Определение основных понятий
Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.
Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.
Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Формула вычисления площади круга
Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!
Площадь круга через радиус
S = π × r2, где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Площадь круга через диаметр
S = d2 : 4 × π, где d — это диаметр.
Площадь круга через длину окружности
S = L2 : (4 × π), где L — это длина окружности.
Важно!
Задачку не решить, если длина и ширина даны в разных единицах. Для правильного решения переведите все данные к одной единице измерения, и все получится.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм2);
- квадратный сантиметр (см2);
- квадратный дециметр (дм2);
- квадратный метр (м2);
- квадратный километр (км2);
- гектар (га).
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Задачи. Определить площадь круга
Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!
Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.
Как решаем:
-
Диаметр окружности равен двум радиусам.
-
Используем формулу: S = π × d2 : 4.
-
Подставим известные значения: S = 3,14 × 122 : 4.
S = 113,04 см2.
Ответ: 113,04 см2.
Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.
Как решаем:
-
Используем формулу: S = π × d2 : 4.
-
Подставим известные значения: S = 3,14 × 902 : 4.
S = 6358,5 мм2.
Ответ: 6358,5 мм2.
Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.
Как решаем:
-
Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.
π = L : d
-
Получается: L = d × π.
-
Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.
-
Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.
L = 18,84 см2.
Ответ: 18,84 см2.
Прежде чем определится, как рассчитать площадь круга,
необходимо хорошо
усвоить и понять в чём разница между окружностью и кругом. Что
называется окружностью, а что подразумевают под словом круг.
Важно!
Замкнутая кривая (линия),
чьи точки лежат на
одинаковом расстоянии от одной точки её центра, называется
окружностью.
Окружность разбивает плоскость на две области:
внутреннюю и внешнюю.
Важно!
Та часть плоскости, которая лежит
внутри окружности (вместе с самой окружностью)
называется кругом.
Другими словами, для простоты понимания, следует запомнить:
- окружность — это замкнутая линия (
граница круга). - круг — это внутренняя область окружности.
- У окружности нельзя посчитать площадь!
А у круга найти площадь,
зная формулу,
достаточно легко.
Как найти площадь круга
Запомните!
Для расчета площади круга используется формула:
- S = πR2,
где R — радиус круга, - S = π
()2 =
π
=π
, где
D — диаметр круга, т.к.
R =
Как решать задачи на площадь круга
Теперь, зная, по какой формуле считается площадь круга,
решим задачи на
площадь круга.
Зубарева 6 класс. Номер 675(г)
Условие задачи:
Найдите площадь круга, радиус которого равен 1,2 см.
Воспользуемся формулой площади круга:
S = πR2 =
3,14 · 1,22 = 3,14 · 1,44 = 4,5216 см2
Обратите внимание, что площадь измеряется в квадратных единицах.
Всегда проверяйте свои ответы, правильно ли вы указали единицы
измерения.
Зубарева 6 класс. Номер 677(б)
Условие задачи:
Определите радиус круга, площадь которого равна 1,1304 см2.
Выразим из формулы радиус:
S = πR2
R = √
S /
π
= √ 1,1304 /
3,14 = √ 0,36 =
0,6 см
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Математика
6 класс
Урок № 76
Длина окружности. Площадь круга
Перечень рассматриваемых вопросов:
- окружность, круг и их элементы: радиус, диаметр, хорда;
- понятие длины окружности, площади круга;
- задачи на вычисление длины окружности и площади круга.
Тезаурус
Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которую называют центром окружности.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
Длина окружности вычисляется по формулам: С = πd или С = 2πR, где π ≈ 3, 14 – иррациональное число.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Окружность
Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которая называется центром окружности.
Элементы окружности: центр, радиус, диаметр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
Ещё в древности было установлено, что какой бы ни была окружность, отношение её длины к её диаметру является постоянным числом. Сейчас это число обозначают греческой буквой π. (читается – «пи»)
Как измерить дину окружности?
Можно взять сантиметровую ленту (если нет ленты, можно воспользоваться нитью или полоской бумаги).
Можно прокатить кольцо по ровной поверхности, сделав полный оборот.
Проверьте, верно ли, что отношение длины окружности к диаметру ≈ 3?
Возьмите несколько круглых предметов (тарелка, стакан, игрушечное колесо и др.).
Результаты измерений можно записать в таблицу в тетради.
Закон для более точного вычисления числа π очень сложен. В настоящее время значение π для точных расчётов в строительстве, авиационной или космической промышленности находят при помощи компьютера.
Вспомните, что π – это иррациональное число, которое выражается бесконечной непериодической дробью.
π = 3,141592653589793238…
При решении обычных задач используют приближенное значение
π ≈ 3,14
иногда используют π ≈ 3
Обозначим длину окружности буквой С, а её диаметр – буквой d, и запишем формулу:
Следовательно, справедливы формулы:
С = πd или С = 2πR
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
С помощью числа π вычисляют площадь круга.
S = πR2
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Впишите верный ответ.
Радиус круга равен 5 см. Найдите длину окружности С, площадь круга S.
Решение
С = 2πR = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 = 31,4 (см).
S = πR2 = 3,14 ∙ 52 = 3,14 ∙ 25 = 78,5 (см2).
Ответ: 31,4 см; 78,5 см.
Тип 2. Множественный выбор
Вычислите площади заштрихованных фигур (размер 1 клетки равен 1 см2).
Варианты ответов
34,24 см2
84,78 см2
50,24 см2
113,04 см2
Фигура 1
Из круга вырезали квадрат.
Sкруга = πR2 = 3,14 ∙ 42 = 3,14 ∙ 16 = 50,24 (см2).
Sквадрата = а2 = 42 = 16 (см2).
Sзаштрих = 50,24 – 16 = 34,24 (см2).
Фигура 2
Из круга вырезали круг.
S1 = πR2 = 3,14 ∙ 62 = 3,14 ∙ 36 = 113,04 (см2).
S2 = πR2 = 3,14 ∙ 32 = 3,14 ∙ 9 = 28,26 (см2).
Sзаштрих = 113,04 – 28,26 = 84,78 (см2).
Выбираем ответы: 34,24 см2 и 84,78 см2.
Сегодня мы говорим про окружность и круг, друзья мои. У многих шестиклассников, да и не только у них, возникают трудности с этой темой. А она-то как раз и есть ваш реальный шанс на получение хорошей отметки. Да, есть там одна заковырка. Вот она не нравится ребятам. Но я сейчас подробно всё расскажу. Давайте приступим)))
Сначала дам несколько определений. Они очень лёгкие, просто посмотрите:
Есть окружность, а есть круг:
Определения, ребята, есть у вас в учебнике. Их надо знать наизусть, учителя это любят. Выучите их, пожалуйста. А я вам простыми словами расскажу, чтобы совсем понятно было.
- Окружность – это линия на бумаге или ещё где-нибудь. На асфальте мелом, например.
- Круг – это часть листа (плоскости).
Как отличить круг от окружности?
Круг я могу вырезать ножницами и у меня в руках будет круглый кусок бумаги. А линию я вам как вырежу?!
Окружность нельзя вырезать ножницами! Она же линия!
Дальше. У вас будут две формулы. Я знаю, что их три, на самом деле – две. Расскажу попозже. Сначала основные определения простыми словами дам:
А это диаметр. Присмотритесь: вам ничего не показалось?)))
Вы молодцы, если вам показалось, что один диаметр – это ДВА РАДИУСА! Так и есть!
Значит, вот эти две формулы одинаковые.
Запомните: один диаметр – это два радиуса! Один радиус – это половина диаметра! Если знаете диаметр – радиус тоже знаете!!! И наоборот!
Что такое C в этой формуле? Это длина окружности. Если я возьму окружность, мысленно её разрежу и разогну, то получится прямая. Тогда я смогу померить её длину. А можно и не разрезать. Возьмите сантиметровую ленту у бабушки или у мамы. Потом найдите чашку на кухне, отметьте точку (незаметно, чтобы потом смыть) и действуйте по схеме:
Есть ещё формула площади круга:
Тоже легко. В статье я уже не буду об этом писать. А вот видео, в нём я задачи разбираю для шестиклассников, именно на эту тему. Там про площадь круга рассказываю подробно. Для других классов тоже подойдёт, кто не понял, забыл или не успел)))
Подведём итог. Если вы будете знать наизусть определение диаметра и радиуса, если вы будете знать 2 формулы (а на самом деле одну!) длины окружности и одну формулу площади круга, то по этой теме у вас точно будет не ниже четвёрки, друзья мои школьники.
Если статья показалась вам полезной, поставьте, пожалуйста, оценку. Она поможет мне дальше помогать вам)))
Вот здесь кое-что про борьбу со списыванием с сайта ГДЗ
А вот здесь – как учить стихи
P. S.: Про число “ПИ” я ничего не говорила в этой статье. Но в видео я про него рассказываю. Это фантастическое, просто удивительное число!!!!! Но мне места не хватило, В другой раз…
В ходе очень простого эксперимента можно установить, что какой бы ни была окружность, отношение её длины к диаметру является постоянным числом.
- необходима гибкая рулетка для измерения;
- несколько разных круглых предметов (тарелки, вазы);
- нужно измерить длину окружности вокруг предмета;
- надо хотя бы округлённо измерить диаметр окружности;
- вычислить округлённое деление длины окружности на длину диаметра окружности (выбрать любое число цифр за запятой).
Конечно, результаты будут немного различаться (измерения очень неточные), но будет заметно, что всегда результат — число около (3).
Если провести более точные измерения, то можно найти более точное значение частного. Это число принято обозначать буквой π (читается как «пи»).
Чаще всего используют приближённое значение числа π
≈
(3.14).
Более точное его значение: π
≈
(3,1415926535897932).
Но цифр за запятой намного больше, это бесконечная десятичная непериодическая дробь. Благодаря развитию вычислительной техники совсем недавно стало возможно распечатать довольно много цифр числа π.
Мы имеем формулу для вычисления длины окружности, если известен диаметр:
C=π⋅d
.
Если вспомним, что
d=2r
, то формула длины окружности будет выглядеть так:
C=2π⋅r
.
Как же вычислить площадь круга? Один из подходов для определения формулы:
представим, что круг разделён на половины, и каждая из половин поделена на равные части (на рисунке ниже):
Рис. (1). Круг, делённый на равные части
Из частей сложим прямоугольник со сторонами (r) и π(r).
Рис. (2). Прямоугольник, сложенный из частей круга
Для получения более точного результата можно бесконечно уменьшать количество частей круга, чтобы сложенная фигура была как можно больше похожа на прямоугольник.
Видим, что площадь круга вычисляется по формуле
S=π⋅r2
.
Источники:
Рис. 1. Круг, деленный на равные части © Якласс
Рис. 2. Прямоугольник, сложенный из частей круга © Якласс