Как найти площадь косоугольного треугольника

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Как найти площадь косоугольного треугольника

РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

При решении прямоугольных треугольников мы использовали только определения основных тригонометрических функций. Для решения же косоугольных треугольников нам потребуется знание зависимостей между сторонами и тригонометрическими функциями углов косоугольных треугольников, известные как теоремы синусов, косинусов и тангенсов. К выводу этих теорем мы и переходим.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: a, b и с — стороны треугольника; А, В и С — противолежащие им углы; S — площадь; 2р — периметр; R — радиус описанного круга; r — радиус вписанного круга; h_а, l_а и m_а — высота, биссектриса и медиана, соответствующие стороне а.

1. Теорема синусов

Теорема. Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:

Доказательство. Опишем круг около данного треугольника ABC . Пусть R — радиус этого круга. Возьмём одну из вершин треугольника, например А; через одну из других вершин, например через В, проведём диаметр ВА’ описанного круга. Вспомогательный треугольник А’ВС прямоугольный, так как вписанный угол А’СВ опирается на диаметр. Из вспомогательного треугольника найдём:

Если угол А острый, то А = А’, так как вписанные углы A и A’ опираются на одну и ту же дугу.
Если угол А тупой, то угол А’ острый, измеряющийся половиной дуги ВАС:

Итак, или A = А’, или A’ = — A, в обоих случаях sin A’ = sin A, а потому

Если угол A прямой, то а = 2R, sin A = 1 и равенство (1) также справедливо.

Аналогичные равенства найдём и для прочих углов В и С. Итак,

а = 2R sin A; b = 2R sin В; с = 2R sin С, откуда

= 2R

Следствие. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру круга, описанного около треугольника.

2. Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Доказательство. Докажем первое равенство.

Случай 1. Угол A острый.

Пусть ВН — высота, опущенная из вершины В ; из геометрии известно (см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 208) , что
а 2 = b 2 + с 2 -2b · АН. (1)
Из прямоугольного треугольника АВН найдём
АН = с cos А; подставив в формулу (1), получим доказываемое равенство.

Случай 2. Угол A тупой.
В этом случае а 2 = b 2 + с 2 +2b · АН. (2)
(см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 209)

Из треугольника АВН найдём:
АН = с cos / BAH= с cos ( -A) = — с cos A.

Подставив в формулу (2), получим доказываемое равенство.

Случай 3. Угол А прямой.

В этом случае (по теореме Пифагора): а 2 = b 2 + с 2 = b 2 + с 2 – 2bc cos А (так как cos А = 0).

Итак, во всех случаях

3. Формулы для вычисления площади треугольника

1. Из геометрии известна формула Г е р о н а: S = / р (р – а)(р – b) (р – с) (где р = (а+ b+c)/2 -полупериметр ), позволяющая вычислять площадь треугольника по его сторонам.

2. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

S = 1 /₂ bc sin A.

Доказательство. Из геометрии известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону из противоположной вершины.

Если угол А острый, то из треугольника АВН найдём ВН = h_b = с sin A.

Если угол A тупой, то ВН = h_b = с sin ( -A) = с sin A. Если угол A прямой, то sin A = 1 и
h_b = АВ = с = с sin A.

Следовательно, во всех случаях h_b = с sin A. Подставив в равенство (1), получим доказываемую формулу.

Точно так же получим формулы: S = 1 /₂ ab sin C = 1 /₂ ac sin B

3. На основании теоремы синусов:

Подставив эти выражения в формулу (1), получим следующую формулу:

Теорема. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

(и две аналогичные формулы для прочих пар сторон а, с и b, с).

Доказательство. В силу теоремы синусов имеем:

Разделив почленно эти равенства, получим доказываемую формулу.

5.Решение треугольника по двум его углам и стороне

Задача. Даны два угла треугольника и сторона, прилежащая к ним; вычислить другие стороны и угол.Даны В, С и а; требуется найти b, с и А.

Решение. Условие возможности построения треугольника по этим данным: А + В / а 2 + b 2 — 2ab cos С

Для вычисления А можно также воспользоваться формулой косинусов:

Так как 0 b, т. е, заданный угол А лежит против большей стороны.

Построение показано на чертеже. Из точки С (как из центра), взятой на одной из сторон угла А на расстоянии b от вершины, описана окружность радиуса а; точка В есть точка пересечения этой окружности с другой стороной угла А.
Построение всегда возможно, задача имеет единственное решение.

Острый угол В, противолежащий меньшей стороне, находится по теореме синусов:

откуда

и затем С = 180° — (A + В). Сторона с находится по теореме синусов:

С л у ч а й 2. а 90° задача не имеет решения.
Пусть угол А острый. Из построения на чертеже a) , видно, что окружность радиуса а с центром в точке С пересечёт другую сторону угла А в двух точках при условии а > CD, где D — основание перпендикуляра, опущенного из точки С на другую сторону угла A. Так как CD = b sin A (из треугольника ACD), то условие запишется так: a >bsinA. Для угла В возможны два значения: В = В₁ (острый) и В = В₂ (тупой). Задача имеет два решения.

Презентация на тему: ” Знакомства с площадью параллелограмма, площадью прямоугольного треугольника и площадью косоугольного треугольника.” — Транскрипт:

ВИДЕО УРОК

Условимся, как это принято, обозначать элементы
косоугольного треугольника с вершинами  А, В, С  следующими буквами

А,
В, С – внутренние углы треугольника;

a,
b, c – соответствующие
стороны, противоположные углам треугольника;

h_a,
h_b, h_c –
высоты треугольника относительно сторон  a, b  и  с;

b_a,
b_b, b_c –
биссектрисы внутренних углов;

m_a, m_b,
m_c – соответствующие медианы;

– полупериметр треугольника;

S – площадь треугольника;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности;

r_a,
r_b, r_c –
радиусы вневписанных окружностей.

Основные теоремы и формулы о соотношениях между элементами треугольника.

Сума
внутренних углов.

Формулы половинных
углов.

Формула для высот треугольников.

Формулы для вычисления
биссектрис.

Формула для вычисления
медиан.

Формулы для вычисления
радиуса описанной окружности.

Формулы для вычисления
радиуса вписанной окружности.

Основные случаи решения косоугольных треугольников.

Основными случаями решения треугольников называются задачи на вычисление
элементов треугольника по трём его данным независимым основным элементам.

К основным элементам относят стороны и внутренние углы треугольника, причем
углы связаны между собой соотношением

А
+ В + С = π,

поэтому только два из них могут быть независимыми.

Решение косоугольного
треугольника по стороне и двум углам.

В треугольнике  АВС  даны:
сторона  а  и углы  В  и  С. Найти угол  А  и стороны 
b  и  с.

Если даны два угла треугольника, то третий определяем как

А
=180° – (В + С).

Неизвестные стороны  b  и  с  определяются по теореме синусов из пропорций:

Откуда получаем:

но 

sin А = sin
[180° –
(В + С)] = sin (В + С),

а потому

ПРИМЕР:

Дано:

а = 400,

А = 36°40‘,

В = 79°50‘.

Найти  b, с, С.

РЕШЕНИЕ:

1)  С = 180° – (А + В),

С = 180° – (36°40‘ + 79°50‘) = 69°30‘.

В последнем случае при определении стороны  с  можно
было взять и такую пропорцию:

Но в эту пропорцию
введём только что найденную сторону  b. Если при отыскании 
b  была допущена ошибка, то она отразится и на
величине  с, несмотря на безошибочные вычисления при определении
последней.

ПРОВЕРКА:

Найдём угол 
С  через
найденные стороны  b  и  с  по
формуле:

Имеем:

Имеем совпадение с полученным ранее результатом.

Решение косоугольного
треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них.

ПРИМЕР:

Пусть в треугольнике 
АВС  даны: стороны  а, b  и угол 
А.
требуется найти сторону  с  и углы  В  и  С.

РЕШЕНИЕ:

Угол  В  определяется
по теореме синусов. Имеем:

Откуда

Угол  С  находится из
соотношения

С = 180° – (А + В).

Из пропорции

находим  с:

Для построения
треугольника по двум его данным сторонам 
а  и  b  и
углу  А, противолежащему стороне  а, можно поступить так: строим угол 
А

 и на одной из его сторон от точки  А  откладываем отрезок  АС
= b. Затем строим окружность радиуса  а  с центром в точке  С.
Если эта окружность не пересечёт второй стороны угла  А,
то задача не имеет решения (случай I), если эта
окружность коснётся второй стороны угла, то задача имеет одно решение (случай II
 – искомый
треугольник  АСВ₁), если эта окружность пересечёт вторую
сторону угла, то задача имеет два решения (случай  III, треугольники  АСВ₂  и  АСВ₃) и, наконец, если окружность пересечёт
сторону угла лишь в одной точке, то задача имеет одно решение (случай 
IV,  АСВ₄).

На чертеже

 рассмотрен случай, когда
угол  А – острый. На следующем чертеже

рассмотрен случай, когда этот угол тупой. В этом случае
задача или не имеет решения (I) или имеет только одно решение (II).

Пусть угол 
А – острый. Тогда как следует из чертежа

в случае 

а < b sin А 

задача не имеет решения (I), в случае

а = b sin А

задача имеет одно решение (II), если

b ˃ а ˃
b sin А,

задача имеет два решения (III), наконец,
если  а ≥ b,
задача имеет одно решение (IV).

Если угол 
А – тупой, то в случае а ≤ b   задача не имеет решения (I), а в случае  а ˃ b – имеет и при том только одно решение (II).

ПРИМЕР:

Дано:

а = 242,

b = 767,

В = 36°53‘.

Найти  с, А, С.

РЕШЕНИЕ:

Так как угол 
В – острый и 
b ˃ а, то задача имеет решение и, причём, только
одно.

(А – острый угол, так как  а < b 
и  А < В).

2)  С = 180° – (А + В),

С ≈180° – (10°55‘ + 36°53‘) = 132°12‘.

ПРОВЕРКА:

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.