Как найти площадь кривой трапеции

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции

  1. Теорема о площади криволинейной трапеции
  2. Формула Ньютона-Лейбница
  3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем
  4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
  5. Примеры

п.1. Теорема о площади криволинейной трапеции

Фигуру, ограниченную прямыми (x=a, x=b), осью абсцисс (y=0) и графиком функции (y=f(x)) называют криволинейной трапецией.

Теорема о площади криволинейной трапеции

Теорема
Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b], равна (F(b)-F(a)), где (F(x)) – первообразная функции (f(x)) на [a;b].

Теорема о площади криволинейной трапеции

Доказательство:
Выберем на интервале (xin [a;b]). Площадь соответствующей криволинейной трапеции (S(x)) является функцией от (x). Дадим переменной (x) приращение (triangle x).
Площадь криволинейной трапеции на интервале (left[a;x+triangle xright]) равна сумме
(S(x+triangle x)=S(x)+S(triangle x)). Откуда приращение площади: $$ triangle S=S(triangle x)=S(x+triangle x)-S(x) $$ По теореме о среднем (см. ниже в этом параграфе) между (x) и (x+triangle x) всегда найдется такое (t), что приращение площади равно произведению: $$ triangle S=f(t)cdot (x+triangle x-x)=f(t)cdot triangle x $$ Если (triangle xrightarrow 0), то (trightarrow x), и в пределе получаем: begin{gather*} S'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle S}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0} frac{f(t)cdot triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}f(t)=f(x) end{gather*} Т.е. (S(x)) является первообразной для (f(x)) на [a;b]. В общем виде: $$ S(x)=F(x)+C $$ Найдем C. В точке a: $$ S(a)=0=F(a)+CRightarrow C=-F(a) $$ Тогда вся площадь: $$ S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a) $$ Что и требовалось доказать.

п.2. Формула Ньютона-Лейбница

Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции (y=f(x)) на интервале [a;b] записывают в виде определенного интеграла: $$ S=int_{a}^{b}f(x)dx $$ По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен: $$ int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|_a^b=F(a)-F(b) $$

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции $$ y=3-2x-x^2 $$

Формула Ньютона-Лейбница Построим график
(см. §28 справочника для 8 класса).
Это парабола. (alt 0) – ветки вниз.
Координаты вершины: begin{gather*} x_0=-frac{b}{2a}=-frac{-2}{2cdot (-1)}=-1,\ y_0=3+2-1=4 end{gather*} Точки пересечения с осью OX: begin{gather*} 3-2x-x^2=0Rightarrow x^2+2x-3=0\ (x+3)(x-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-3,\ x=1 end{array} right. end{gather*} Точка пересечения с осью OY: $$ x=0, y=3 $$

Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция: (f(x)=3-2x-x^2)
Пределы интегрирования: (a=-3, b=1) begin{gather*} S=int_{-3}^{1}(3-2x-x^2)dx=left(3x-2cdotfrac{x^2}{2}-frac{x^3}{3}right)|_{1}^{-3}=left(3x-x^2-frac{x^3}{3}right)|_{1}^{-3}=\ =left(3-cdot 1-1^2-frac{1^3}{3}right)-left(3cdot(-3)-(-3)^2-frac{(-3)^3}{3}right)=2-frac13+9=10frac23 end{gather*} Ответ: (10frac23)

п.3. Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Теорема Лагранжа о среднем
Если функция (F(x)) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует такая точка (muin(a;b)), что $$ F(b)-F(a)=F'(mu)(a-b) $$ Пусть (F'(x)=f(x)), т.е. функция (F(x)) является первообразной для (f(x)). Тогда: $$ F(b)-F(a)=int_{a}^{b}f(x)dx=f(mu)(b-a) $$

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем в интегральной форме заключается в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием (d=b-a) и высотой (h=f(mu)), где (aleqmuleq b).
Теорема о среднем используется при доказательстве многих формул, связанных с использованием определенных интегралов (центра тяжести тела, площади поверхности и т.д.).

п.4. Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми

Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми (x=a, x=b, alt b) и кривыми (y=f(x), y=g(x)), причем (f(x)geq g(x)) для любого (xin [a;b]), равна: $$ S=int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx $$

Например:
Найдем площадь фигуры, ограниченной двумя параболами (y=x^2) и (y=4x-x^2).

Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2Rightarrow 2x^2-4x=0Rightarrow 2x(x-2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=2 end{array} right. $$ Строим графики.
Площадь плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: (f(x)=4x-x^2)
Функция снизу: (g(x)=x^2)
Пределы интегрирования: (a=0, b=2) begin{gather*} S=int_{0}^{2}left((4x-x^2)-x^2right)dx=int_{0}^{2}(4x-2x^2)dx=left(4cdotfrac{x^2}{2}-2cdotfrac{x^3}{3}right)|_0^2=\ =left(2x^2-frac23 x^3right)|_0^2=2cdot 2^2-frac23cdot 2^3-0=8-frac{16}{3}=frac83=2frac23 end{gather*} Ответ: (2frac23)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите определенный интеграл:
a) (int_{-2}^{3}x^2dx) $$ int_{-2}^{3}x^2dx=frac{x^3}{3}|_{-2}^{3}=frac{3^3}{3}-frac{(-2)^3}{3}=9-frac83=frac{19}{3}=6frac13 $$
б) (int_{0}^{fracpi 3}sinxdx) $$ int_{0}^{fracpi 3}sinxdx=(-cosx)|_{0}^{fracpi 3}=-cosfracpi 3+cos0=-frac12+1=frac12 $$
в) (int_{1}^{2}left(e^x+frac 1xright)dx) $$ int_{1}^{2}left(e^x+frac 1xright)dx=(e^x+ln|x|)|_{1}^{2}=e^2+ln 2-e^1-underbrace{ln 1}_{=0}=e(e-1)+ln 2 $$
г) (int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx) begin{gather*} int_{2}^{3}(2x-1)^2 dx=frac12cdotfrac{(2x-3)^3}{3}|_{2}^{3}=frac16((2cdot 3-1)^3)-(2cdot 2-1)^3)=frac{5^3-3^3}{6}=\ =frac{125-27}{6}=frac{98}{6}=frac{49}{3}=16frac13 end{gather*}
д) (int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}) begin{gather*} int_{1}^{3}frac{dx}{3x-2}=frac13cdot ln|3x-2| |_{1}^{3}=frac13left(ln 7-underbrace{ln 1}_{=0}right)=frac{ln 7}{3} end{gather*}
e) (int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x+4}}) begin{gather*} int_{-1}^{4}frac{dx}{sqrt{3x+4}}=frac13cdotfrac{(3x+4)^{-frac12+1}}{-frac12+1}|_{-1}^{4}=frac23sqrt{3x+4}|_{-1}^{4}=\ =frac23left(sqrt{3cdot 4+4}-sqrt{3cdot(-1)+4}right)=frac23(4-1)=2 end{gather*}

Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) (f(x)=x^3+3, xinleft[-1;1right])
Пример 2a $$ S=int_{-1}^{1}(x^3+3)dx=left(frac{x^4}{4}+3xright)|_{-1}^{1}=frac14+3-left(frac14-3right)=6 $$
б) (f(x)=sin2x, xinleft[0;fracpi 2right])
Пример 2б $$ S=int_{0}^{fracpi 2}sin2xdx=-frac12cos2x|_{0}^{fracpi 2}=-frac12left(cosleft(2cdotfracpi 2right)-cos0right)=-frac12(-1-1)=1 $$
в) (f(x)=frac4x+3, xinleft[2;6right])
Пример 2в
(f(x)=frac4x+3) – гипербола с асимптотами (x=0, y=3)
Площадь под кривой: begin{gather*} S=int_{2}^{6}left(frac4x+3right)dx=(4cdot ln|x|+3x)|_{2}^{6}=(4ln 6+18)-(4ln 2+6)=\ =4(ln 6-ln 2)+12=4lnfrac62+12=4ln 3+12=4(ln 3+3) end{gather*}
г) (f(x)=frac{1}{sqrt{x}}, xinleft[1;4right])
Пример 2г $$ S=int_{1}^{4}frac{dx}{sqrt{x}}=frac{x^{-frac12+1}}{-frac12+1}|_{1}^{4}=2sqrt{x}|_{1}^{4}=2(sqrt{4}-sqrt{1})=2 $$

Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) (y=x-2, y=x^2-4x+2)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2Rightarrow x^2-5x+4=0Rightarrow (x-1)(x-4)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1,\ x=4 end{array} right. $$ Пример 3a
Функция сверху: (f(x)=x-2)
Функция снизу: (g(x)=x^2-4x+2)
Пределы интегрирования: (a=1, b=4) begin{gather*} S=int_{1}^{4}left((x-2)-(x^2-4x+2)right)dx=int_{1}^{4}(-x^2+5x-4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}+frac{5x^2}{2}-4xright)|_{1}^{4}=left(-frac{64}{3}+5cdotfrac{16}{2}-4cdot 4right)-left(-frac13+frac52-4right)=\ =-frac{63}{3}+24+1,5=4,5 end{gather*} Ответ: 4,5
б) (y=e^{frac x2}, y=frac1x, x=2, x=3)
Пример 3б
Функция сверху: (f(x)=e^{x/2})
Функция снизу: (g(x)=frac1x)
Пределы интегрирования: (a=2, b=3) begin{gather*} S=int_{2}^{3}left(e^{x/2}-frac1xright)dx=(2e^{x/2}-ln|x|)|_{2}^{3}=left(2e^{frac32}-ln 3right)-(2e-ln 2)=\ =2e^{frac32}-2e-ln 3+ln 2=2e(sqrt{e}-1)+lnfrac23 end{gather*} Ответ: (2e(sqrt{e}-1)+lnfrac23)
в*) (y=3-x^2, y=1+|x|)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: begin{gather*} 3-x^2=1+|x|Rightarrow x^2+|x|-2=0Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ x^2+x-2=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x^2-x-2=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ (x+2)(x-1)=0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ (x-2)(x+1)=0 end{cases} end{array} right. Rightarrow \ left[ begin{array}{l} begin{cases} xgeq 0\ left[ begin{array}{l} x=-2\ x=1 end{array} right. end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ left[ begin{array}{l} x=2\ x=-1 end{array} right. end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=1\ x=-1 end{array} right. end{gather*} Пример 3в
Функция сверху: (f(x)=3-x^2)
Функция снизу: (g(x)=1+|x|)
Пределы интегрирования: (a=-1, b=1)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные (xinleft[0;1right]), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: begin{gather*} S=2int_{0}^{1}left((3-x^2)-(1+x)right)dx=2int_{0}^{1}(-x^2-x+2)dx=2left(-frac{x^3}{3}-frac{x^2}{2}+2xright)|_{0}^{1}=\ =2left(-frac13-frac12+2right)-0=frac73=2frac13 end{gather*} Ответ: (2frac13)
г*) (y=3sinx, y=cosx, x=-frac{5pi}{4}, x=fracpi 4)
Пример 3г
На отрезке (left[-frac{5pi}{4};-frac{3pi}{4}right]) синус над косинусом, далее на (left[-frac{3pi}{4};frac{pi}{4}right]) – косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: begin{gather*} S=3int_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3(cosx+sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}} end{gather*} Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
(-frac{3pi}{4}+2pi=frac{5pi}{4}; -frac{5pi}{4}+2pi=frac{3pi}{4}) begin{gather*} -3(cosx+sinx)|_{-frac{5pi}{4}}^{-frac{3pi}{4}}=-3left(cosleft(frac{5pi}{4}right)+sinleft(frac{5pi}{4}right)-cosleft(frac{3pi}{4}right)-sinleft(frac{3pi}{4}right)right)=\ =-3left(-frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}right)=3sqrt{2} end{gather*} Ответ: (3sqrt{2})

Пример 4*. Пусть (S(k)) – это площадь фигуры, образованной параболой (y=x^2+2x-3) и прямой (y=kx+1). Найдите (S(-1)) и вычислите наименьшее значение (S(k)).

1) Найдем (S(-1)).
(k=-1, y=-x+1 )

Пример 4 Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} -x+1=x^2+2x-3\ x^2+3x-4=0\ (x+4)(x-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-4,\ x=1 end{array} right. end{gather*} Функция сверху: (y=-x+1)
Функция снизу: (y=x^2+2x-3)
Пределы интегрирования: (a=-4, b=1)

begin{gather*} S(-1)=int_{-4}^{1}left((-x+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_{-4}^{1}(-x-3x+4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}-frac{3x^2}{2}+4xright)|_{-4}^{1}=left(-frac13-frac32+4right)-left(frac{64}{3}-24-16right)=-21frac23+42frac12=20frac56 end{gather*}
2) Решаем в общем виде.
Все прямые (y=kx+1) проходят через точку (0;1) и при образовании фигуры находятся над параболой.
Точки пересечения прямой и параболы: begin{gather*} kx+1=x^2+2x-3Rightarrow x^2+(2-k)x-4=0\ D=(2-k)^2-4cdot (-4)=(k-2)^2+16gt 0 end{gather*} Дискриминант (Dgt 0) при всех (k). Точки пересечения (пределы интегрирования): $$ x_{1,2}=frac{-(2-k)pmsqrt{D}}{2}=frac{k-2pmsqrt{D}}{2} $$ Разность корней: $$ x_2-x_1=sqrt{D}=sqrt{(k-2)^2+16} $$ Минимальное значение разности корней будет при (k=2).
Площадь: begin{gather*} S(k)=int_{x_1}^{x_2}left((kx+1)-(x^2+2x-3)right)dx=int_{x_1}^{x_2}(-x^2+(k-2)x+4)dx=\ =left(-frac{x^3}{3}+frac{(k-2)x^2}{2}+4xright)|_{x_1}^{x_2}=-frac13(x_2^3-x_1^3)+frac{k-2}{2}(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1) end{gather*}

Пример 4 begin{gather*} S(k)_{min}=S(2)\ x_{1,2}=pm 2\ S(2)=-frac13cdot(2^3+2^3)+0+4sqrt{16}=\ =-frac{16}{3}+16=frac{32}{3}=10frac23 end{gather*}

Ответ: 1) (S(-1)=20frac56); 2) (S(k)_{min}=S(2)=10frac23)

Пример 5*. Фигура ограничена линиями (y=(x+3)^2, y=0, x=0). Под каким углом к оси OX надо провести прямые через точку (0;9), чтобы они разбивали фигуру на три равновеликие части?

Пример 4 Площадь криволинейной трапеции AOB: begin{gather*} S_0=int_{-3}^{0}(x+3)^2dx=frac{(x+3)^3}{3}|_{-3}^{0}=\ =9-0=9 end{gather*} Площадь каждой части: (S_i=frac13 S_0=3)
Точки (C(x_1; 0)) и (D(x_2; 0)) c (-3lt x_1lt x_2lt 0) такие, что прямые AC и AD отсекают по 1/3 от фигуры.
Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOD): begin{gather*} S_3=frac12|x_2|cdot 9=3Rightarrow |x_2|=frac69=frac23Rightarrow\ x_2=-frac23 end{gather*} Площадь прямоугольного треугольника (triangle AOC): begin{gather*} S_2+S_3=frac12|x_1|cdot 9=6Rightarrow |x_1|=frac{12}{9}=frac43Rightarrow\ x_1=-frac43 end{gather*}

Находим углы соответствующих прямых.
Для (x_1: tgalpha=frac{9}{|x_1|}=frac{9}{4/3}=frac{27}{4}, alpha=arctgfrac{27}{4})
Для (x_x: tgbeta=frac{9}{|x_2|}=frac{9}{2/3}=frac{27}{2}, beta=arctgfrac{27}{2})

Ответ: (arctgfrac{27}{4}) и (arctgfrac{27}{2})

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №23.Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение определенного интеграла

2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница

3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке

Решение

Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

Ответ:

№2. Вычислить определенный интеграл:

Решение: Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x) . Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b) .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b)  – F(а), это и будет ответ.

№3. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)2, ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х

Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию  F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b)  .

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b)  – F(а), это и будет ответ.

Криволинейная трапеция – именно так называется фигура на рисунке ниже. Она образована графиком некоторой неотрицательной непрерывной функции и ограничена им сверху.

Слева и справа фигура ограничена вертикальными линиями х=а и х=b, а снизу – осью абсцисс.

Как найти площадь такой фигуры?

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции придется вспомнить школу, а именно замечательную формулу Ньютона-Лейбница:

Источник: https://image2.slideserve.com/3818359/slide7-l.jpg
Источник: https://image2.slideserve.com/3818359/slide7-l.jpg

В этой формуле F(b) и F(a) – значение первообразной функции f(x) в точках а и b.

Если вдруг забыли, то первообразная от f(x) – это такая функция F(x), что верно равенство F'(x) = f(x). Надеюсь, воспоминания всколыхнет такая табличка:

Источник: https://www.mosrepetitor.ru/pictures/Fomula_Matem/f_026.jpg
Источник: https://www.mosrepetitor.ru/pictures/Fomula_Matem/f_026.jpg

Давайте уже перейдем к конкретному примеру, в результате которого Вы не только вспомните школьную математику, но и поймёте физический смысл формулы Ньютона-Лейбница:

Как найти площадь такой фигуры?

Итак, имеем такой рисунок. Требуется найти площадь заштрихованной фигуры, которая по всем перечисленным в начале статье параметрам подходит под определение криволинейной трапеции.

Дело за малым – вычислить определенный интеграл:

График расположен целиком выше оси х. В обратном случае перед интегралом мы бы поставили "-".
График расположен целиком выше оси х. В обратном случае перед интегралом мы бы поставили “-“.

Всё сходится!

А что же из себя представляет эта формула, почему она вообще работает?

В данном случае снизу график ограничен прямой линией. В общем случае с помощью этой формулы находится и площадь между разнообразными кривыми.
В данном случае снизу график ограничен прямой линией. В общем случае с помощью этой формулы находится и площадь между разнообразными кривыми.

Дело в том, что мы находим площадь, разбивая криволинейную трапецию на бесконечно малые прямоугольники, площадь которых легко вычислить. (см.рис).

Затем складываем эти прямоугольники, а интегрирование суть непрерывное сложение.

Вуаля! Результат, ставший одним из самых важных достижений математики в истории. обоснован “на пальцах”.

Однако, стоит сказать, что первое применение такого метода разбиений принадлежит еще древним грекам.

Да-да, именно Архимед может считаться отцом интегрального счисления – читайте мой материал про одну и его менее знаменитых теорем.

Читайте также:

Содержание:

  1. Примеры с решением

Рассмотрим функцию Площадь криволинейной трапеции, которая непрерывна на отрезке Площадь криволинейной трапеции и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции, Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции, называют криволинейной трапецией.

На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций.

Площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.

Теорема 26.1.

Площадь Площадь криволинейной трапеции криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции, Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции Площадь криволинейной трапеции, можно вычислить по формуле

Площадь криволинейной трапеции

где Площадь криволинейной трапеции — любая первообразная функции Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Доказательство. Рассмотрим функцию Площадь криволинейной трапеции, где Площадь криволинейной трапеции, которая определена таким правилом.

Если Площадь криволинейной трапеции, то Площадь криволинейной трапеции; если Площадь криволинейной трапеции, то Площадь криволинейной трапеции — это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.

Докажем, что Площадь криволинейной трапеции для всех Площадь криволинейной трапеции.

Пусть Площадь криволинейной трапеции — произвольная точка отрезка Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции — приращение аргумента в точке Площадь криволинейной трапеции, Ограничимся рассмотрением случая, когда Площадь криволинейной трапеции (случай, когда Площадь криволинейной трапеции, рассматривают аналогично).

Имеем: Площадь криволинейной трапеции

Получаем, что Площадь криволинейной трапеции — это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.

Площадь криволинейной трапеции

На отрезке Площадь криволинейной трапеции как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна Площадь криволинейной трапеции (рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции, где Площадь криволинейной трапеции — некоторая точка промежутка Площадь криволинейной трапеции. Тогда Площадь криволинейной трапеции Отсюда Площадь криволинейной трапеции

Если Площадь криволинейной трапеции, то Площадь криволинейной трапеции.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Поскольку функция Площадь криволинейной трапеции непрерывна в точке Площадь криволинейной трапеции, то Площадь криволинейной трапеции. Отсюда, если Площадь криволинейной трапеции, то Площадь криволинейной трапеции

Имеем

Площадь криволинейной трапеции

Поскольку Площадь криволинейной трапеции — произвольная точка области определения функции Площадь криволинейной трапеции, то для любого Площадь криволинейной трапеции выполняется равенство Площадь криволинейной трапеции. Получили, что функция Площадь криволинейной трапеции является одной из первообразных функции Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции.

Пусть Площадь криволинейной трапеции — некоторая первообразная функции Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции. Тогда по основному свойству первообразной можно записать

Площадь криволинейной трапеции

где Площадь криволинейной трапеции — некоторое число.

Имеем:

Площадь криволинейной трапеции

По определению функции Площадь криволинейной трапеции искомая площадь Площадь криволинейной трапеции криволинейной трапеции равна Площадь криволинейной трапеции. Следовательно,

Площадь криволинейной трапеции

Примеры с решением

Пример 1.

Найдите площадь Площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной графиком функции Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции, Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Площадь криволинейной трапеции

Одной из первообразных функции Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции является функция Площадь криволинейной трапеции Тогда

Площадь криволинейной трапеции

Пример 2.

Найдите площадь Площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной графиком функции Площадь криволинейной трапеции и прямой Площадь криволинейной трапеции .

Решение:

График функции Площадь криволинейной трапеции пересекает прямую Площадь криволинейной трапеции в точках Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции

Одной из первообразных функции Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции является функция Площадь криволинейной трапеции ТогдаПлощадь криволинейной трапеции

Определение. Пусть Площадь криволинейной трапеции — первообразная функции Площадь криволинейной трапеции на промежутке Площадь криволинейной трапеции, числа Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции, где Площадь криволинейной трапеции, принадлежат промежутку Площадь криволинейной трапеции. Разность Площадь криволинейной трапеции называют определенным интегралом функции Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции.

Определенный интеграл функции Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции обозначают Площадь криволинейной трапеции (читают: «интеграл от Площадь криволинейной трапеции до Площадь криволинейной трапеции эф от икс де икс»). Следовательно,

Площадь криволинейной трапеции Площадь криволинейной трапеции

где Площадь криволинейной трапеции — произвольная первообразная функции Площадь криволинейной трапеции на промежутке Площадь криволинейной трапеции.

Например, функция Площадь криволинейной трапеции является первообразной функции Площадь криволинейной трапеции на промежутке Площадь криволинейной трапеции. Тогда для произвольных чисел Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции, где Площадь криволинейной трапеции, можно записать:

Площадь криволинейной трапеции

Заметим, что значение разности Площадь криволинейной трапеции не зависит от того, какую именно первообразную функции Площадь криволинейной трапеции выбрали. Действительно, каждую первообразную Площадь криволинейной трапеции функции Площадь криволинейной трапеции на промежутке Площадь криволинейной трапеции можно представить в виде Площадь криволинейной трапеции, где Площадь криволинейной трапеции — некоторая постоянная. Тогда

Площадь криволинейной трапеции

Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница. Следовательно, для вычисления определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница надо:

  1. найти любую первообразную Площадь криволинейной трапеции функции Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции;
  2. вычислить значение первообразной Площадь криволинейной трапеции в точках Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции;
  3. найти разность Площадь криволинейной трапеции.

При вычислении определенных интегралов разность Площадь криволинейной трапеции обозначают Площадь криволинейной трапеции

Используя такое обозначение, вычислим, например, Площадь криволинейной трапеции Имеем:

Площадь криволинейной трапеции

Пример 3.

Вычислите Площадь криволинейной трапеции

Решение:

Имеем:

Площадь криволинейной трапеции

Если функция Площадь криволинейной трапеции имеет первообразную Площадь криволинейной трапеции на отрезке Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции, то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:

Площадь криволинейной трапеции

Действительно,

Площадь криволинейной трапеции

Если каждая из функций Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции имеет первообразную на отрезке Площадь криволинейной трапеции, то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:

  1. Площадь криволинейной трапеции
  2.  Площадь криволинейной трапеции где Площадь криволинейной трапеции — некоторое число.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью Площадь криволинейной трапеции криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции, Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции (Площадь криволинейной трапеции).

Используя теорему 26.1, можно записать:

Площадь криволинейной трапеции

Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции Площадь криволинейной трапеции, которые на отрезке Площадь криволинейной трапеции принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.

Рассмотрим непрерывные на отрезке Площадь криволинейной трапеции функции Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции такие, что для всех Площадь криволинейной трапеции выполняется неравенство Площадь криволинейной трапеции

Покажем, как найти площадь Площадь криволинейной трапеции фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции (рис. 26.7).

Перенесем фигуру Площадь криволинейной трапеции вверх на Площадь криволинейной трапеции единиц так, чтобы полученная фигура Площадь криволинейной трапеции находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура Площадь криволинейной трапеции ограничена графиками функций Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции, Площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции

Поскольку фигуры Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции имеют равные площади, то искомая площадь Площадь криволинейной трапеции равна разности Площадь криволинейной трапеции

где Площадь криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции, Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции (рис. 26.9, а);

Площадь криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции, Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции (рис. 26.9, б).

Площадь криволинейной трапеции

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Площадь криволинейной трапеции

Следовательно, если функции Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции непрерывны на отрезке Площадь криволинейной трапеции и для всех Площадь криволинейной трапеции выполняется неравенство Площадь криволинейной трапеции то площадь Площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной графиками функций Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции и прямыми Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции, можно вычислить по формуле

Площадь криволинейной трапеции

Пример 4.

Найдите площадь Площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной графиками функций Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Площадь криволинейной трапеции

Решив уравнение Площадь криволинейной трапеции, устанавливаем, что графики функций Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции пересекаются в двух точках с абсциссами Площадь криволинейной трапеции и Площадь криволинейной трапеции.

Тогда искомая площадь

Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции

Лекции:

  • Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции
  • Непрерывная случайная величина
  • Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
  • Исследование функции: пример решения
  • Понятие функции. Теория пределов
  • Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции
  • Равномерная сходимость функционального ряда
  • Критерий Сильвестра
  • Преобразования в пространстве и на плоскости
  • Площадь поверхности подобных фигур

План урока:

Криволинейная трапеция и понятие определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Задачи, связанные с определенным интегралом

Криволинейная трапеция и понятие определенного интеграла

Построим на плоскости график произвольной функции у(х), который полностью располагается выше горизонтальной оси Ох. Далее проведем две вертикальные линии, пересекающие ось Ох в некоторых точках a и b. В результате мы получим интересную фигуру, которая на рисунке показана штриховкой:

1tyrty

Особенностью этой фигуры является то, что одна из ее сторон (верхняя) – это не прямая линия, а какая-то произвольная кривая. Условно будем считать эту фигуру четырехугольником, ведь у нее действительно четыре угла и четыре стороны. Две из них (вертикальные красные линии), очевидно, параллельны друг другу. Две другие стороны (кривую линию и участок оси Ох) параллельными назвать никак нельзя.

Напомним, что в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу, а две другие не параллельны, называют трапецией. Поэтому полученную нами фигуру мы также назовем трапецией. Но так как одна из ее сторон кривая, то мы будем использовать термин «криволинейная трапеция», чтобы отличать ее от трапеции «настоящей».

2ytry

У каждой плоской фигуры есть площадь, и криволинейная трапеция – не исключение. Но как ее подсчитать? Есть приближенный способ подсчета. Разобьем отрезок [a; b] на несколько более мелких отрезков, и построим на каждом из них прямоугольник:

3yyiui

Обозначим площадь первого прямоугольника как S1, площадь второго прямоугольника – как S2 и т. д. Мы строим прямоугольники таким образом, что их левая сторона в точности равна значению функции в соответствующей точке. Обозначим те точки, на которых стоят стороны прямоугольника, как х1, х2, х3 и т. д. Тогда значения функции в этих точках будут соответственно равны у(х1), у(х2) и т. д.:

4ytuytu

Площадь каждого полученного прямоугольника подсчитать несложно – она равна произведению его высоты на ширину. Мы организовали разбиение на прямоугольники таким образом, что ширина у них одинакова. Обозначим ее как ∆х. Тогда площадь каждого отдельного прямоугольника равна

5hbgfgh

Тогда общая площадь криволинейной трапеции приближенно будет равна сумме площадей всех треугольников:

6yrhgfh

где – это количество прямоугольников (на рисунках мы выбрали n = 10).

Ясно, что чем больше число n, тем более точное приближение мы получим. Например, если разбить трапецию уже не на 10, а на 20 прямоугольников, то получим такую картинку:

7hfgh

Обратите внимание, что ширина каждого прямоугольника, то есть величина ∆х, уменьшилась.

При росте числа n ошибка при оценке площади трапеции будет уменьшаться и стремится к нулю. Поэтому в предельном случае, когда стремится к бесконечности, в формуле (1) вместо знака приближенного равенства «≈» можно поставить знак «=». При этом величина ∆х также будет стремится к нулю, то есть становится бесконечно малой. В математике для таких величин вместо символа ∆ принято использовать букву d, то есть вместо ∆х мы напишем dx. С учетом всего этого формула (1) примет вид:

8hhjgj

В правой части стоит сумма бесконечного числа слагаемых. У нее есть специальное название – определенный интеграл. Ясно, что величина этой суммы, то есть площадь трапеции, зависят от чисел а и b (боковых границ трапеции). Поэтому обозначение интеграла выглядит так:

9hjghj

Обозначение очень похоже на неопределенный интеграл. Единственное отличие – это появление чисел а и b, которые определяют боковые границы трапеции. Число b называют верхним пределом интегрирования, а число a– нижним пределом интегрирования. Дадим более строгое определение понятию определенного интеграла.

10khjk

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у(х) и вертикальными прямыми, проходящими через точки а и b.

11bfgh

Формула Ньютона-Лейбница

Изначально мы хотели научиться вычислять площадь криволинейной трапеции, однако пока что мы лишь придумали, как ее обозначать – через определенный интеграл. Но как вычислить значение его значение? Оказывается, определенный интеграл очень тесно связан с неопределенным интегралом, и эта связь описывается формулой Ньютона-Лейбница.

Ещё раз построим криволинейную трапецию, а ее площадь обозначим как S. Пусть ее левая граница совпадает с осью Оу, а правая будет равна некоторому значению х0. Дело в том, что нас будет интересовать зависимость площади трапеции от значения ее правой границы, то есть некоторая функция S(x). Обозначим площадь получившейся трапеции как S(x0):

12fgh

Теперь сдвинем правую границу вправо на величину ∆х. В итоге получим новую трапецию, площадь которой можно записать как S(x0 + ∆x). При этом ее площадь увеличилась на некоторую величину ∆S:

13nhgj

14bgfh

Получается, что мы дали некоторое приращение аргумента ∆х, и получили приращение функции ∆S. Мы уже выполняли похожие действия в рамках предыдущих уроков, изучая понятие производной.

Итак, мы можем записать, что

15gghfgh

Оценим величину ∆S. Если заменить соответствующую площадь прямоугольником, то его площадь окажется равной произведению ширины прямоугольника (она равна ∆x) на высоту, которая равна у(х0):

16bfgh

Поделим обе части равенства (2) на величину ∆х и получим:

17hfgh

А теперь устремим величину ∆х к нулю. В результате в равенство (2), а значит, и (3) будет становиться все более точным. В итоге мы можем написать, что

18hfgh

Хорошо подумайте, что мы получили. Вспомните определение производной. Оказывается, в левой части равенства (4) стоит не что иное, как производная функции S! То есть мы можем написать, что

19hfgh

Получается, что производная функции S на равна значению функции у(х). А это значит, что она является ее первообразной:

20hgfh

Здесь F(x) – первообразная функции у(х), а F(x0) – конкретное значение этой первообразной в точке х0.

Теперь рассмотрим более привычную криволинейную трапецию, у которой правой и левой границей являются числа а и b:

21bfhgh

Как найти ее площадь? С помощью формулы (5) мы можем найти две площади:

22ghgf

Из рисунков очевидно, что площадь интересующей нас трапеции равна разности величин S(b) и S(a):

23hfgh

Эту площадь мы и обозначаем определенным интегралом. То есть можно записать, что

24fghf

Таким образом, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, необходимо проинтегрировать функцию у(х), а потом в полученную первообразную подставить числа а и b вычесть один результат из другого.

Для примера вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией у = х2 и вертикальными прямыми х = 1 и х = 3.

25hfgh

Сначала находим первообразную функции у = х2, взяв от нее интеграл (неопределенный):

26hfgh

Отметим, что в обоих случаях речь идет об одной и той же первообразной, поэтому значения констант С у них одинаковы. Теперь вычитаем из F(3) величину F(1):

27jhgj

Константы интегрирования сократились. Для простоты решение записывают в несколько более короткой форме. Сначала сразу после определенного интеграла пишут первообразную (то есть находят неопределенный интеграл), причем без константы интегрирования

28jghj

Далее ставят вертикальную черту и пишут пределы интегрирования, которые надо подставить в первообразную:

29jhgjg

Потом ставят знак равно и подставляют в первообразную верхнее и нижнее число, после чего выполняют оставшиеся арифметические действия:

30fjhj

Задание. Вычислите

31hfgjghj

Задание. Найдите площадь фигуры, ограниченной полуволной синусоиды и осью Ох.

Решение. Сначала построим схематичный график у = sinx, чтобы понять, что именно нам надо вычислить:

32hfgh

Теперь ясно, что надо произвести вычисление определенного интеграла синуса на отрезке [0; π]:

33hgjhj

Итак, мы теперь знаем и про определенный, и про неопределенный интеграл. Хотя они и очень похожи, между ними есть большая разница, и ее важно понимать. Определенный интеграл – это число, а именно величина площади криволинейной трапеции. Неопределенный интеграл – это функция (точнее, семейство функций), которая является первообразной для интегрируемой функции. Формула Ньютона-Лейбница как раз и показывает ту связь, которая есть между двумя этими различными понятиями.

Может ли определенный интеграл быть отрицательным числом? Кажется, что нет, ведь площадь фигур не бывает отрицательной. Но не всё так просто. Рассмотрим случай, когда график функции является не верхней, а нижней границей трапеции. Например, пусть трапеция образована функцией

34hghj

Просто надо найти определенный интеграл:

35ghjuy

Получили отрицательное значение. Дело в том, что фигура располагается под осью Ох. Из-за этого ее площадь получается со знаком минус.

Рассмотрим ещё один пример. Найдем интеграл косинуса на промежутке от 0 до 2π:

36hfgh

Получился ноль. Посмотрим на графике, какую же площадь мы посчитали:

37nhjj

Оказывается, график на отрезке дважды пересекает ось Ох. В результате получается сразу три криволинейных трапеции. Две из них расположены выше оси Ох, а потому из площади считаются со знаком «+». Третья трапеция лежит ниже оси Ох, а потому ее площадь считается со знаком «–». То, что интеграл оказался равным нулю, означает, что площадь нижней трапеции в точности равна сумме площадей двух верхних фигур, поэтому в сумме они и дали ноль.

Отметим важное свойство определенного интеграла:

38jghj

Проиллюстрируем это правило графически. Каждый из этих интегралов равен площади соответствующих криволинейных трапеций:

39hgfgh

Задачи, связанные с определенным интегралом

Определенный интеграл помогает находить и площади более сложных фигур, которые получаются при пересечении нескольких различных графиков.

Рассмотрим задачу на интеграл. Пусть требуется найти площадь фигуры, полученной при пересечении параболы

40jghj

41hgfgh

Сначала найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции:

42hghj

Корнями этого квадратного уравнения являются числа 1 и 4. Именно в этих точках и пересекаются графики (это и так видно из графика). Площадь интересующей нас фигуры можно получить вычитанием из одной криволинейной трапеции другой:

43hfgh

Величины S1и S2 можно вычислить через определенный интеграл. Обратите внимание, что найденные нами корни являются пределами интегрирования:

44yytj

Тогда искомая нами площадь составит

45hfgh

Ошибочно думать, что определенные интегралы нужны только для расчета площадей. С их помощью можно и решать ряд физических задач. Пусть известен закон изменения скорости тела v(t). Можно доказать, что путь, пройденный этим телом за период времени с t1по t2, будет равен интегралу

46hfgh

Задание. Самолет разгоняется, однако из-за сопротивления воздуха он набирает скорость не равномерно. Скорость самолета в момент времени t может быть вычислена по формуле

47hfgh

Определите, какое расстояние пролетит самолет в период времени между 16-ой и 25-ой секундой разгона.

Решение. Задача сводится к простому вычислению интеграла:

48jghgj

Ответ: 610 метров.

Этот пример показывает важную зависимость между скоростью тела и путем, который она преодолевает. Если есть график изменения скорости тела, то площадь под этим графиком равна тому пути, которое проходит тело:

49hfgh

Действительно, если тело двигается равномерно (то есть с постоянной скоростью), то путь, пройденный им, может быть вычислен по известной формуле

50hgfh

Но если построить для такого случая график v(t), то он будет выглядеть как горизонтальная прямая линия. Тогдафигура под графиком окажется прямоугольником, чья площадь равна произведению длины и ширины:

51hfgh

Заметим, что зависимость между путем, скоростью временем носит линейный характер, и именно поэтому здесь может быть использован неопределенный интеграл. Но ведь в физике очень много линейных зависимостей! И во всех этих случаях интегралы играют огромную роль!

Рассмотрим задачу. Есть пружина, которая изначально находится в нерастянутом состоянии. Потом человек начинает медленно и с постоянной скоростью, растягивать пружину, увеличивая ее длину на 0,5 метра. Жесткость пружины (ее коэффициент упругости) равна 100 Н/м. Какую работу совершил человек при растягивании пружины?

Из средней школы известна следующая формула для вычисления работы:

52hfgh

где F– сама сила, а S– путь, пройденный телом под действием этой силы. Легко заметить, что эта формула похожа на ранее рассмотренную зависимость пути от скорости и времени (они обе являются линейными). Сначала рассмотрим простой случай, когда сила остается неизменной. Тогда можно построить график F(S). Окажется, что площадь под графиком как раз равна работе, совершенной силой:

53gdgh

Случай с пружиной сложнее, ведь сила при растяжении пружины не остается неизменной. Чем сильнее растянута пружина, с тем большей силой ее приходится тянуть. Известен закон Гука, связывающий удлинение пружины с силой ее натяжения:

54hfgh

где k – коэффициент жесткости пружины, а x– ее удлинение. По смыслу задачи максимальное удлинение известно и равно 0,5 м. Можно нарисовать такой график зависимости силы натяжения пружины от ее удлинения (он будет выглядеть как прямая линия, так как эта зависимость является прямой пропорциональностью):

55nhj

И в данном случае работа также будет равна площади под графиком функции, то есть ее можно посчитать с помощью определенного интеграла! В качестве пределов интегрирования надо взять крайние значения удлинения пружины (это 0 и 0,5 м), а качестве интегрируемой функции – F(t), которая равна

56hghjhj

Существует и много других примеров приложений определенного интеграла. С его помощью можно находить объемы сложных фигур (конуса, пирамиды, тел вращения), определять центр масс тел сложной формы. Следует отметить и использование интегралов в механике при решении задач, в которых сила действует не на конкретную точку, а на площадь (задачи на распределенную нагрузку). В качестве примера можно привести расчет прочности крыши, на которой лежит слой снега.Но для их рассмотрения необходим более высокий уровень математических и физических знаний, который можно получить уже в рамках не среднего, а высшего образования.

Добавить комментарий