Как найти площадь игрового комплекса для малышей

Версия для печати и копирования в MS Word

Вариант № 13

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

Объекты	Качели	Поле для мини‐ футбола	Верёвочный комплекс	Песочница
Цифры

На плане (см. рисунок) изображена детская площадка, расположенная в общем дворе двух многоквартирных домов (сторона самой маленькой клетки на плане равна 1 м). Площадка предназначена как для детей младшего возраста, так и для школьников, поэтому она разделена на две отдельные части. При этом по краю зоны для малышей есть специальная дорожка, по которой можно кататься на роликах, машинках, велосипедах и просто бегать. Прямо перед скамейкой расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки находится песочница, площадь которой равна 16 м². Карусель отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. В зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой 1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный комплекс — самую маленькую.

Решение. Прямо перед скамейкой расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки находится песочница, площадь которой равна 16 м². Карусель отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. Значит, качели отмечены цифрой 8, а песочница — цифрой 7. В зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой 1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный комплекс — самую маленькую. Следовательно, поле для мини-футбола отмечено цифрой 4, а верёвочный комплекс — цифрой 3.

Ответ: 8437.

2. Сколько кубических метров песка понадобилось, чтобы слой песка в песочнице был 20 см?

Решение. Поскольку площадь песочницы равна 16 м², чтобы слой песка в песочнице был 20 см, то есть   м, понадобилось   м³ песка.

Ответ: 3,2.

3. Найдите площадь (в м²), игрового комплекса для малышей.

Решение. Заметим, что клетка имеет размер 2 х 2 м, размеры игрового комплекса для малышей — 4 x 3 клетки. Значит, площадь игрового комплекса для малышей равна

 м².

Ответ: 48.

4. Найдите длину (в метрах) диагонали поля для мини‐футбола.

Решение. Найдём длину диагонали поля для мини‐футбола по теореме Пифагора:

 м.

Ответ: 20.

5. Жители домов тщательно изучили современные материалы для мощения детской площадки. Было решено уложить в тех зонах, где есть риск получить травму, современное резиновое бесшовное покрытие. Такими зонами оказались площадка для малышей (за исключением песочницы, но включая дорожку), комплекс уличных тренажёров, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. Цены на материалы и монтаж приведены в таблице.

Площадь (м2)	менее 100	100‐250	250‐500	более 500
Цена (руб./м2)	1500	1470	1430	1400

Заказ на все площадки делается одновременно, и стоимость заказа зависит от суммарной площади. На сколько рублей дороже оказалось покрыть площадку для малышей, чем площадку для школьников?

Решение. Площадь, которую необходимо покрыть на площадке для малышей, равна

 м².

Площадь, которую необходимо покрыть на площадке для школьников, равна

 м².

Суммарная площадь составляет 344 + 316 = 660 м², поэтому цена 1 м² покрытия составит 1400 руб.

Стоимость покрытия площадки для малышей равна

 руб.

Стоимость покрытия площадки для школьников равна

 руб.

Разница в стоимости составляет   руб.

Ответ: 39 200.

6. Найдите значение выражения 

Решение. Вычислим:

Ответ: 2,8.

7. На координатной прямой точками A, B, C и D отмечены числа −0,74; −0,047; 0,07; −0,407. Какой точкой изображается число −0,047?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) A

2) B

3) C

4) D

Решение. Заметим, что   Следовательно, числу −0,047 соответствует вторая справа точка то есть точка C.

Правильный ответ указан под номером: 3.

8. Найдите значение выражения   при x = −13.

Решение. Преобразуем выражение:

Подставим значение 

Ответ: 0,3.

9. Решите уравнение   .

Решение. Последовательно получаем:

Ответ: 2,5.

10. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение. Всего выступает 13 + 2 + 5 = 20 спортсменов. Из них не из России 7 спортсменов. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 

11. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

B) 

ГРАФИКИ

1)

2)

3)

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение. Определим вид графика каждой из функций:

А)   — уравнение гиперболы

Б)   — уравнение параболы, ветви которой направлены вверх

B)   — уравнение прямой

Найдём для каждого графика функцию: A — 3, Б — 1, В — 2.

Ответ: 312.

12. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле   где   и   — длины диагоналей четырёхугольника,   — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали   если     a 

Решение. Выразим длину диагонали   из формулы для площади четырёхугольника:

Подставляя, получаем:

Ответ: 20.

13. На каком рисунке изображено множество решений неравенства  ?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Решение. Решим неравенство:    Корнями уравнения   являются числа -1 и 4. Поэтому

Множество решений неравенства изображено на рис. 2.

Правильный ответ указан под номером 2.

14. При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,5 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя восемь минут после начала реакции.

Решение. Масса осадка в растворе спустя восемь минут после начала реакции:

 г.

Ответ: 4.

15.  В треугольнике ABC известно, что  , AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение. Поскольку AD – биссектриса, то  . Таким образом, 

Ответ: 21

16.

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 38°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение.  Введём обозначение, как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому   следовательно, треугольник ABC — равнобедренный. Откуда   Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит, дуга AB равна 142°. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 142°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно, 

Ответ: 19.

17.

Площадь параллелограмма ABCD равна 70. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD.

Решение. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому   Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому   Следовательно,

Ответ: 52,5.

18.

На рисунке изображен параллелограмм  ABCD. Используя рисунок, найдите   .

Решение. Синус угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Треугольник BAH — прямоугольный, поэтому 

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы AB:

Тогда

Ответ: 0,6.

19. Какое из следующих утверждений верно?

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

3) Смежные углы равны.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. 1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой» — верно, это аксиома планиметрии.

2) «Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны» — неверно: например, могут быть квадрат и ромб с равной длиной стороны.

3) «Смежные углы равны» — неверно, смежные углы   и   связаны соотношением:  .

Ответ: 1.

20. Решите уравнение 

Решение. Преобразуем уравнение:

Ответ: −5; −2; 2.

21. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 280 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, чем у первого, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

Решение. Пусть x км/ч — скорость первого теплохода, тогда   км/ч — скорость второго теплохода. Расстояние между пристанями 280 км, второй теплоход отправился в путь через 4 часа после выхода первого, причём в конечный пункт оба теплохода прибыли одновременно, составим уравнение:

Корень −28 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость первого теплохода равна 20 км/ч.

Ответ: 20.

22. Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение. Построим график функции y = x при x y = x² + 8x + 10 при x ≥ −5.

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при m = −5 и m = −6.

Ответ: −5; −6.

23. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты:  ,  . Найдите медиану CK этого треугольника.

Решение.  Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине:

Ответ: 5.

24.  Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Решение.  Рассмотрим маленькие треугольники   и    ,   следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, 

Любой угол правильного шестиугольника равен   Треугольники   и   — равнобедренные, углы при основаниях равны   Рассмотрим развёрнутый угол 

Аналогично все остальные углы шестиугольника   равны   следовательно, шестиугольник   — правильный.

25. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение.  Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник   Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому   — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём 

Отрезки   и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть   Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда   Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем   а из равенства треугольников BOL и BOM —   Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна: 

Ответ: 924

№ задания	ответ
1	8437
2	3,2
3	48
4	20
5	39 200
6	2,8
7	3
8	0,3
9	2,5
10	0,35
11	312
12	20
13	2
14	4
15	21
16	19
17	52,5
18	0,6
19	1
20	−5; −2; 2
21	20
22	−5; −6
23	5
24	–
25	924

Найдите площадь (в м2), игрового комплекса для малышей.

 

На плане (см. рисунок) изображена детская площадка, расположенная в общем дворе двух многоквартирных домов (сторона самой маленькой клетки на плане равна 1 м). Площадка предназначена как для детей младшего возраста, так и для школьников, поэтому она разделена на две отдельные части. При этом по краю зоны для малышей есть специальная дорожка, по которой можно кататься на роликах, машинках, велосипедах и просто бегать. Прямо перед скамейкой расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки находится песочница, площадь которой равна 16 м2. Карусель отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. В зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой 1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный комплекс — самую маленькую.

Решение.

Заметим, что площадь одной клетки равна 4 м2. Значит, площадь игрового комплекса для малышей равна

  м2.

Ответ: 48.

ОГЭ математика

75 вариант

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они
обозначены на схеме. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность
четырёх цифр.

Объекты	Качели	Поле для мини‐ футбола	Верёвочный комплекс	Песочница
Цифры

На плане (см. рисунок) изображена детская площадка, расположенная
в общем дворе двух многоквартирных домов (сторона самой маленькой клетки на
плане равна 1 м). Площадка предназначена как для детей младшего возраста,
так и для школьников, поэтому она разделена на две отдельные части. При этом по
краю зоны для малышей есть специальная дорожка, по которой можно кататься на
роликах, машинках, велосипедах и просто бегать. Прямо перед скамейкой
расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки
находится песочница, площадь которой равна 16 м². Карусель
отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. В
зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой
1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При
этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный
комплекс — самую маленькую.

2. Сколько кубических метров песка понадобилось, чтобы слой песка в
песочнице был 20 см?

3. Найдите площадь (в м²), игрового комплекса для малышей.

4. Найдите длину (в метрах) диагонали поля для мини‐футбола.

5. Жители домов тщательно изучили современные материалы для мощения
детской площадки. Было решено уложить в тех зонах, где есть риск получить
травму, современное резиновое бесшовное покрытие. Такими зонами оказались
площадка для малышей (за исключением песочницы, но включая дорожку), комплекс
уличных тренажёров, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный
комплекс. Цены на материалы и монтаж приведены в таблице.

Площадь (м2)	менее 100	100‐250	250‐500	более 500
Цена (руб./м2)	1500	1470	1430	1400

Заказ на все площадки делается одновременно, и стоимость заказа
зависит от суммарной площади. На сколько рублей дороже оказалось покрыть
площадку для малышей, чем площадку для школьников?

6. Найдите значение выражения  

7. На координатной прямой отмечено число a.

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

1) a − 8 > 0

2) 7 − a < 0

3) a − 3 > 0

4) 2 − a > 0

8. Найдите значение выражения 

9. Решите уравнение 

Если
корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

10. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число
от 192 до 211 включительно делится на 5?

11. Найдите значение  по графику функции  изображенному на рисунке.

12. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле  где  и  —
длины диагоналей четырёхугольника,  — угол между диагоналями.
Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали  если   a 

13. При каких значениях x значение выражения 9x +
7 меньше значения выражения 8x − 3?

В
ответе укажите номер правильного варианта.

1) x > 4

2) x < 4

3) x > − 10

4) x < − 10

14. За изготовление и установку нижнего железобетонного кольца колодца
заплатили 234 рубля, а за каждое следующее кольцо платили на 18 рублей меньше,
чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы была выплачена премия 360
рублей. Средняя стоимость изготовления и установки одного кольца с учетом
премии оказалась равна 202 рубля. Сколько колец было установлено?

15.

В выпуклом четырехугольнике ABCD известно,
что , , ,  Найдите угол A. Ответ
дайте в градусах.

16. К окружности с центром в точке О проведены
касательная AB и секущая AO. Найдите радиус
окружности, если AB = 65 , AO = 97 .

17. Высота BH параллелограмма ABCD делит
его сторону AD на отрезки AH = 8 и HD = 28.
Диагональ параллелограмма BD равна 35. Найдите площадь параллелограмма.

18.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура.
Найдите её площадь.

19. Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

2) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен
отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра
окружности равно радиусу.

В
ответ запишите номер выбранного утверждения.

20. Решите систему уравнений 

21. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты
различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий
40 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор
будет содержать 37 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится во втором
растворе?

22. Постройте график функции  Какое наибольшее число общих
точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

23.

В треугольнике АВС углы А и С равны
30° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и
биссектрисой BD.

24. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются
в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в
четыре раза больше площади треугольника AKB.

25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь
равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до её меньшего основания.

№ п/п	Ответ
1	8437
2	3,2
3	48
4	20
5	39200
6	2,2
7	3
8	42
9	-66
10	0,2
11	4
12	14
13	4
14	9
15	8
16	72
17	756
18	10
19	3
20
21	55.
22	4.
23	10°.
24	1,8.

Вариант

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

Объекты	Качели	Поле для мини‐ футбола	Верёвочный комплекс	Песочница
Цифры

На плане (см. рисунок) изображена детская площадка, расположенная в общем дворе двух многоквартирных домов (сторона самой маленькой клетки на плане равна 1 м). Площадка предназначена как для детей младшего возраста, так и для школьников, поэтому она разделена на две отдельные части. При этом по краю зоны для малышей есть специальная дорожка, по которой можно кататься на роликах, машинках, велосипедах и просто бегать. Прямо перед скамейкой расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки находится песочница, площадь которой равна 16 м2. Карусель отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. В зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой 1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный комплекс — самую маленькую.

2.  Сколько кубических метров песка понадобилось, чтобы слой песка в песочнице был 20 см?

3.  Найдите площадь (в м2), игрового комплекса для малышей.

4.  Найдите длину (в метрах) диагонали поля для мини‐футбола.

5.  Жители домов тщательно изучили современные материалы для мощения детской площадки. Было решено уложить в тех зонах, где есть риск получить травму, современное резиновое бесшовное покрытие. Такими зонами оказались площадка для малышей (за исключением песочницы, но включая дорожку), комплекс уличных тренажёров, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. Цены на материалы и монтаж приведены в таблице.

Площадь (м2)	менее 100	100‐250	250‐500	более 500
Цена (руб./м2)	1500	1470	1430	1400

Заказ на все площадки делается одновременно, и стоимость заказа зависит от суммарной площади. На сколько рублей дороже оказалось покрыть площадку для малышей, чем площадку для школьников?

6.  Найдите значение выражения  

7.  На координатной прямой отмечены числа p, q и r.

Какая из разностей p − r, p − q, r − q отрицательна?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) p – r            2) p – q           3) r – q            4) ни одна из них

8.  Какое из чисел    является иррациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4) ни одно из этих чисел

9.  Решите уравнение 

10.  В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

11.  На рисунке изображён график функции  . Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.

1) функция возрастает на промежутке     2) 

3) 

4) прямая    пересекает график в точках    и  

12.  Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1 = 3, an + 1 = an + 4.

Найдите a10.

13.Найдите значение выражения  при 

14.  Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

15.  При каких значениях x значение выражения 9x + 7 меньше значения выражения 8x − 3?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) x > 4           2) x < 4         3) x > − 10           4) x < − 10

16.  В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.

17

В угол  величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках  и , точка  — центр окружности. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

18. 

В трапеции ABCD известно, что AD = 2, BC = 1, а её площадь равна 48. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

19

Найдите тангенс угла 

20.  Укажите номера верных утверждений.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

2) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

3) Сумма вертикальных углов равна 180°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

21.  Решите систему уравнений 

22.  Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

23.  Постройте график функции  и определите, при каких значениях  прямая  имеет с графиком ровно три общие точки.

24.  Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34.

25. 

Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки  и  равны.

26.  Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

КЛЮЧ

1. Задание 1 № 368401

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

Объекты	Качели	Поле для мини‐ футбола	Верёвочный комплекс	Песочница
Цифры

На плане (см. рисунок) изображена детская площадка, расположенная в общем дворе двух многоквартирных домов (сторона самой маленькой клетки на плане равна 1 м). Площадка предназначена как для детей младшего возраста, так и для школьников, поэтому она разделена на две отдельные части. При этом по краю зоны для малышей есть специальная дорожка, по которой можно кататься на роликах, машинках, велосипедах и просто бегать. Прямо перед скамейкой расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки находится песочница, площадь которой равна 16 м2. Карусель отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. В зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой 1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный комплекс — самую маленькую.

Решение.

Прямо перед скамейкой расположился игровой комплекс с горкой, домиком, лесенками, а слева от скамейки находится песочница, площадь которой равна 16 м2. Карусель отмечена на плане цифрой 6. Кроме того, в зоне для малышей имеются качели. Значит, качели отмечены цифрой 8, а песочница — цифрой 7. В зоне для школьников находятся: комплекс уличных тренажёров, обозначенный цифрой 1, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. При этом поле для мини‐футбола имеет самую большую площадь, а верёвочный комплекс — самую маленькую. Следовательно, поле для мини-футбола отмечено цифрой 4, а верёвочный комплекс — цифрой 3.

Ответ: 8437.

2. Задание 2 № 368402

Сколько кубических метров песка понадобилось, чтобы слой песка в песочнице был 20 см?

Решение.

Поскольку площадь песочницы равна 16 м2, чтобы слой песка в песочнице был 20 см, понадобилось  м3 песка.

Ответ: 3,2.

3. Задание 3 № 368403

Найдите площадь (в м2), игрового комплекса для малышей.

Решение.

Заметим, что сторона одной клетки равна 2 м2. Значит, площадь игрового комплекса для малышей равна

 м2.

Ответ: 48.

4. Задание 4 № 368404

Найдите длину (в метрах) диагонали поля для мини‐футбола.

Решение.

Найдём длину диагонали поля для мини‐футбола по теореме Пифагора:

 м.

Ответ: 20.

5. Задание 5 № 368406

Жители домов тщательно изучили современные материалы для мощения детской площадки. Было решено уложить в тех зонах, где есть риск получить травму, современное резиновое бесшовное покрытие. Такими зонами оказались площадка для малышей (за исключением песочницы, но включая дорожку), комплекс уличных тренажёров, площадка для активных игр, поле для мини‐футбола и верёвочный комплекс. Цены на материалы и монтаж приведены в таблице.

Площадь (м2)	менее 100	100‐250	250‐500	более 500
Цена (руб./м2)	1500	1470	1430	1400

Заказ на все площадки делается одновременно, и стоимость заказа зависит от суммарной площади. На сколько рублей дороже оказалось покрыть площадку для малышей, чем площадку для школьников?

Решение.

Площадь, которую необходимо покрыть на площадке для малышей, равна

 м2.

Стоимость покрытия площадки для малышей равна

 руб.

Площадь, которую необходимо покрыть на площадке для школьников, равна

 м2.

Стоимость покрытия площадки для школьников равна

 руб.

Разница в стоимости составляет  руб.

Ответ: 39200.

6. Задание 6 № 314132

Найдите значение выражения  

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −320.

7. Задание 7 № 322419

На координатной прямой отмечены числа p, q и r.

Какая из разностей p − r, p − q, r − q отрицательна?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) p − r

2) p − q

3) r − q

4) ни одна из них

Решение.

Заметим, что r < q < p. Разность отрицательна только в том случае, когда вычитаемое больше уменьшаемого. Это верно только для разности r − q.

Правильный ответ указан под номером: 3.

8. Задание 8 № 317295

Какое из чисел    является иррациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 

2) 

3) 

4) ни одно из этих чисел

Решение.

Преобразуем числа:

Корень из 10 является иррациональным числом, поэтому число  — иррационально.

Правильный ответ указан под номером: 3.

9. Задание 9 № 338606

Решите уравнение 

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −2,5.

10. Задание 10 № 311336

В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

Решение.

Всего в мешке 50 жетонов. Среди них 45 имеют двузначный номер. Таким образом, вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число равна 

11. Задание 11 № 311406

На рисунке изображён график функции  . Какие из утверждений относительно этой функции неверны? Укажите их номера.

1) функция возрастает на промежутке  

2) 

3) 

4) прямая    пересекает график в точках  и  

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) Функция возрастает на промежутке   — неверно, функция убывает на промежутке  и затем возрастает на .

2)  — неверно,  

3)  — верно, видно из графика.

4) Прямая    пересекает график в точках    и   — верно, видно из графика.

Таким образом, неверные утверждения находятся под номерами 1 и 2.

Ответ: 12.

12. Задание 12 № 314619

Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1 = 3, an + 1 = an + 4. Найдите a10.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 39.

13. Задание 13 № 353153

Найдите значение выражения  при 

Решение.

Упростим выражением

Подставим значения :

Ответ: 240

14. Задание 14 № 311824

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32 , где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 6° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Решение.

Подставим в формулу значение переменной :

Ответ: −14,4.

15. Задание 15 № 338490

При каких значениях x знаение выражения 9x + 7 меньше значения выражения 8x − 3?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) x > 4

2) x < 4

3) x > − 10

4) x < − 10

Решение.

Для ответа на вопрос задачи нужно решить неравенство  Решим его:

Правильный ответ указан под номером: 4.

16. Задание 16 № 324828

В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6.

Решение.

Пусть длин сторон параллелограмма равны  и  В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: Периметр параллелограмма 

Ответ: 24.

17. Задание 17 № 348670

В угол  величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках  и , точка  — центр окружности. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBCравны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 157° = 23°.

Ответ: 23.

18. Задание 18 № 349241

В трапеции ABCD известно, что AD = 2, BC = 1, а её площадь равна 48. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.

Решение.

Проведём высоту  Средняя линия равна полусумме оснований:  Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Поскольку  — средняя линия,  поэтому  Отрезки  и  равны,  по теореме Фаллеса получаем, что  Найдём площадь трапеции 

Ответ: 20.

19. Задание 19 № 352485

Найдите тангенс угла 

Решение.

Найдем каждую из сторон треугольника , чтобы показать, что он прямоугольный.

Таким образом, 

Ответ: 0,5

20. Задание 20 № 311851

Укажите номера верных утверждений.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

2) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

3) Сумма вертикальных углов равна 180°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. Утверждение 1 верно, в силу признака параллельности прямых.

2) Через любые три точки проходит не более одной прямой. Утверждение верно, через любые три точки либо нельзя провести прямую, если они не лежат на одной прямой, либо можно провести одну прямую, если они лежат на одной прямой.

3) Вертикальные углы равны по построению, при этом их сумма равна 180°, только если эти углы прямые, утверждение 3 неверно.

Ответ: 12.

21. Задание 21 № 338894

Решите систему уравнений 

Решение.

Выразим переменную  из второго уравнения и подставим в первое:

Решим первое уравнение системы. Пусть 

Тогда 

Система имеет четыре пары решений:

Ответ: (−1; −6); (1; 6); (−6; −1); (6; 1).

22. Задание 22 № 338995

Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Решение.

Пусть  — скорость реки, тогда  — скорость катера в стоячей воде,  — расстояние от А до места встречи,  — расстояние, которое пройдёт плот от места встречи до момента возвращения катера в В. Примем расстояние между А и В за единицу. К месту встречи плот и катер прибыли одновременно, откуда  За то время, пока катер преодолеет расстояние  плот преодолеет расстояние  откуда  Получаем систему уравнений:

Плот за всё время движения прошёл расстояние  Поскольку всё расстояние между А и В мы приняли равным единице, плот пройдёт 0,4 пути из А в В к моменту возвращения катера в пункт В.

23. Задание 23 № 338253

Постройте график функции  и определите, при каких значениях  прямая  имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение.

Раскроем модуль:

Выделим полные квадраты:

Следовательно, график функции  получается из графика функции сдвигом на (−2; −1); а график функции  — сдвигом на (2; −7).

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая  имеет с графиком функции ровно три общие точки при  и 

Ответ: −1; 0,5625.

24. Задание 24 № 339403

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34.

Решение.

По определению параллелограмма   — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы  и равны как накрест лежащие. Поскольку треугольник  — равнобедренный, откуда Аналогично, треугольник  — равнобедренный и  Стороны  и  равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:

Ответ: 17.

25. Задание 25 № 311604

Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки  и  равны.

Решение.

Пусть общая вершина квадратов — точка .  и . Следовательно, . Тогда треугольники  и  равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  как соответствующие стороны равных треугольников.

26. Задание 26 № 340107

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

Решение.

Поскольку существует точка, равноудалённая от всех вершин четырёхугольника, четырёхугольник можно вписать в окружность. Четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, суммы противоположных углов равны 180°:

Отрезки  и CM равны как радиусы окружности, поэтому треугольники ABM и BMC — равнобедренные, откуда  и  Рассмотрим треугольник BMC, сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда  По теореме синусов найдём сторону BM из треугольника 

Сторона AD — диаметр описанной окружности, поэтому 

Ответ: 

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

1

368401

8437

2

368402

3,2

3

368403

48

4

368404

20

5

368406

39200

6

314132

-320

7

322419

3

8

317295

3

9

338606

-2,5

10

311336

0,9

11

311406

12|21

12

314619

39

13

353153

240

14

311824

-14,4

15

338490

4

16

324828

24

17

348670

23

18

349241

20

19

352485

0,5

20

311851

12

21

338894

(−1; −6); (1; 6); (−6; −1); (6; 1).

22

338253

−1; 0,5625.

23

339403

17.

24

340107