Как найти площадь грани абс



Знаток

(342),
закрыт



13 лет назад

” />

Дополнен 13 лет назад

МКУ ОО методический кабинет

Мудрец

(13191)


13 лет назад

Куча способов.
Способ 1
Зная координаты точек А, В, С можно найти длины АВ, ВС, АС. Затем найти площадь треугольника АВС по формуле Герона.
Способ 2
Записать координаты векторов АС и АВ. Найти косинус угла между этими векторами, как отношение скалярного произведения этих векторов к произведению длин этих векторов. Зная косинус можно найти синус. Площадь найти по формуле 1/2*АВ*АС*sin(CAB)
Способ 3
Найти проекцию точки С на прямую АВ, пусть это точкаС1. Найти длину СС1. Площадь будет равна 1/2 *АВ *СС1.
Лично я решал бы способом 3.
Способ 4
После моего ответа тебе дали совет найти площадь через векторное произведение векторов АВ и АС. Тоже вариант.

Геометрия 10-11 класс

10 баллов

Даны координаты вершин пирамиды ABCD :
A(1;− 4;0), B(5;0;− 2), C(3;7;−10), D(1;− 2;1).
Необходимо:
1. Записать векторыAB,AC,AD в ортонормальной системе
{i j k} , и найти модули этих векторов.
2. Найти угол между векторами AB и AC .
3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB.
4. Вычислить площадь грани ABC .
5. Найти объем пирамиды ABCD .

Ирина Каминкова

03.11.2020 22:03:14

Ответ эксперта

Ирина Каминкова

03.11.2020 22:03:47

Ответ эксперта

Все предметы

Рейтинг пользователей

    Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

    1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

    2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

    3) площади и уравнения граней;

    4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

    5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

    6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

    7) объём пирамиды;

    8) основания, площади и уравнения биссекторов;

    9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

    10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

    Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

    Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

    //mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

    Калькулятор онлайн.
    Вычисление площади треугольника построенного на векторах.

    Этот калькулятор онлайн вычисляет площадь треугольника построенного на векторах. Треугольник может быть задан координатами двух векторов или координатами трех вершин треугольника.

    Онлайн калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

    Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

    Числа можно вводить целые или дробные.
    Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

    Правила ввода десятичных дробей.
    В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
    Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

    Правила ввода обыкновенных дробей.
    В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

    Знаменатель не может быть отрицательным.

    При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
    Ввод: -2/3
    Результат: ( -frac<2> <3>)

    Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
    Ввод: -1&5/7
    Результат: ( -1frac<5> <7>)

    [spoiler title=”источники:”]

    http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/triangle_area/

    http://www.math-solution.ru/math-task/vect-area-triangle

    [/spoiler]

    A ( ; ; ), B ( ; ; ),
    C ( ; ; ), D ( ; ; )

    Примечание: дробные числа записывайте
    через точку, а не запятую.

    Округлять до -го знака после запятой.

    Онлайн калькулятор. Площадь треугольника построенного на векторах.

    Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

    Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

    Калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

    Выберите каким образом задается треугольник:

    Введите значения векторов: Введите координаты точек:

    Инструкция использования калькулятора для вычисления площади треугольника построенного на векторах

    Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

    В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

    Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника построенного на векторах

    • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.

    Теория. Площадь треугольника построенного на векторах

    Определение Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

    Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

    Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

    Добро пожаловать на OnlineMSchool.
    Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

    Решение задач по математике онлайн

    Аналитическая геометрия – задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

    Краткая теория


    Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
    Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное – разобраться и уделить задаче достаточно времени.

    Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

    Пример решения задачи

    Задача

    Даны координаты
    вершин пирамиды 
    . Найти:

    Сделать чертеж.

    На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

    ВКонтакте
    WhatsApp
    Telegram

    Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

    Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

    Решение

    Длина ребра

    Длину ребра

     найдем по
    формуле расстояния между 2-мя точками:

    Угол между ребрами

    Угол между ребрами

     и

     найдем как угол
    между направляющими векторами

      и

    :

    Косинус угла между
    векторами:

    Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

    Вычислим угол между
    ребром

     и гранью

    .

    Для этого вычислим
    координаты нормального вектора плоскости

     –им будет
    векторное произведение векторов 

     и

    .

     

    Найдем векторное произведение. Для этого

    вычислим определитель:

    Нормальный вектор
    плоскости:

      

    Синус угла:

    Площадь грани

    Вычислим площадь
    грани

    . Она будет численно равна половине модуля векторного
    произведения векторов

        и 

    :

    Искомая площадь:

    Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

    Вычислим объем
    пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

      и

    :

    Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
    найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

    Искомый объем
    пирамиды:

    Уравнение прямой в пространстве

    Вычислим уравнение
    прямой

    .  Направляющим
    вектором искомой прямой является вектор

    . Кроме того, прямая проходит через точку

     

    Уравнение искомой
    прямой:

    Уравнение плоскости

    Вычислим уравнение
    плоскости

    . Нормальный вектор плоскости

    . кроме того, плоскость проходит через точку

     -уравнение
    грани

     

    Уравнение высоты, опущенной на грань

    Составим уравнение
    высоты, опущенной на грань

     из вершины

    :

    Нормальный вектор

     является
    направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

     

    Искомое уравнение
    высоты:

    Сделаем схематический чертеж:



    1 Vote

    кравчук екате
    Posted Май 25, 2015 by кравчук екатерина владимировна
    Категория: Аналитическая геометрия
    Всего просмотров: 31518

    Піраміда ABCS задана координатами вершин A(5;-4;-2), B(-1;9;-7), C(3;-3;-7), S(-6;-8;-1). Знайти площу грані ABC, об’єм піраміди, довжину висоти SO та її рівняння, кут між ребрами AS i BC, рівняння грані ASB та рівняння ребра AC.

    Теги: Знайти площу грані, об’єм піраміди, довжину висотита її рівняння, кут між ребрами

    Все ответы



    0 Голосов

    Вячеслав Морг
    Posted Май 26, 2015 by Вячеслав Моргун

    Задание: Пирамида ABCS задана координатами вершин A(5;-4;-2), B(-1;9;-7), C(3;-3;-7), S(-6;-8;-1).
    Найти:
    1. уравнение ребра AC.
    2. площадь грани ABC,
    3. объем пирамиды,
    4. длину высоты SO и ее уравнение,
    5. угол между ребрами AS и BC,
    6. уравнение грани ASB,
    Решение
    1. уравнение ребра AC.
    Уравнения прямой AC будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ( frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1} = frac{z-z_1}{z_2-z_1})
    Подставляем координаты точек и получаем уравнения прямой  $$ AC =  frac{x-5}{3-5} = frac{y+4}{-3+4} = frac{z+2}{-7+2} => $$ $$ AC = frac{x-5}{-2} = frac{y+4}{1} = frac{z+2}{-5} $$
    Ответ: уравнение ребра AC равно ( AC = frac{x-5}{-2} = frac{y+4}{1} = frac{z+2}{-5})

    2.  Найдем площадь грани ABC.
    Грань является треугольником, который задан координатами его вершин, т.е. площадь грани равна площади треугольника ΔABC.  Что бы найти площадь ΔABC воспользуемся формулой площади треугольника (S = frac{1}{2}ah). 
    Найдем длину основания (AC), будем рассчитывать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формуле (d = sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}) Подставляем координаты точек в формулу и получаем длину стороны $$ a = AC = sqrt{(3-5)^2+(-3+4)^2+(-7+2)^2} = sqrt{30}$$ Найдем высоту (h), как расстояние между вершиной (B) и прямой AC.
    Расстояние от точки до прямой рассчитывается в координатной форму по формуле $$d = frac{sqrt{left|begin{array}{c}n & p \ y_0 – y_1 & z_0 – z_1end{array}right|^2 + left|begin{array}{c}m & p \ x_0 – x_1 & z_0 – z_1end{array}right|^2 + left|begin{array}{c}m & n \ x_0 – x_1 & y_0 – y_1end{array}right|^2}}{sqrt{m^2 + n^2 + p^2}} quad (1)$$ где (s = (m,n,p)) – направляющий вектор, координаты которого берем из уравнения прямой ( frac{x-x_1}{m}=frac{y-y_1}{n}=frac{z-z_1}{p}), получаем (m = -2; n = 1; p = -5). Координаты ((x_0;y_0;z_0)) – координаты точки B(-1;9;-7) ((x_0 = -1;y_0 = 9;z_0 = -7)), а координаты ((x_1;y_1;z_1)) – координаты точки прямой AC. Выберем координаты точки (A), получаем $$ x_1 = 5; y_1 = -4; z_1 = -2 $$ подставляем в (1) 
    $$h = frac{sqrt{left|begin{array}{c} 1 & -5 \ 9 +4  & -7 +2end{array}right|^2 + left|begin{array}{c}-2 & -5 \ -1 – 5 & -7 +2end{array}right|^2 + left|begin{array}{c} -2& 1 \ -1 – 5 & 9 + 4 end{array}right|^2}}{ sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-5)^2}} =>$$$$ d= frac{ sqrt{ 60^2+(-20)^2 + (-20)^2 }}{ sqrt{30}} = 2sqrt{frac{110}{3}}$$
    Площадь треугольника (грани)  ΔABC равна $$ S_{ΔABC} = frac{1}{2} 2sqrt{frac{110}{3}} sqrt{30} = 10sqrt{11}$$
    Ответ:  площадь грани ABC равна ( S_{ΔABC} = 10sqrt{11}) 

    Добавить комментарий