и соответственно времени движения тела они станут такими маленькими, что прибор, например спидометр, перестанет фиксировать изменение скорости, и движение за этот малый промежуток времени можно считать равномерным. Средняя скорость на этом участке и есть мгновенная скорость тела в т.О.
Таким образом, мгновенной скоростью называют векторную физическую величину, равную отношению малого перемещения (( Delta{vec{s}} )) к малому промежутку времени ( Delta{t} ), за которое это перемещение произошло: ( vec{v}=frac{Delta{s}}{Delta{t}} ).
Одним из видов неравномерного движения является равноускоренное движение. Равноускоренным движением называют движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одно и то же значение.
Слова «любые равные промежутки времени» означают, что какие бы равные промежутки времени (2 с, 1 с, доли секунды и т. п. ) мы ни взяли, скорость всегда будет изменяться одинаково.
При этом её модуль может как увеличиваться, так и уменьшаться. 5. Характеристикой равноускоренного движения, помимо скорости и перемещения, является ускорение.
Пусть в начальный момент времени ( t_0=0 ) скорость тела равна ( vec{v}_0 ). В некоторый момент времени ( t ) она стала равной ( vec{v} ). Изменение скорости за промежуток времени ( t-t_0=t ) равно ( vec{v}-vec{v}_0 ) (рис.18). Изменение скорости за единицу времени равно: ( frac{vec{v}-vec{v}_0}{t} ). Эта величина и есть ускорение тела, она характеризует быстроту изменения скорости ( vec{a}=frac{vec{v}-vec{v}_0}{t} ).
Ускорение тела при равноускоренном движении — векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло.
Единица ускорения ( [a]=[v]/[t] ); ( [a] ) = 1 м/с/1 с = 1 м/с. 1 м/с — это такое ускорение, при котором скорость тела изменяется за 1 с на 1 м/с.
Направление ускорения совпадает с направлением скорости движения, если модуль скорости увеличивается, ускорение направлено противоположно скорости движения, если модуль скорости уменьшается. 6. Преобразовав формулу ускорения, можно получить выражение для скорости тела при равноускоренном движении: ( vec{v}=vec{v}_0+vec{a}t ). Если начальная скорость тела ( v_0=0 ), то ( vec{v} = vec{a}t ).
Чтобы определить значение скорости равноускоренного движения в любой момент времени, следует записать уравнение для проекции скорости на ось ОХ. Оно имеет вид: ( v_x = v_{0x} + a_xt ); если( v_{0x}=0 ), то ( v_x = a_xt ).
Как видно из формулы скорости равноускоренного движения, она линейно зависит от времени. Графиком зависимости модуля скорости от времени является прямая, составляющая некоторый угол с осью абсцисс (осью времени). На рисунке 19 приведены графики зависимости модуля скорости от времени.
График 1 соответствует движению без начальной скорости с ускорением, направленным так же, как и скорость; график 2 — движению с начальной скоростью ( v_{02} ) и с ускорением, направленным так же, как и скорость; график 3 — движению с начальной скоростью ( v_{03} ) и с ускорением, направленным в сторону, противоположную направлению скорости.
На рисунке приведены графики зависимости проекции скорости равноускоренного движения от времени (рис. 20).
График 1 соответствует движению без начальной скорости с ускорением, направленным вдоль положительного направления оси X; график 2 — движению с начальной скоростью ( v_{02} ), с ускорением и скоростью, направленными вдоль положительного направления оси X; график 3 — движению с начальной скоростью ( v_{03} ) : до момента времени ( t_0 ) направление скорости совпадает с положительным направлением оси X, ускорение направлено в противоположную сторону. В момент времени ( t_0 ) скорость равна нулю, а затем и скорость, и ускорение направлены в сторону, противоположную положительному направлению оси X.
На рисунке 21 приведены графики зависимости проекции ускорения равноускоренного движения от времени.
График 1 соответствует движению, проекция ускорения которого положительна, график 2 — движению, проекция ускорения которого отрицательна.
Формулу перемещения тела при равноускоренном движении можно получить, используя график зависимости проекции скорости этого движения от времени (рис. 22).
Выделим на графике малый участок ( ab ) и опустим перпендикуляры из точек ( a ) и ( b ) на ось абсцисс. Если промежуток времени ( Delta{t} ), соответствующий участку ( cd ) на оси абсцисс мал, то можно считать, что скорость в течение этого промежутка времени не изменяется и тело движется равномерно. В этом случае фигура ( cabd ) мало отличается от прямоугольника и её площадь численно равна проекции перемещения тела за время, соответствующее отрезку ( cd ).
На такие полоски можно разбить всю фигуру ОАВС, и её площадь равна сумме площадей всех полосок. Следовательно, проекция перемещения тела за время ( t ) численно равна площади трапеции ОАВС. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту: ( S_x= frac{1}{2}(OA+BC)OC ).
Как видно из рисунка, ( OA=v_{0x},BC=v_x,OC=t ). Отсюда следует, что проекция перемещения выражается формулой ( S_x= frac{1}{2}(v_{0x}+v_x)t ). Так как ( v_x = v_{0x} + a_{xt} ), то ( S_x= frac{1}{2}(2v_{0x} + a_xt)t ), отсюда ( S_x=v_{0x}t+ frac{a_xt^2}{2} ). Если начальная скорость равна нулю, то формула имеет вид ( S_x=frac{at^2}{2} ). Проекция перемещения равна разности координат ( S_x=x-x_0 ), поэтому: ( x-x_0=v_{0x}t+frac{at^2}{2} ), или ( x=x_{0x}+v_{0x}t+frac{at^2}{2} ).
Полученная формула позволяет определить положение (координату) тела в любой момент времени, если известны начальная скорость, начальная координата и ускорение. 11. На практике часто используют формулу или ( v^2_x-v^2_{0x}=2a_xs_x ), или ( v^2-v^2_{0}=2as ).
Если начальная скорость тела равна нулю, то: ( v^2_x=2a_xs_x ).
Полученная формула позволяет рассчитать тормозной путь транспортных средств, т.е. путь, который проезжает, например, автомобиль до полной остановки. При некотором ускорении движения, которое зависит от массы автомобиля и силы тяги двигателя, тормозной путь тем больше, чем больше начальная скорость автомобиля.
Содержание.
- ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
- Ответы
[custom_ads_shortcode1]
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
[custom_ads_shortcode2]
Часть 1
Hа рисунке приведены графики зависимости пути и скорости тела от времени. Какой график соответствует равноускоренному движению?
2. Автомобиль, начав двигаться из состояния покоя но прямолинейной дороге, за 10 с приобрел скорость 20 м/с. Чему равно ускорение автомобиля?
1) 200 м/с 2) 20 м/с
3) 2 м/с
4) 0,5 м/с3. На рисунках представлены графики зависимости координаты от времени для четырёх тел, движущихся вдоль оси ( Оx ). У какого из тел в момент времени ( t_1 ) скорость движения равна нулю?
4. На рисунке представлен график зависимости проекции ускорения от времени для тела, движущегося прямолинейно вдоль оси ( Оx ).
Равноускоренному движению соответствует участок1) только ОА 2) только АВ 3) только ОА и ВС 4) только CD5. При изучении равноускоренного движения измеряли путь, пройденный телом из состояния покоя за последовательные равные промежутки времени (за первую секунду, за вторую секунду и т.д.). Полученные данные приведены в таблице.
Чему равен путь, пройденный телом за третью секунду?
None Для какого(-их) из тел — 1, 2, 3 или 4 — вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости?
None 1) 1 м/с2 2) -1 м/с2 3) 2 м/с2 4) -2 м/с28. При изучении равноускоренного движения измеряли скорость тела в определённые моменты времени. Полученные данные, приведены в таблице. Чему равна скорость тела в момент времени 3 с?
1) 0 м/с 2) 2 м/с 3) 4 м/с 4) 14 м/с9. На рисунке приведены графики зависимости скорости движения четырёх тел от времени. Ускорение какого из тел равно -1,5 м/с?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 410. Используя график зависимости скорости движения тела от времени, определите скорость тела в конце 30-й секунды. Считать, что характер движения тела не изменился.
1) 14 м/с 2) 20 м/с 3) 62 м/с 4) 69,5 м/с11. Два тела движутся по оси ( Оx ). На рисунке представлены графики зависимости проекции скорости движения тел 1 и 2 от времени.
Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.
1) В промежутке времени ( t_3-t_5 ) тело 2 движется равноускоренно.
2) К моменту времени ( t_2 ) от начала движения тела прошли одинаковые пути.
3) В промежутке времени ( 0-t_3 ) тело 2 находится в покое.
4) В момент времени ( t_5 ) тело 1 останавливается.
5) В промежутке времени ( t_3-t_4 ) ускорение ( a_x ) тела 1 отрицательно.
На рисунке представлен график зависимости проекции скорости от времени для тела, движущегося вдоль оси Ох.
Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.
1) Участок ОА соответствует ускоренному движению тела. 2) Участок АВ соответствует состоянию покоя тела. 3) В момент времени ( t_1 ) тело имело максимальное по модулю ускорение.
4) Момент времени ( t_3 ) соответствует остановке тела.
None
[custom_ads_shortcode3]
Часть 2
Зависимость координаты от времени для некоторого тела описывается уравнением ( x=12t-t^2 ). В какой момент времени скорость движения равна нулю?
[custom_ads_shortcode1]
Ответы
Рассмотрим некоторые особенности перемещения тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости. Уравнение, которое описывает это движение, было выведено Галилеем в XVI веке. Необходимо помнить, что при прямолинейном равномерном или неравномерном движении модуль перемещения совпадает по своему значению с пройденным путём. Формула выглядит следующим образом:
s=v0t+at22
, где (а) — это ускорение.
Сравним графики равномерного и равноускоренного движения:
Графики прямолинейного равномерного движения:
Зависимость ускорения от времени. Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость (a(t)) — прямая линия, которая лежит на оси времени.
Зависимость скорости от времени. Скорость со временем не изменяется, график (v(t)) — прямая линия, параллельная оси времени.
Правило определения пути по графику (v(t)): численное значение перемещения (пути) — это площадь прямоугольника под графиком скорости.
Зависимость пути от времени. График (s(t)) — наклонная линия.
Графики равноускоренного движения:
Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график (a(t)) — прямая линия, параллельная оси времени.
Зависимость скорости от времени. Путь изменяется согласно линейной зависимости .
Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется согласно квадратной зависимости:
s=v0t+at22
. В координатах зависимость имеет вид:
x=x0+v0xt+axt22
.
Графиком является ветка параболы.
Источники:
http://fizmat.by/kursy/kinematika/ravnouskorennoe
| Номер | Название | Описание |
|---|---|---|
| Технологическая карта |
| Номер | Название | Вид | Сложность | Баллы | Описание |
|---|---|---|---|---|---|
| Графики зависимости ускорения, скорости и координаты тела от времени (вариант 1) | 1 вид – рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Отработка навыка различения графиков зависимости от времени ускорения, скорости и координаты тела, движущегося равноускоренно. | |
| Графики зависимости ускорения, скорости и координаты тела от времени (вариант 2) | 1 вид – рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Отработка навыка различения графиков зависимости от времени ускорения, скорости и координаты тела, движущегося равнозамедленно. | |
| Ускорение по графику зависимости скорости движения тела от времени (вариант 1) | 2 вид – интерпретация | лёгкое | 2 Б. | Отработка навыка определения ускорения движущегося тела по графику зависимости скорости его движения от времени. | |
| Путь по графику зависимости скорости движения тела от времени (вариант 1) | 2 вид – интерпретация | среднее | 2 Б. | Отработка навыка определения пути, пройденного телом от начала движения, по графику зависимости скорости его движения от времени. | |
| Графики зависимости скорости движения тела и ускорения от времени | 3 вид – анализ | среднее | 3 Б. | Отработка навыка определения графика зависимости ускорения тела от времени, соответствующего графику зависимости скорости движения тела от времени. | |
| Движение трёх точек | 3 вид – анализ | среднее | 3 Б. | Отработка навыка описания и сравнения характера движения точки по графику зависимости её скорости от времени. | |
| Встреча двух точек | 3 вид – анализ | сложное | 3 Б. | Отработка навыка определения момента встречи двух материальных точек по графикам зависимости скорости их движения от времени. | |
| Координата и путь | 3 вид – анализ | сложное | 3 Б. | Отработка навыка определения ускорения точки, её координаты и пройденного точкой пути за заданное время по графику зависимости координаты точки от времени. | |
| Определение скорости движения и координаты тела по графику ускорения | 3 вид – анализ | сложное | 3 Б. | Отработка навыка определения скорости и координаты тела в данный момент времени по графику ускорения. |
| Номер | Название | Рекомендованное время: | Сложность | Баллы | Описание |
|---|---|---|---|---|---|
| Тренировка по теме Графики зависимости кинематических величин от времени при равноускор. движ. | среднее | 8 Б. | Отработка навыка различения графиков зависимости от времени ускорения, скорости и координаты тела, движущегося равноускоренно, навыка определения ускорения и пути движущегося тела по графику зависимости скорости его движения от времени, навыка определения графика зависимости ускорения тела от времени, соответствующего графику зависимости скорости движения тела от времени, навыка описания и сравнения характера движения точки по графику зависимости её скорости от времени. |
| Номер | Название | Рекомендованное время: | Сложность | Баллы | Описание |
|---|---|---|---|---|---|
| Домашняя работа по теме Графики зависимости кинематических величин от времени при равноускор. движ. | среднее | 8 Б. | Отработка навыка различения графиков зависимости от времени ускорения, скорости и координаты тела, движущегося равнозамедленно, навыка определения ускорения и пути движущегося тела по графику зависимости скорости его движения от времени, навыка определения графика зависимости ускорения тела от времени, соответствующего графику зависимости скорости движения тела от времени, навыка описания и сравнения характера движения точки по графику зависимости её скорости от времени. | ||
| Проверочная работа по теме Графики зависимости кинематических величин от времени при равноуск. движ. | среднее | 10 Б. | Контроль степени сформированности навыка различения графиков зависимости от времени ускорения, скорости и координаты тела, движущегося равнозамедленно, навыка определения пути движущегося тела по графику зависимости скорости его движения от времени, навыка определения графика зависимости ускорения тела от времени, соответствующего графику зависимости скорости движения тела от времени, навыка описания и сравнения характера движения точки по графику зависимости её скорости от времени, навыка определения момента встречи двух материальных точек по графикам зависимости скорости их движения от времени. |
Источники:
- studfiles.net
- fizi4ka.ru
- www.yaklass.ru
- www.yaklass.ru
В данной статьи изложены мысли, которые возникали при решении задач с сайта “Решу ЕГЭ” в разделе – https://phys-ege.sdamgia.ru/test?theme=204. Рисунки взяты оттуда же.
1. Общий подход
Анализ и использование данного графика базируется на формуле перемещения тела S, м:
Как видно из формулы площадь под графиком равна перемещению тела. Например, тело с 1 по 2 секунду на графике, представленном на рис. 1 прошло S = V * t = 2м/с * (2с – 1с) = 2м/с *1с = 2м
2. Чуть посложнее
Если мы захотим найти перемещение тела с начала движения t = 0c до 4-ой секунды движения тела согласно графику на рис. 2, то нам необходимо найти сумму площадей трех геометрических фигур: с 0с по 1с – треугольник, с 1с по 2с прямоугольник, со 2с по 4с – трапеция.
S треугольника = (1/2) * длину высоты треугольника * длину сторону треугольника, к которой проведена высота =
=(1/2) * 2м/с * (1с – 0с) = 1/2 * 2м/с * 1с = 1м
S прямоугольника мы находили в начале статьи = 2м
S трапеции = (1/2) * сумму оснований трапеции * высоту трапеции =
=(1/2) * (2м/с + 6м/с) * (4с – 2с) = (1/2) * 8м/с * 2с = 8м
Итого S = 1м + 2м + 8м = 11м
3. А если скорость равна нулю?
Не стоит пугаться нулевых скоростей на каком-либо интервале времени. Например с 3с по 5с на графике, представленном на рис. 3 перемещение тела равно 0м, т. к. площадь фигуры с 3с по 5с равна 0.
4. А если скорость ушла “в минус”?
А вот отрицательная скорость может вызвать некоторые затруднения. Здесь надо очень внимательно читать задание и не перепутать очень похожие физические величины: путь и перемещение. Путь – величина скалярная и поэтому для ее нахождения с помощью графика на рис. 4 надо зеркально отобразить отрицательные участки скорости и сложить площади фигур (см. Рис. 5)
Перемещение – величина векторная и поэтому при определении этой величины необходимо учитывать знак площади. Например, если нужно найти перемещение тела с 0с по 10с (см. рис. 5), то нужно площадь треугольника с 0с по 4с сложить с площадью треугольника с 8с по 10с и из полученного результата вычесть площадь треугольника с 4с по 8с.
5. Когда можно и не считать!
Иногда требуется визуальный анализ графиков. Например, необходимо определить какой автомобиль из 4-х с 0с до 15с проехал наибольшее расстояние?
Рассматривая площади геометрических фигур под графиками (см. рис. 6) видим, что площадь больше у графика (и машины) №3.
6. Переходим к ускорению
До сих пор мы на линейных графиках с координатами скорости и времени (см. рис. 7) видели скорость, время и перемещение (или путь).
А тут ещё прячется ускорение. Давайте попробуем его найти. Вспоминаем формулу равноускоренного движения
Рассматривая график на рис. 7 определим Vo при t = 0с => Vo = 2м/с.
А теперь возьмём на графике точку в момент времени t = 1c и определим по графику скорость в этот момент времени => V = 4м/с.
Подставляем найденные значения в формулу 2 =>
4м/с = 2м/с + a * 1c => а = (4м/с – 2м/с) / 1с = 2м/с2
Возвращаемся к графику (см. рис. 8)
Теперь мы можем сказать, что на рис. 8 представлен график линейного уравнения V = Vo + a*t = 2 + 2*t. Эти знания расширяют область использования графика на рис. 8. Например мы можем сказать, что при
t = 10c скорость будет равна V = 2м/с + 2м/с2*10с = 22м/с
7. Ищем ускорение на произвольном прямолинейном участке графика
Нас могут попросить найти ускорение тела на произвольном прямолинейном участке графика. Например с 6с по 10с на графике, представленном на рис. 9.
Для этого получим формулу для ускорения, усложнив формулу 2 заменив t на (t – to):
Возвращаемся к поиску ускорения:
а = (5м/с – (-5м/с))/(10с – 6с) = 10м/с / 4с = 2.5м/с2
8. Ищем координаты тела
Зная начальные координаты тела, начальную скорость, ускорение тела и время перемещения можем найти координаты тела в любой момент времен (формула 4)
9. Ищем скорость в пространстве
Мы можем знать значение проекций скорости на оси: х, y и z. Нас могут попросить найти модуль скорости. Ищем по формуле 5:
Для понимания формулы 5 можно представить модуль скорости диагональю параллелепипеда, а проекции скорости сторонами параллелепипеда (см. рис. 11)
Заключение
Пока, это все мысли, которые появлялись во время решения задач в разделе сайта “Решу ЕГЭ” по адресу https://phys-ege.sdamgia.ru/test?theme=204. Пишите в комментариях, если что-то напрашивается добавить.
Автор с благодарностью примет любые пожертвования на развитие канала “От сложного к простому” https://money.yandex.ru/to/4100170126360.
Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.
При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:
Формула перемещения
Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.
Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:
Извлекаем из графика необходимые данные:
- Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
- Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).
Подставляем известные данные в формулу:
Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.
Варианты записи формулы перемещения
Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:
v = v0 ± at
В итоге получается формула:
Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».
Если начальная скорость равна 0 (v0 = 0), эта формула принимает вид:
Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:
Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.
Перемещение при разгоне и торможении тела
Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:
Этап торможения
Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:
t1 = t – t2
Когда тело тормозит, через некоторое время t1 оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t1 равна 0:
0 = v01 – at1
При торможении перемещение s1 равно:
Этап разгона
Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:
t2 = t – t1
Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t2 равна:
v = at2
При разгоне перемещение s2 равно:
При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:
s = |s1 – s2|
Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:
l = s1 + s2
Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с2. Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.
В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:
Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:
v02 = v01 + a1t1 = a1t1 (так как v01 = 0)
Подставляем выраженные величины в формулу:
Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения
Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:
За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:
За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:
За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:
Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:
Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:
Формула перемещения за n-ную секунду
Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с2. Найти его перемещение за 6 секунду.
Подставляем известные данные в формулу и получаем:
Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:
где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.
Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с2. Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.
Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.
Подставляем известные данные в формулу:
Проекция и график перемещения
Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:
График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:
Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:
- Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
- Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.
Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.
Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:
Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:
График пути
График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.
В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:
- 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
- 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.
Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.
Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.
При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:
Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:
Задание EF18553
Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t2(все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.
2.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.
3.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.
4.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.
5.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.
Решение
Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.
Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:
x(t)=x0+v0t+at22
Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:
• a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).
Перемещение тела определяется формулой:
s=v0t+at22
Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:
x(t)=v0t+at22=5t−3t2
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
Ek=mv22
Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:
v=v0+at=5−6t
Поэтому кинетическая энергия тела равна:
Ek=m(5−6t)22=0,22(5−6t)2=0,1(5−6t)2
Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.
Ответ: 34
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18774
На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.
Алгоритм решения
- Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
- Определить величины, которые характеризуют такое движение.
- Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
- Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.
Решение
График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:
- перемещение и путь;
- скорость;
- ускорение.
Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.
График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.
Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.
График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».
График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».
Ответ: 24
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18831
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1=20 с до t2=50 с.
Алгоритм решения
- Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
- Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
- Записать исходные данные.
- Записать формулу определения искомой величины.
- Произвести вычисления.
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
- От t1 = 0 c до t2 = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
- От t1 = 10 c до t2 = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
- От t1 = 20 c до t2 = 30 с — с равномерным движением.
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с — с равнозамедленным движением.
Исходные данные:
- Для первого участка. Начальный момент времени t1 = 20 c. Конечный момент времени t2 = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
- Для второго участка. Начальный момент времени t1 = 30 c. Конечный момент времени t2 = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.
Записываем формулу искомой величины:
s = s1 + s2
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1 и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1 и s2, а затем сложим их:
s1 + s2 = 100 + 100 = 200 (м)
Ответ: 200
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 25.4k
