Как найти площадь косинусоида - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Косинусоида

Формула

Площадь арки косинусоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) косинусоиды в единицах измерения площади.

Арка (полуволна) косинусоды — это область, ограниченная косинусоидой и осью абсцисс при −π/2 ≤ x ≤ π/2.

Содержание

1 Обозначения
2 Формула
3 Вывод формулы
4 См. также
5 Другие формулы

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой (меньшей) точки;

x₂ — абсцисса второй (большей) точки;

y = cosx — уравнение косинусоиды;

S_cos — площадь арки (или части арки) косинусоиды.

Формула[править]

${displaystyle S_{cos }=sin x_{2}-sin x_{1}, -{frac {pi }{2}}leq x_{1}leq x_{2}leq {frac {pi }{2}}}$

Площадь полной (от −π/2 до π/2) арки косинусоиды равна S_арк.cos = 2.

Вывод формулы[править]

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «cases»): {displaystyle S_{cos}=iintlimits_{cases{-frac{pi}{2} le x_1 le x le x_2 le frac{pi}{2} \ 0 le y le cos x}}=intlimits_{x_1}^{x_2}dxintlimits_0^{cos x}1dy=intlimits_{x_1}^{x_2}left.yright|_0^{cos x}dx=intlimits_{x_1}^{x_2}cos xdx=left.sin xright|_{x_1}^{x_2}=}

${displaystyle =sin x_{2}-sin x_{1}Rightarrow S_{cos }=sin x_{2}-sin x_{1}}$

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

См. также[править]

Длина дуги косинусоиды

Другие формулы[править]

площадь плоской фигуры;
площадь круга;
площадь сегмента круга;
площадь сектора круга;
площадь серпа;
площадь эллипса;
площадь сегмента эллипса;
площадь сектора эллипса;
площадь серпа эллипса;
площадь сегмента параболы;
площадь сегмента гиперболы;
площадь сектора кардиоиды;
площадь сектора лемнискаты Бернулли;
площадь сегмента правильного многоугольника;
площадь сектора правильного многоугольника;
площадь арки синусоиды;
площадь арки косинусоиды;
площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
площадь арки циклоиды;
площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.

Источник

Арка (полуволна) косинусоды — это область, ограниченная косинусоидой и осью абсцисс при -π/2≤x≤π/2.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой (меньшей) точки;

x₂ — абсцисса второй (большей) точки;

y=cosx — уравнение косинусоиды;

S_cos — площадь арки (или части арки) косинусоиды.

Формула

Площадь полной (от -π/2 до π/2) арки косинусоиды равна S_арк.cos=2.

Вывод формулы:

Для вывода используется формула “площадь плоской фигуры” в прямоугольных координатах.

Другие фигуры:

Ссылки

Участник:Logic-samara

Источник

Введение.

Лекция
продолжает изучение темы «Определенный
интеграл», включающей в себя четыре
лекции, три практических занятия, одно
лабораторное занятие. Тема «Определенный
интеграл» и данная лекция, в частности,
связаны с предыдущей темой «Неопределенный
интеграл». Основоположниками интегрального
исчисления, по праву следует считать
Г. Лейбница, И. Ньютона. В 19 веке Г. Риман
(1826-1866) создал теорию интеграла, обобщающую
результаты, полученные О. Коши. Приложениями
определенного интеграла занимались И.
Кеплер (1571-1630) в своих исследованиях по
астрономии, Б. Кавальери (1598-1647) и Э.
Торричелли (1608-1647). Ответы на многие
вопросы, связанные с существованием
площадей и объемов фигур были получены
К. Жорданов (1838-1922). В дальнейшем обобщения
понятия интеграла были предложены
французскими математиками А. Лебегом
(1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским
математиком А. Хинчиным(1894-1959). Лекция
тесно связана с тематикой последующих
и предыдущих тем.

1.Вычисление площадей плоских фигур.

Как
известно, площадь криволинейной трапеции,
ограниченной непрерывной линией
и прямыминаходится по формуле

,
(1)

где
.

Если
,
то определенный интеграл (1) неположителен.
Его абсолютная величина равна площади
криволинейной трапеции, расположенной
ниже осиOx,
т.е.
.

Если
же функция f(x)
меняет на отрезке
знак конечное число раз, то для вычисления
площади фигуры можно разбить отрезок
интегрирования на части, гдеf(x)
не меняет знака, а затем найти по формуле
(1) площади фигур, полученных таким
образом и взять их алгебраическую сумму.

Пример
1. Найти площадь фигуры, ограниченной
косинусоидой
и прямыми

Решение.
Разобьем отрезок
на такие части, где функциясохраняет постоянный знак. Посколькуприипри,
имеем

a
b x a c
b x

Рис 1.

Рис.2

Найдем
площадь фигуры, заключенной между двумя
кривыми
(рис.1). Пусть для определенности.
Тогда площадьS
равна разности площадей криволинейных
трапеций, ограниченных сверху
соответственно графиками функций
,
т.е.

.
(2)

Если
графики функций пересекаются на отрезке
конечное число раз (рис.2), то отрезок
интегрирования нужно разбить на такие
части, где разность
сохраняет постоянный знак, и найти
площади полученных частей по формуле
(2).

Вычисление
площади криволинейной трапеции для
кривой, заданной параметрически.

Пусть
кривая задана параметрическими
уравнениями

(3)

где
функция
непрерывна, анепрерывно дифференцируема. Пусть,
далее, уравнения (3) определяют интегрируемую
функциюy=f(x)
на отрезке,
так, что различнымсоответствуют различные точки кривойy=f(x),
которая сама себя не пересекает, причемплощадь криволинейной трапеции
определяется по формуле (1). Выполним в
формуле (1) подстановку;
имеемЕсли;
если.
Тогда формула (1) примет вид

(4)

Пример
2. Найти площадь фигуры, ограниченной
эллипсом.

Решение.
Параметрические уравнения эллипса
имеют вид
.
В силу симметрии эллипса достаточно
найти площадьодной его четверти, а затем умножить
результат на 4. Еслиxизменяется в

пределах
,
то параметрtизменяется.
По формуле (4) получим

Вычисление
площадей в полярных координатах.Пусть в полярной системе координат
задана функция,
где– полярный радиус,– полярный угол. Пусть, далее, функциянепрерывна при изменении углав пределах.
Фигура, ограниченная частьюABграфика функциии прямыми, соединяющими полюсOс точкамиAиB,
называется криволинейным сектором.

(рис.3)

Вычислим площадь криволинейного сектора
OAB. Разобьем уголнаnчастей лучами,
соответствующими значениям полярного
угла.
Обозначим углы между проведенными
лучами через.
Дляk-го угла имеем.
Ясно, что площадь криволинейного сектораOABравна суммеnмалых площадей, его составляющих.
Рассмотри криволинейный сектор.
Выберем некоторый угол,
удовлетворяющий неравенствам,
и обозначим длину соответствующего
этому углу радиуса через.
Заменим площадьk-го
криволинейного сектора площадью
кругового сектора с радиусоми центральным углом.
Его площадь равна.
Так как,
то площадьk-го кругового
сектора вычисляется по формуле.
Сумма площадейnкруговых
секторов составит

(5)

Сумма
является интегральной суммой Римана
для функциина отрезке.
Переходя в равенстве (5) к пределу при,
получим

.
(6)

В
равенстве (6) левая часть есть площадь
Sкриволинейного сектораOAB, а правая часть равна
определенному интегралу.
Таким образом, соотношение (6) примет
вид

.
(7)

Пример
3. Найти площадь круга радиуса R.

Решение.
Уравнение окружности в полярных
координатах имеет вид
.
В силу симметрии круга достаточно
вычислить площадьчетверти круга, а затем умножить результат
на 4. Полярный угол, соответствующий
площадиизменяется в пределах.
По формуле (7) находим

что
согласуется с общеизвестной формулой.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.04.2015132.61 Кб1013.doc
#
#
02.04.2015310.78 Кб5814.doc
#
#
#
02.04.2015390.66 Кб2316.doc
#
#
#
#
#

Источник

Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной полуволной косинусоиды и осью OX.

(помогите плиз).

Вопрос Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной полуволной косинусоиды и осью OX?, расположенный на этой странице сайта, относится к
категории Математика и соответствует программе для 10 – 11 классов. Если
ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска
похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему.
Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку,
расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей,
оставившими комментарии под вопросом.

Источник

Площадь S криволинейного сектора, ограниченного непрерывной кривой r=r(f) и двумя лучами f=f₁ и f=f₂, где f₁<f₂ равняется половине определенного интегралу от квадрата радиуса кривой, проинтегрированного в пределах изменения угла
Задачи взяты из программы практикума для студентов мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко. Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. “Практикум из математического анализа” (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).

Для запоминания основных моментов схема интегрирования и нахождения площадей из примера в пример будет повторяться. Сами ррешеня по возможности будут проиллюстрированы графиками исследуемых кривых.

Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в полярных координатах

Пример 2.106 (2418) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми r²=a²*cos(2f) (лемниската Бернулли).
Вычисление: Лемниската Бернулли – геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) остается постоянным и равняется квадрату половины расстояния между фокусами.
Запишем подинтегральную функцию: r²=a²*cos(2f) (известна за условием).
Найдем пределы интегрирования:
задана кривая замкнутая, симметричная относительно прямых r*cos(f)=0 и r*sin(f)=0.
Наведем график лемнискаты Бернулли

Поскольку заданная функция осями координат делится на четыре равных части и достигает своих критических значений при f₁=0 (r=a) и f₂=p/4 (r=0), то площадь фигуры вычислим для одной части лемнискаты, а результат умножим на 4.
Найдем площадь фигуры интегрированиям по углу

Площадь измеряется в единицах квадратных, однако в этом и следующих примерах размерности наводить не будем, хотя о них помним.

Пример 2.107 (2419) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r=a* (1+cos(f)) – кардиоида.
Вычисление: Кардиоида – плоская линия, которая описывается фиксированной точкой круга, который катится по неподвижному кругу с таким же радиусом a.
Записываем подинтегральную функцию: r²=a²*(1+cos(f))².
Находим пределы интегрирования: кривая замкнутая, симметричная относительно прямой r*sin(f) =0.
Поскольку заданная функция осями координат делится на две равных части и достигает своих критических значений при f₁=0 (r=2a) и f₂=p (r=0), то площадь фигуры вычислим для половины кардиоиды, а результат умножим на 2.
График кардиоиды имеет вид

Вычислим площадь фигуры, которая ограничена заданной кривой, интегрированием:

Пример 2.108 (2420) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r=a*sin(f) -трилисник.
Вычисление: Подносим функцию к квадрату, чтобы получить подинтегральную функцию:
r²=a²*sin²(f).
График трилистника в полярной системе координат

Установим пределы интегрирования:
Поскольку заданный график функции делится на шесть равных частей (полупелюсток) и достигает своих критических значений при f₁=0 (r=0) и f₂=p/6 (r=a/2) то площадь фигуры вычислим для одной его части, а результат умножим на 6.
Находим площадь фигуры интегрированием по углу

Получили простую для вычислений формулу площади трилистника S=Pi*a²/4.

Пример 2.109 ( 2421) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (парабола), f₁=p/4, f₂=p/2.
Вычисление: Подносим к квадрату уравнения кривой в полярной системе коринат (СК).

Пределы интегрирования известны f₁=p/4, f₂=p/2 за условием.
График фигуры, площадь которой нужно найти имеет вид

Интегрированием вычисляем площадь фигуры, которая ограничена параболой:

Для вычисления интеграла следует выполнить замену переменных, не забывая при этом , что изменяются пределы интегрирования.

Пример 2.110 ( 2422) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (эллипс)
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования: f₁=0, f₂=2p (начало и конец кривой эллипса).
График эллипса имеет вид

Находим площадь елипса, воспользовавшись следующей формулой интегрирования

При выведении этой формулы пользовались методом интегрирования частями!

Напоследок превращаем конечную формула с помощью известных формул.
Как видим, ответы задач 2.110 и 2.87 совпадают, то есть площадь эллипса S=Pi*a*b вычислена правильно.

Пример 2.111 (2422.1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой заданной в полярных координатах r=3+2*cos(f).
Вычисление: Сначала находим подинтегральную функцию: r²=(3+2*cos(f))².
Дальше пределы интегрирования: задана кривая замкнутая, симметричная относительно прямой r*sin(f)=0.
Ее график приведен на рисунку ниже

Поскольку задана кривая осями координат делится на две равных части и достигает своих критических значений при углах f₁=0 (r=5) и f₂=p (r=1), то вычислим половину площади фигуры, а результат умножим на 2.
Находим площадь фигуры через определенный интеграл

Интеграл в данном случае не тяжелый и, возведя в квадрат подинтегральную функцию и понизив квадрат косинуса, в результате вычислений получим, что площадь равна S=11*Pi.

Пример 2.112 (2424.1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой заданной в полярных координатах r²+f²=1.
Вычисление: Выражаемый подинтегральную функцию: r²=1-f² .
Найдем пределы интегрирования.
, поэтому , откуда .

Построим график кривой в математическом пакете Maple17.
Кривая состоит из двух веток корневой функции, поэтому для корректного ее отображения используем следующий код:
> restart;
> with (plots) :
> q1:=plot(sqrt(1-phi^2),phi=-1.1, color=blue, thickness=2, coords=polar):
q2:=plot(-sqrt(1-phi^2),phi=-1.1, color=blue, thickness=2, coords=polar):
> display (q1, q2);
Фрагмент программы Maple приведен ниже

Находим площадь фигуры, которая ограничена кривой:

Интеграл в этом задании простей всех, что рассматривались.

Пример 2.113 ( 2422.2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .
Вычисление: Выписываем подинтегральные функции:

Поскольку на промежутке интегрирования между кривыми выполняется неравенство, то для нахождения площади имеем r₂²-r₁².
Найдем пределы интегрирования: f₁=0 – особенная точка (функция направляется к безграничности) f₁=p/2 (известны за условием).
Находим площадь фигуры через предел от интеграла:

Данный пример хорошо разберите, чтобы не иметь трудностей на экзамене или модуле с подобными.

Пример 2.114 ( 2424) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию: r².
Запишем пределы интегрирования:
(известны за условием).
График функций имеет вид

Вычислим площадь фигуры, что приведена на графике.
Для этого сначала находим дифференциал угла f и переходим к интегрированию по радиусу.
Для нахождения интеграла применяем интегрирование частями

Интеграл достаточно трудно находится, поэтому все что содержит формула внимательно проанализируйте.

Пример 2.116 (2424.4) Найти площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми f=r-sin(r), f=p.
Вычисление: Подинтегральную функция следующая: r².
Пределы интегрирования: f₁=0, (r=0) начало; f₁=p (известно за условием).
График функции имеет вид

Находим площадь фигуры, применяя дважды интегрирование частями

Интеграл не слишком сложен, все переходы просьба проанализировать самостоятельно.

Пример 2423 Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми r=a*cos(f), r=a(cos(f)+sin(f)), M (a/2;0)єS.
Вычисление: Для представления фигуры, площадь которой нужно найти предварительно выполняем построение графика заданных функций

Поскольку точка M (a/2;0)єS делит искомую площадь на две части, то имеем два интеграла

Записываем уравнение подинтегральных функций:

Определяем пределы интегрирования:
, где и где (точки пересечения линий).
Вычисляем площадь изображенной фигуры интегрированием

Здесь воспользовались известные тригонометрические формулы для понижения степени косинусов и синусов под интегралом. Все остальное сводятся к применению простых формул интегрирования, и нахождения их значений.

Пример 2424.2 Найти площадь фигуры, ограниченной полярными кривыми f=sin(p*r), r пренадлежит [0;1].
Вычисление: Запишем подинтегральную функцию: r².
Запишем пределы интегрирования: При росте r от 0 к 1/2 угол f растет от 0 к 1, при росте r от 1/2 к 1 угол f спадает от 1 к 0, поэтому величина интеграла в пределах r пренадлежит [0;1] имеет знак “минус”.

Находим площадь фигуры, предварительно перейдя к новой переменной под интегралом:

Перед интегралом (после замены переменных) поставили знак “минус”, поскольку интеграл является отрицательным на этом промежутке, а площадь должна быть положительной.

Перейти к полярным координатам и найти площади фигур, ограниченных кривыми

Пример 2426 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры x³+y³=3a*x*y (лист Декарта)
Вычисление: Перейдем от прямоугольной системы координат к полярной системе координат за формулами перехода:

При подстановке в уравнение получим

Поднесем к квадрату, чтобы получить подинтегральную функцию:

Выпишем пределы интегрирования:
, потому что при и при .
График функции имеет вид

Найдем площадь фигуры интегрированиям:

Для получения конечной формулы площади дважды применяли замену переменных под интегралом.
Внимательно разберите, как при этом изменяются пределы и эффективность методики.

Пример 2427 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры x⁴+y⁴=3a²(x²+y²)
Вычисление: Переходим от прямоугольной к полярной системе координат:

Выражаемый подинтегральную функцию делением:

Запишем пределы интегрирования:
(функция парная).
Ее график изображен на рисунку

Оси прямоугольной системы координат являются осями симметрии для фигуры, которая ограничена заданной линией, поэтому площадь найдем для симметричной части и результат умножим на 4.
Находим площадь фигуры через интеграл:

Пример 2428 Перейти к полярным координатам и найти площадь фигуры (x²+y²)²=2a²*x*y (лемниската).
Вычисление: Выполняем переход от прямоугольной к полярной системе координат:

– подинтегральная функция.
График исследуемой кривой следующий

Запишем пределы интегрирования: учитывая симметрию точек лемнискаты относительно прямой r*sin(f) =r*cos (f) и относительно начала координат, то площадь фигуры будем искать в пределах и результат умножим на 4 (смотри пример 2.106).
Находим площадь фигуры интегрированием:

Вычислений в этом задании минимум.
В следующих публикациях Вы найдете больше примеров на применение определенного интеграла при вычислении длины дуги, объемов фигур вращения и площадей поверхностей.