Для всех окружностей справедливо, что отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число.
Это число принято обозначать греческой буквой
π
(«пи»). У этого числа за запятой бесконечное множество цифр, порядок которых не повторяется.
Такие числа называются иррациональными.
π≈3,14159265358979…
В наше время, когда вычислительные технологии очень развиты, можно вычислить очень много значащих цифр. Сколько цифр использовать в расчётах, нужно решать в зависимости от того, какая точность необходима. Иногда используется даже округление до целых
π≈3
, но чаще всего используется
π≈3,14
.
Интересно, что в марте (3 месяц) 14-го числа неофициально в мире отмечают день
π
, когда происходят математические конкурсы и другие интересные события.
Длина окружности обозначается через (C), диаметр и радиус (D = 2R), значит,
Так как длина всей окружности равна
C=2π⋅R
, то длина дуги в (1°) равна
2πR360°=πR180°
.
Если градусная мера дуги равна
α
градусам, то длина такой дуги
∪AB=l
выражается формулой
l=πR180°⋅α
.
Площадь круга определяется по формуле
S=π⋅R2
.
Площадь сектора, градусная мера дуги которого (1°), равна
πR2360°
.
Если градусная мера дуги равна
α
градусов, то площадь такого сектора выражается формулой
Sсект.=πR2360°⋅α
.
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности.
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
M N – диаметр.
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
∪ A B = ∪ C D = α
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
l = 2 π R
Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Сегодня мы говорим про окружность и круг, друзья мои. У многих шестиклассников, да и не только у них, возникают трудности с этой темой. А она-то как раз и есть ваш реальный шанс на получение хорошей отметки. Да, есть там одна заковырка. Вот она не нравится ребятам. Но я сейчас подробно всё расскажу. Давайте приступим)))
Сначала дам несколько определений. Они очень лёгкие, просто посмотрите:
Есть окружность, а есть круг:
Определения, ребята, есть у вас в учебнике. Их надо знать наизусть, учителя это любят. Выучите их, пожалуйста. А я вам простыми словами расскажу, чтобы совсем понятно было.
- Окружность – это линия на бумаге или ещё где-нибудь. На асфальте мелом, например.
- Круг – это часть листа (плоскости).
Как отличить круг от окружности?
Круг я могу вырезать ножницами и у меня в руках будет круглый кусок бумаги. А линию я вам как вырежу?!
Окружность нельзя вырезать ножницами! Она же линия!
Дальше. У вас будут две формулы. Я знаю, что их три, на самом деле – две. Расскажу попозже. Сначала основные определения простыми словами дам:
А это диаметр. Присмотритесь: вам ничего не показалось?)))
Вы молодцы, если вам показалось, что один диаметр – это ДВА РАДИУСА! Так и есть!
Значит, вот эти две формулы одинаковые.
Запомните: один диаметр – это два радиуса! Один радиус – это половина диаметра! Если знаете диаметр – радиус тоже знаете!!! И наоборот!
Что такое C в этой формуле? Это длина окружности. Если я возьму окружность, мысленно её разрежу и разогну, то получится прямая. Тогда я смогу померить её длину. А можно и не разрезать. Возьмите сантиметровую ленту у бабушки или у мамы. Потом найдите чашку на кухне, отметьте точку (незаметно, чтобы потом смыть) и действуйте по схеме:
Есть ещё формула площади круга:
Тоже легко. В статье я уже не буду об этом писать. А вот видео, в нём я задачи разбираю для шестиклассников, именно на эту тему. Там про площадь круга рассказываю подробно. Для других классов тоже подойдёт, кто не понял, забыл или не успел)))
Подведём итог. Если вы будете знать наизусть определение диаметра и радиуса, если вы будете знать 2 формулы (а на самом деле одну!) длины окружности и одну формулу площади круга, то по этой теме у вас точно будет не ниже четвёрки, друзья мои школьники.
Если статья показалась вам полезной, поставьте, пожалуйста, оценку. Она поможет мне дальше помогать вам)))
Вот здесь кое-что про борьбу со списыванием с сайта ГДЗ
А вот здесь – как учить стихи
P. S.: Про число “ПИ” я ничего не говорила в этой статье. Но в видео я про него рассказываю. Это фантастическое, просто удивительное число!!!!! Но мне места не хватило, В другой раз…
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Окружность – это плоская замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центральной точки.[1]
Длина окружности (С) – это длина замкнутой кривой, которая и образует окружность.[2]
Площадь круга (А) – это величина пространства, которое ограничено окружностью.[3]
Площадь круга и длина окружности вычисляются по формулам, в которых присутствует радиус (или диаметр) окружности и число «пи».
-
1
Формула для вычисления длины окружности. Длину окружности можно вычислить по двум формулам: C = 2πr или C = πd, где π – число «пи» (математическая константа, приблизительно равная 3,14)[4]
, r – радиус окружности, d – диаметр окружности.[5]
- Приведенные формулы по сути одинаковые, так как диаметр равен удвоенному радиусу.
- Длина окружности измеряется в любых единицах измерения длины: в метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее.
-
2
Величины формулы. В формулу для нахождения длины окружности входят три величины: радиус, диаметр и число «пи». Радиус и диаметр связаны друг с другом: радиус равен половине диаметра, а диаметр равен удвоенному радиусу.
- Радиус окружности (r) – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.
- Диаметр окружности (d) – это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий любые две точки, лежащие на окружности.[6]
- Число «пи» (π) равно отношению длины окружности к ее диаметру; число «пи» представляет собой иррациональное число, которое примерно равно 3,14159265 и не имеет конечной цифры и повторяющихся сочетаний цифр.[7]
В большинстве математических вычислений число «пи» округляется до 3,14.
-
3
Измерьте радиус или диаметр окружности. Совместите начало линейки с любой точкой на окружности и сделайте так, чтобы линейка соприкасалась с центром окружности. Измерьте расстояние от точки до центра окружности, чтобы получить значение радиуса. Измерьте расстояние между двумя точками, лежащими на окружности, чтобы получить значение диаметра.
- В большинстве математических задач радиус или диаметр будет дан.
-
4
Подставьте значения величин в формулу. Найдя радиус и/или диаметр окружности, подставьте значение в соответствующую формулу. Если вы нашли радиус, воспользуйтесь формулой C = 2πr, а если диаметр, формулой C = πd.
- Пример: найдите длину окружности, радиус которой равен 3 см.
- Напишите формулу: C = 2πr
- Подставьте данное значение в формулу: C = 2π3
- Перемножьте: C = (2*3*π) = 6π = 18,84 см
- Пример: найдите длину окружности, диаметр которой равен 9 м.
- Напишите формулу: C = πd
- Подставьте данное значение в формулу: C = 9π
- Перемножьте: C = (9*π) = 28,26 м
- Пример: найдите длину окружности, радиус которой равен 3 см.
-
5
Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Теперь, когда вы знаете формулу, попробуйте решить несколько задач. Чем больше задач вы решите, тем быстрее научитесь справляться с ними.
- Найдите длину окружности с диаметром 5 м.
- C = πd = 5π = 15,7 м
- Найдите длину окружности с радиусом 10 м.
- C = 2πr = C = 2π10 = 2*10* π = 62,8 м
Реклама
- Найдите длину окружности с диаметром 5 м.
-
1
Формула для вычисления площади круга. Площадь круга можно вычислить по двум формулам, включающим диаметр или радиус: A = πr2 или A = π(d/2)2[8]
, где π – число «пи» (математическая константа, приблизительно равная 3,14)[9]
, r – радиус круга, d – диаметр круга.- Приведенные формулы по сути одинаковые, так как диаметр равен удвоенному радиусу.
- Площадь круга измеряется в любых единицах измерения длины, возведенных в квадрат: в квадратных метрах (м2), в квадратных сантиметрах (см2), в квадратных миллиметрах (мм2) и так далее.
-
2
Величины формулы. В формулу для нахождения площади круга входят три величины: радиус, диаметр и число «пи». Радиус и диаметр связаны друг с другом: радиус равен половине диаметра, а диаметр равен удвоенному радиусу.
- Радиус круга (r) – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой, лежащей на окружности, которая ограничивает этот круг.
- Диаметр круга (d) – это отрезок, проходящий через центр круга и соединяющий любые две точки, лежащие на окружности, которая ограничивает этот круг.[10]
- Число «пи» (π) равно отношению длины окружности к ее диаметру; число «пи» представляет собой иррациональное число, которое примерно равно 3,14159265 и не имеет конечной цифры и повторяющихся сочетаний цифр.[11]
В большинстве математических вычислений число «пи» округляется до 3,14.
-
3
Измерьте радиус или диаметр круга. Совместите начало линейки с любой точкой на окружности, ограничивающей круг, и сделайте так, чтобы линейка соприкасалась с центром круга. Измерьте расстояние от точки до центра круга, чтобы получить значение радиуса. Измерьте расстояние между двумя точками, лежащими на окружности, чтобы получить значение диаметра.
- В большинстве математических задач радиус или диаметр будет дан.
-
4
Подставьте значения величин в формулу. Найдя радиус и/или диаметр круга, подставьте значение в соответствующую формулу. Если вы нашли радиус, воспользуйтесь формулой A = πr2, а если диаметр, формулой A = π(d/2)2.
- Пример: найдите площадь круга с радиусом 3 м.
- Напишите формулу: A = πr2
- Подставьте данное значение: A = π32
- Возведите радиус в квадрат: r2 = 32 = 9
- Умножьте на число «пи»: A = 9π = 28,26 м2
- Пример: найдите площадь круга с диаметром 4 м.
- Напишите формулу: A = π(d/2)2
- Подставьте данное значение: A = π(4/2)2
- Разделите диаметр на 2: d/2 = 4/2 = 2
- Результат возведите в квадрат: 22 = 4
- Умножьте на число «пи»: A = 4π = 12,56 м2
- Пример: найдите площадь круга с радиусом 3 м.
-
5
Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Теперь, когда вы знаете формулу, попробуйте решить несколько задач. Чем больше задач вы решите, тем быстрее научитесь справляться с ними.
- Найдите площадь круга с диаметром 7 м.
- A = π(d/2)2 = π(7/2)2 = π(3,5)2 = 12,25 * π= 38,47 м2.
- Найти площадь круга с радиусом 3 м.
- A = πr2 = π32 = 9 * π = 28,26 м2
Реклама
- Найдите площадь круга с диаметром 7 м.
-
1
Найдите радиус или диаметр окружности. В некоторых задачах радиус или диаметр дается в виде выражения с участием переменной, например, г = (х + 7) или d = (х + 3). В этом случае вы можете найти площадь круга или длину окружности, но окончательный ответ будет также содержать переменную. Запишите радиус или диаметр так, как дается в задаче.
- Пример: вычислите длину окружности с радиусом (х + 1).
-
2
Напишите формулу с данным значением. Вычисляя площадь круга или длину окружности, вы подставляете данное значение в соответствующую формулу. Сначала запишите формулу для вычисления площадь круга или длину окружности, а затем подставьте в нее значение диаметра или радиуса, выраженное переменной.
- Пример: вычислите длину окружности с радиусом (х + 1).
- Напишите формулу: C = 2πr
- Подставьте данное значение: C = 2π(х + 1)
-
3
Вычислите длину окружности так, как если бы переменная была представлена числом. На данный момент решите задачу, рассматривая переменную в качестве обычного числа. Возможно, вам придется использовать свойство дистрибутивности для упрощения окончательного ответа.
- Пример: вычислите длину окружности с радиусом (х + 1).
- C = 2πr = 2π (х + 1) = 2πx + 2π1 = 2πx + 2π = 6,28x + 6,28
- Если вы знаете значение переменной «х», подставьте его в найденное выражение, чтобы получить численный ответ.
-
4
Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Теперь, когда вы знаете формулу, попробуйте решить несколько задач. Чем больше задач вы решите, тем быстрее научитесь справляться с ними.
- Найдите площадь круга с радиусом 2х.
- A = πr2 = π(2x)2 = π4x2 = 12,56x2
- Найдите площадь круга с диаметром (х + 2).
- A = π(d/2)2 = π((x +2)/2)2 = ((x +2)2/4)π
Реклама
- Найдите площадь круга с радиусом 2х.
Об этой статье
Эту страницу просматривали 212 706 раз.
Была ли эта статья полезной?
{S = pi r^2}
Здесь вы можете рассчитать площадь круга по известным параметрам. Для вычисления достаточно знать радиус, диаметр круга или длину его окружности.
Содержание:
- калькулятор площади круга
- отличие окружности от круга
- формула площади круга через радиус
- формула площади круга через диаметр
- формула площади круга через длину окружности
- примеры задач
Окружность и круг – в чём отличие?
Часто понятия круг и окружность путают, хотя это разные вещи.
Окружность – это замкнутая линия, а круг – это плоская фигура, ограниченная окружностью. Таким образом, гимнастический обруч или колечко – это окружности, а монета или вкусный блин – это круги.
Круг – бесконечное множество точек на плоскости, которые удалены от заданной точки, называемой центром круга, на значение, не превышающее заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.
Формула площади круга через радиус
S = pi r^2
r – радиус круга
Формула площади круга через диаметр
S = pi dfrac{d^2}{4}
d – диаметр круга
Формула площади круга через длину окружности
S = dfrac{L^2}{4pi}
L – длина окружности
Примеры задач на нахождение площади круга
Задача 1
Найдите площадь круга, радиус которого равен 4 см.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой площади круга через радиус.
S = pi r^2 = pi cdot 4^2 = 16 pi : см^2 approx 50.26548 : см^2
Ответ: 16 pi : см^2 approx 50.26548 : см^2
Полученный ответ удобно проверить с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь круга, радиус которого равен 7 см.
Решение
Задача похожа на предыдущую, поэтому решение будет выглядеть аналогично.
S = pi r^2 = pi cdot 7^2 = 49 pi : см^2 approx 153.93804 : см^2
Ответ: 49 pi : см^2 approx 153.93804 : см^2
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 3
Найдите площадь круга, радиус которого равен 9 см.
Решение
Еще одна типовая задача.
S = pi r^2 = pi cdot 9^2 = 81 pi : см^2 approx 254.469 : см^2
Ответ: 81 pi : см^2 approx 254.469 : см^2
Проверим ответ на калькуляторе .
