Как найти площадь круга через число пи - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Узнайте, как вычислить площадь круга, и выразите свой ответ в числах «пи».

Canva

В этой статье я покажу вам, как найти площадь круга и выразить ваш ответ через число пи (π). Для начала вам необходимо ознакомиться с формулой вычисления площади круга:

Определим наши переменные:

A : площадь круга
π : pi (математическая константа, приблизительно равная 3,141492…)
r : радиус круга (расстояние от центра круга до его края)

Обычно, чтобы найти площадь круга, мы просто подставляем радиус круга для r и 3,141592 для π. Если так, то нашим ответом будет число.

Как получить ответ в терминах числа пи (π)?

Чтобы выразить свой ответ в терминах числа “пи”, просто воздержитесь от замены его символа числовым значением числа в уравнении. Таким образом, ваш ответ будет выглядеть как xπ, где x – это любое число, которое вы придумаете, а π – это просто заполнитель для значения числа пи (3,141582…). По сути, выражая свой ответ в виде числа Пи, вы сокращаете свои вычисления на один шаг. Давайте посмотрим на несколько примеров.

Примеры проблем с процессами и решениями

В каждом из следующих примеров задач мы проработаем процесс определения площади круга в единицах числа пи, используя только его радиус или диаметр.

Пример 1

Определите площадь круга радиусом 7 м . Ответьте в единицах числа “пи”.

Все, что вам нужно сделать, это заменить 7 на r в A = π * r²

Таким образом, окончательный ответ – 49π м ² (поставьте число перед пи и выразите свой ответ в единицах, возведенных в квадрат).

Пример 2

Нарисуйте круг диаметром 22 см . Ответьте в единицах числа “пи”.

На этот раз указан диаметр (расстояние по всей окружности или удвоенный радиус), поэтому нам нужно уменьшить его вдвое, чтобы получить радиус. Поскольку диаметр равен 22 см , радиус составляет 11 см , или половину этого.

Таким образом, окончательный ответ – 121π см² (поставьте число перед пи и выразите свой ответ в единицах, возведенных в квадрат).

Круглый газон имеет радиус 13 м, поэтому наш ответ должен быть в квадратных метрах.

Пример 3

Обработайте площадь круглого газона, показанную на изображении выше. Ответьте в единицах числа “пи”.

Радиус этого газона составляет 13 м , поэтому нам нужно подставить это значение в формулу.

Таким образом, окончательный ответ – 169π м² (поставьте число перед пи и выразите свой ответ в единицах, возведенных в квадрат).

Вопросы и Ответы

Вопрос: Найдите площадь круга диаметром d = 8м. Дайте свой ответ в терминах π?

Ответ: сначала разделите 8 на 2, чтобы получить радиус 4 м.

Теперь возведите 4 в квадрат, чтобы получить 16, и умножьте 16 на π, чтобы получить 16π m ^ 2.

Вопрос: Можно ли проработать периметр полукруга радиусом 3 см? Дайте свой ответ в единицах Пи?

Ответ: Чтобы вычислить окружность, умножьте диаметр на пи.

Диаметр равен 6, поэтому 6, умноженное на Пи, равно 6 Пи.

Вы можете оставить ответ как 6Pi, и вопрос требует точного ответа, а не десятичного ответа.

Вопрос: Окружность круга составляет 18π дюймов, так какова площадь в единицах π?

Ответ: Разделите 18π на π, чтобы получить диаметр круга, который дает 18.

Половина 18, чтобы получить радиус 9.

Теперь используйте πr ^ 2, чтобы получить площадь, равную 81π.

Вопрос: Можете ли вы проработать площадь полукруга радиусом 3 см?

Ответ: Возведите радиус в квадрат, чтобы получить 9.

Умножьте на Пи, чтобы получить 28,274…

Теперь разделите этот ответ на 2, чтобы получить 14,1 см ^ 2 с округлением до 1 знака после запятой.

(Разделите на 2, потому что полукруг – это половина площади круга.)

Вопрос: Какова площадь этой четверти круга радиусом 8 см?

Ответ: Сначала возведите радиус в квадрат, чтобы получить 64, и умножьте его на Пи (3,14), чтобы получить 201,06…

Теперь разделите 201,06 на 4, чтобы получить 50,3 см ^ 2 с округлением до 1 знака после запятой.

Вопрос: Окружность круга 27см. Какая площадь у круга? (используйте 3,14 для пи)

Ответ: сначала разделите окружность на число Пи, чтобы получить диаметр круга (27, деленное на 3,14 = 8,59…).

Теперь уменьшите диаметр вдвое, чтобы получить радиус (8,59, разделенное на 2, будет 4,29…).

Теперь используйте Pi * r ^ 2, чтобы найти площадь круга (Pi, умноженное на 4,29 ^ 2 = 58,0 см ^ 2 с точностью до 1 знака после запятой).

Вопрос: Диаметр круга 3,3, что это за площадь?

Ответ: Сначала половина диаметра окружности дает радиус 1,65.

Теперь возведите raidus в квадрат и умножьте его на 3,14, чтобы получить окончательный ответ (8,55 до 2 знаков после запятой).

Вопрос: Каков периметр полукруга диаметром 86 см? Запишите ответ в виде числа π?

Ответ: сначала умножьте диаметр на Пи, чтобы получить 86π.

Следующая половина 86π дает 43π (это длина дуги).

Затем добавьте диаметр, чтобы получить окончательное выражение 43π + 86.

Вопрос: Какова площадь круга диаметром 10 см?

Ответ: Сначала половина диаметра (10), чтобы дать радиус, поэтому 10 разделить на 2 равно 5.

Теперь возведите радиус, равный 25 (5 ^ 2).

Теперь умножьте 25 на Пи, чтобы получить 25 Пи.

Если вы хотите, чтобы ваш ответ был десятичным, умножьте 25 на 3,14, чтобы получить 78,5 до 1 знака после запятой.

Вопрос: Как определить площадь круга, используя диаметр, и получить ответ в Пи?

Ответ: Сначала половина диаметра круга, чтобы получить радиус.

Затем возведите радиус в квадрат.

Последний шаг – умножить радиус на Пи, но, поскольку вы хотите получить ответ в терминах Пи, поместите число в последний шаг, а затем Пи.

Вопрос: Какова площадь (в Пи) окружности с радиусом 13?

Ответ: Сначала возведите в квадрат 13, что составляет 169, а затем умножьте ответ на Пи, чтобы получить 169 Пи.

Вопрос: Найдите площадь круга радиусом 15 см? Дайте свой ответ в единицах Пи?

Ответ: Возведите радиус в квадрат и умножьте на Пи. 15 ^ 2 равно 225, поэтому ответ – 225 Пи. Просто оставьте «пи» на конце числа.

Вопрос: Можете ли вы вычислить длину окружности круга радиусом 6 см в Пи?

Ответ: Сначала удвойте радиус, чтобы получить диаметр круга (6 удвоенных – 12).

Теперь умножьте этот ответ на Пи, чтобы получить ответ в 12 Пи (вам не нужно его вычислять, поскольку вопрос требует ответа в терминах Пи).

Вопрос: Можно ли проработать периметр полукруга радиусом 4?

Ответ: Сначала удвойте радиус, чтобы получить 8, теперь умножьте это на Пи, чтобы получить 8 Пи. Теперь половина 8Pi, чтобы дать 4Pi.

Таким образом, длина дуги составляет 4Pi.

Теперь добавьте диаметр, чтобы получить окончательный ответ 4Pi + 8.

Вопрос: Площадь круга, выраженная в π, равна 4π м в квадрате. Найдите значение радиуса?

Ответ: сначала разделите площадь на число Пи, чтобы получить 4.

Следующий квадратный корень из радиуса, чтобы получить 2.

Вопрос: Как найти площадь поверхности сферы, если радиус равен 100?

Ответ: Возведите в квадрат радиус, равный 10000, и умножьте на 4Pi, чтобы получить 40000Pi.

Источник

Загрузить PDF

Некоторые учащиеся не понимают, как найти площадь круга по исходным данным. Для начала нужно запомнить формулу, по которой вычисляется площадь круга: $S=pi r^{2}$ . Формула проста: чтобы найти площадь круга, нужно знать только его радиус. Но нужно уметь преобразовывать другие исходные величины, чтобы воспользоваться этой формулой.

1
Найдите радиус круга. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой внешней окружности круга. Радиус можно измерить в любом направлении: он будет одним и тем же. Радиус также равен половине диаметра круга. Диаметр – это отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки внешней окружности круга.^[1]
- Как правило, значение радиуса дано в условиях задачи. Довольно трудно найти точный центр круга, если только он не обозначен на круге, который нарисован на бумаге.
- Например, радиус круга равен 6 см.
2

Возведите радиус в квадрат. Формула для вычисления площади круга: $S=pi r^{2}$ , где – радиус, который возведен во вторую степень (в квадрат).^[2]
3
Полученный результат умножьте на число Пи. Это число обозначается греческой буквой и представляет собой математическую константу, которая характеризует взаимосвязь радиуса и площади круга. Число Пи приблизительно равно 3,14. Точное значение числа Пи включает бесконечное количество цифр. Иногда ответ (площадь круга) записывается с постоянной .^[3]
- В нашем примере (r = 6 см) площадь вычисляется так:
4
Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. Если радиус дан в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах. Если радиус дан в миллиметрах, площадь измеряется в квадратных миллиметрах. Уточните у преподавателя, нужно ли представить ответ с постоянной или в числовой форме, используя приблизительное значение числа Пи. Если требование не ясно, запишите оба варианта ответа.^[4]
- В нашем примере (r = 6 см) S = 36 см² или S = 113,04 см².
Реклама

1
Измерьте или запишите диаметр. В некоторых задачах радиус не дан. Вместо радиуса указывается диаметр. Если диаметр нарисован на бумаге, измерьте его с помощью линейки. Скорее всего, числовое значение диаметра будет задано.
- Например, диаметр круга равен 20 мм.
2
Разделите диаметр пополам. Помните, что диаметр равен удвоенному радиусу. Поэтому разделите любое значение диаметра на 2, чтобы найти радиус.
- Таким образом, если диаметр круга равен 20 мм, то радиус круга равен 20/2 = 10 мм.
3
4
Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. В нашем примере диаметр дан в миллиметрах, поэтому радиус тоже измеряется в миллиметрах, а площадь в квадратных миллиметрах. В нашем примере S = мм².
- Также ответ можно представить в численной форме, используя вместо приблизительное значение 3,14. В этом случае S = (100)(3,14) = 314 мм².
Реклама

1
Запишите преобразованную формулу. Если известна длина окружности круга, можно воспользоваться преобразованной формулой для вычисления его площади. Такая формула включает длину окружности, а не радиус, и записывается так:
- $S={frac {C^{2}}{4pi }}$
2
Измерьте или запишите длину окружности. В некоторых ситуациях нельзя точно измерить диаметр или радиус. Если диаметр не нарисован или центр не отмечен, очень сложно найти точный центр круга. Длину окружности некоторых предметов (например, сковороды) довольно легко измерить с помощью рулетки, то есть можно найти более точное значение длины окружности, чем диаметра.^[5]
- Например, длина окружности круга (или круглого предмета) равна 42 см.
3
4

Запишите формулу для вычисления площади круга. Запишите преобразованную формулу на основе соотношения между длиной окружности и радиусом. Подставьте последнее равенство в стандартную формулу для вычисления площади круга:^[7]
5

Воспользуйтесь преобразованной формулой, чтобы решить задачу. Теперь в формуле вместо радиуса присутствует длина окружности, поэтому можно вычислить площадь круга по известной длине окружности. Подставьте значение длины окружности и выполните вычисления следующим образом:^[8]
6

Запишите ответ. Если длина окружности дана в виде числа, а не произведения числа и , ответ можно записать с в знаменателе. Или вместо числа Пи подставьте его приблизительное значение (3,14).^[9]

Реклама

1

Запишите известные величины. В некоторых задачах дана площадь сектора круга, по которой нужно найти площадь всего круга. Внимательно прочитайте такую задачу; ее условие может выглядеть так: «Площадь сектора круга равна 15 см². Найдите площадь всего круга».^[10]
2

Запомните определение сектора. Сектор круга – это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами. Пространство между такими радиусами и дугой называется сектором.^[11]
3
Измерьте центральный угол сектора. Воспользуйтесь транспортиром, чтобы измерить угол между двумя радиусами. Линейку (прямолинейную шкалу) совместите с одним из радиусов, причем центр линейки должен совпадать с центром круга. Затем найдите величину угла; для этого посмотрите на точку пересечения второго радиуса с угломерной шкалой.^[12]
- Не перепутайте внутренний и внешний угол между двумя радиусами. В задаче должно быть указано, с каким углом работать. Помните, что сумма внутреннего и внешнего углов равна 360 градусов.
- Во многих задачах центральный угол дан, то есть измерять его не нужно. Например, в задаче может быть сказано: «Центральный угол сектора равен 45 градусов»; если это не так, измерьте центральный угол.
4

Используйте преобразованную формулу для вычисления площади круга. Если известны площадь сектора и его центральный угол, используйте следующую преобразованную формулу, чтобы найти площадь круга: ^[13]
5
6
Запишите ответ. В нашем примере сектор составлял одну восьмую полного круга. Поэтому площадь полного круга равна 120 см². Так как площадь сектора дана с постоянной , скорее всего, ответ тоже можно представить с этой постоянной.^[15]
- Чтобы записать ответ в численной форме, умножьте 120 x 3,14 = 376,8 см².
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 264 783 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Оглавление:

📝 Как это работает?
🤔 Частые вопросы и ответы
📋 Похожие материалы
📢 Поделиться и комментировать

Формула (формулы) площади круга

Найти площадь круга можно разными способами, в зависимости от известных данных.

По радиусу

Если дан только радиус, то площадь составит произведение константы Пи на квадрат радиуса. Расчёт будет по формуле (где r – радиус, а π – константа, равная 3,1415…):

Например, если радиус равен 2 метра, то площадь круг можно вычислить так S = 3,14 × 2² = 3,14 × 4 = 12,56 м² (квадратных метров).

Через диаметр

Если известен диаметр, то площадь круга будет равняться одной четвёртой произведения Пи и квадрата диаметра. Формула площади круга будет такой (где d – диаметр, а π – константа, равная 3,1415…):

К примеру, если диаметр круга (площадь поверхности пиццы) составляет 35 сантиметров, то площадь такого круга будет равна S = ¼ × 3,14 × 35²= ¼ × 3,14 × 1225 = 962 см² (квадратных сантиметра).

Через длину окружности

Если мы знаем только длину окружности (периметр круга), то рассчитать площадь фигуры можно по формуле (где L – длина окружности, а π – константа, равная 3,1415…):

Например, если длинна окружности составляет 120 мм, тогда площадь круга будет равна S = 120² / (4 × 3,14) = 14 400 / (4 × 3,14) = 1146,5 мм² (квадратных миллиметров).

Какие термины используются для поиска площади круга?

Для вычисления площади круга, в формулах были использованы следующие термины, значение которых нужно знать, чтобы точно понимать принципы расчета.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.

Число π (пи) — математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру. Пи равняется примерно 3,14.

Площадь круга и размеры пицц

Люди не всегда верно сопоставляют площадь круга и диаметры. К примеру, сможете ли вы ответить:

Что больше: 2 пиццы диаметром 25 см или 1 пицца диаметром 40 см?

Интуитивно кажется, что 2 пиццы, так как в сумме их радиусы дают 50 сантиметров, что больше, чем 40. Однако это неправильный вывод, так как сравнивать нужно не сумму диаметров, а сумму квадратов диаметров. То есть:

25² + 25² = 625 + 625 = 1250
40² = 1600

Так как ¼π является константой, то можно сравнивать только квадраты диаметров. Получается, что пицца 40 см больше, чем даже 2 пиццы размером 25 см. А вот если диаметр пиццы составляет 35 см, то 35² = 1225, и в этом случае 2 пиццы по 25 см будут иметь бОльшую площадь.

Площади усеченных частей круга

А также полезно знать следующие геометрические элементы, связанные с кругами и окружностями:

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сектор является частью круга, а его площадь относится к площади круга так же, как и длина окружности сектора к длине всей окружности. Поэтому площадь сектора равна площади круга, умноженной на отношение длинны окружности сектора к длине окружности всего круга.

Но площадь сектора можно вычислить и по более простой формуле. Она равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S = sr/2

где S — площадь сектора, r — радиус круга.

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.

Площадь сегмента можно найти по формулам:

S = r²sinα/ 2

где S — площадь сегмента, sinα — синус угла двух между радиусов до концов хорды, r — радиус круга.

Часто задаваемые вопросы о площади круга?

И конечно, стоит ответить на некоторые вопросы, которые возникают во время расчетов.

Входит ли окружность (периметр) в площадь круга?

Да, входит, ведь кругом являются все точки, удаленные от центра круга на расстояние, которое не превышает радиус.

Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?

У нас есть разнообразные калькуляторы, в частности калькуляторы: длины окружности, диаметра и площади круга. Для последней калькулятор находится на данной странице.

Хватит ли только диаметра, только радиуса или только длинны окружности для расчета площади круга?

Да, хватит чего-то одного, так как все 3 сущности можно вывести одну из другой, например, диаметр равен двум радиусам, а длина окружности – это диаметр, умноженный на число Пи.

Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?

Число Пи – это отношение длины окружности к диаметру. После его вычисления математики выяснили, что оно является иррациональным числом: то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой. И получается, что именно с такой точностью можно рассчитать площадь круга. Если у квадрата и треугольника площадь точная, то у круга всегда приблизительная.

Кто впервые научился вычислять площадь круга?

Гиппократ Хиосский (не тот, в честь которого назвали клятву) первым сформулировал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение. А Архимед в III веке до н. э. нашёл число Пи и продемонстрировал, что оно чуть меньше, чем 3 и 1/7.

Связанные понятия[править | править код]

Сектор круга (закрашен зелёным)
Сегмент круга (закрашен жёлтым)

Площадь сектора круга равна ${displaystyle S={frac {theta r^{2}}{2}}}$ , где theta — угловая величина дуги сектора в радианах^[1].

Площадь сегмента круга равна ${displaystyle S={frac {1}{2}}r^{2}(theta -sin theta )}$ , где — угол в радианах^[1]

История[править | править код]

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Гиппократ Хиосский (в своих попытках квадрирования гиппократовых луночек) первым сформулировал утверждение: площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение^[2]^[3]. Однако они не установили значения коэффициента пропорциональности.

Античные математики также безуспешно пытались решить задачу «квадратуры круга», то есть построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед и другие; неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа , которая была доказана в 1882 году Линдеманом^[4].

Архимед в III веке до н. э. использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать в своей книге «Измерение круга^[en]», что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу окружности. В современных обозначениях, длина окружности равна 2pi r , а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, что даёт ${displaystyle pi r^{2}.}$ Архимед уточнил значение числа :

$3{frac {10}{71}}<pi <3{frac {1}{7}}$

Для доказательства Архимед построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон (см. ниже).

Круг, развёрнутый в треугольник

Средневековые европейские математики использовали для обоснования формулы площади круга метод неделимых. Представим себе разворачивание концентричных кругов бесконечно малой толщины в отрезки, получим прямоугольный треугольник с высотой r и основанием 2pi r (основание получается из внешней окружности круга). Вычисление площади треугольника даст площадь круга:

Площадь =

основание

высота = ${displaystyle {1 over 2}cdot 2pi rcdot r<=pi r^{2}}$

Доказательства[править | править код]

Предельный переход[править | править код]

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к кругу, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус^[5], то есть ${displaystyle pi cdot rcdot r=pi r^{2}}$ .

Доказательство Архимеда[править | править код]

Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.

Не больше[править | править код]

Круг с вписанными квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = ¹⁄₂cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем^[en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G₄ больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G₈. Продолжаем деление, пока общий зазор G_n не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника P_n = C − G_n должна быть больше площади треугольника.

${begin{aligned}E&{}=C-T\&{}>G_{n}\P_{n}&{}=C-G_{n}\&{}>C-E\P_{n}&{}>Tend{aligned}}$

Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт ¹⁄₂nhs. Но h < r и ns < c, так что площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника ¹⁄₂cr, получили противоречие.

Не меньше[править | править код]

Окружность с описанным квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G₄ больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника P_n должна быть меньше T.

${begin{aligned}D&{}=T-C\&{}>G_{n}\P_{n}&{}=C+G_{n}\&{}<C+D\P_{n}&{}<Tend{aligned}}$

Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.

Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.

Доказательство перегруппировкой[править | править код]

Площадь круга после перегруппировки

Следуя Сато Мошуну ^[6] и Леонардо да Винчи ^[7], мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной πr и высотой r.

Приближения площади круга единичного радиуса перегруппировкой треугольников.

многоугольник
n	сторона	основание	высота	площадь
4	1,4142136	2,8284271	0,7071068	2,0000000
6	1,0000000	3,0000000	0,8660254	2,5980762
8	0,7653669	3,0614675	0,9238795	2,8284271
10	0,6180340	3,0901699	0,9510565	2,9389263
12	0,5176381	3,1058285	0,9659258	3,0000000
14	0,4450419	3,1152931	0,9749279	3,0371862
16	0,3901806	3,1214452	0,9807853	3,0614675
96	0,0654382	3,1410320	0,9994646	3,1393502
∞	1/∞	π	1	π

Интегрирование[править | править код]

Площадь круга путём интегрирования

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2πt dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

${begin{aligned}mathrm {Area} (r)&{}=int _{0}^{r}2pi t,dt\&{}=left[(2pi ){frac {t^{2}}{2}}right]_{t=0}^{r}\&{}=pi r^{2}.end{aligned}}$

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

${begin{aligned}mathrm {Area} (r)&{}=int _{0}^{2pi r}{frac {1}{2}}r,dt\&{}=left[{frac {1}{2}}rtright]_{t=0}^{2pi r}\&{}=pi r^{2}.end{aligned}}$

Быстрая аппроксимация[править | править код]

Для применения формулы площади круга необходимо знать с нужной точностью значение числа . Вычисления, проведённые Архимедом, были трудоёмкими, и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Снелла (1621), позднее развитые Гюйгенсом (1654) ^[8].

Метод удвоения Архимеда[править | править код]

Если задан круг, пусть u_n будет периметром вписанного правильного n-угольника, а U_n — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда u_n и U_n являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (u_n + U_n)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить u_n и U_n для больших n, Архимед вывел следующие формулы:

$u_{2n}={sqrt {U_{2n}u_{n}}}$

(среднее геометрическое)

$U_{2n}={frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}$

(среднее гармоническое).

Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.

В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше).
Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u₆ = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U₆ = 4√3.
Удваиваем семь раз, получаем

Удвоения Архимеда семь раз; n = 6×2^k.

k	n	u_n	U_n	(u_n + U_n)/4
0	6	6,0000000	6,9282032	3,2320508
1	12	6,2116571	6,4307806	3,1606094
2	24	6,2652572	6,3193199	3,1461443
3	48	6,2787004	6,2921724	3,1427182
4	96	6,2820639	6,2854292	3,1418733
5	192	6,2829049	6,2837461	3,1416628
6	384	6,2831152	6,2833255	3,1416102
7	768	6,2831678	6,2832204	3,1415970

(здесь (u_n + U_n)/2 аппроксимирует длину единичной окружности, которая равна 2π, так что (u_n + U_n)/4 аппроксимирует π)

Последняя строка таблицы содержит число, близкое к ³⁵⁵⁄₁₁₃ — отличному рациональному приближению числа π; лучшие приближения имеют знаменатели на несколько порядков больше^[9].

Улучшение Снелла-Гюйгенса[править | править код]

Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:

$n{frac {3sin {frac {pi }{n}}}{2+cos {frac {pi }{n}}}}<pi <n[2sin {frac {pi }{3n}}+tan {frac {pi }{3n}}].$

Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Развитие формулы удваивания Архимеда[править | править код]

Круг с подобными треугольниками, описанным, вписанным и дополнительным

Пусть одна сторона вписанного правильного n-угольника имеет длину s_n и пусть точки A и B — её концы. Пусть A′ — противоположная A точка на окружности, так что A′A является диаметром, а A′AB является вписанным треугольником, опирающимся на этот диаметр. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным (угол B прямой). Пусть длина A′B равна c_n и эту длину будем называть дополнением s_n. Тогда c_n²+s_n² = (2r)². Пусть точка C делит дугу AB пополам, и пусть C′ является противоположной C точкой окружности. Тогда длина CA равна s_2n, длина C′A равна c_2n, а C′CA снова является прямоугольным треугольником, опирающимся на диаметр C′C. Поскольку C делит дугу AB пополам, диаметр C′C перпендикулярен хорде AB, которую он пересекает, скажем, в точке P. Треугольник C′AP тогда прямоуголен и подобен C′CA, поскольку у них общий угол C′. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. В частности, мы имеем C′A : C′C = C′P : C′A и AP : C′A = CA : C′C. Центр окружности O делит A′A пополам, так что треугольник OAP подобен A′AB и длина OP равна половине длины A′B. В результате получаем

${begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=left(r+{frac {1}{2}}c_{n}right)2r\c_{2n}&{}={frac {s_{n}}{s_{2n}}}.end{aligned}}$

В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+¹⁄₂c_n, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена

${displaystyle c_{2n}={sqrt {2+c_{n}}}.}$

Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону S_n, тогда отношение превращается в S_n : s_n = 1 : ¹⁄₂c_n. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем

${displaystyle c_{n}=2{frac {s_{n}}{S_{n}}}.}$

Обозначим периметр вписанного многоугольника через u_n = ns_n, а описанного через U_n = nS_n. Комбинируя равенства, получим

$c_{2n}={frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{frac {s_{2n}}{S_{2n}}},$

так что

${displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.}$

Получили среднее геометрическое.

Можно также вывести

$2{frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{frac {s_{n}}{S_{n}}},$

или

${frac {2}{U_{2n}}}={frac {1}{u_{n}}}+{frac {1}{U_{n}}}.$

Получили среднее гармоническое.

Аппроксимация случайными бросаниями[править | править код]

Площадь единичного круга методами Монте-Карло. После 900 бросаний получаем 4×⁷⁰⁹⁄₉₀₀ = 3,15111…

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно распространяются по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10⁻ⁿ необходимо около 100ⁿ случайных испытаний ^[10].

Конечная перегруппировка[править | править код]

Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем ^[11], что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Сам вопрос о таком конечном разбиении носит название «Квадратура круга Тарского».

Обобщения[править | править код]

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Справочник по элементарной математике, 2006, с. 342.
↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 204. — 456 с.
↑ История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — С. 102.
↑ Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — С. 144—168. — 320 с.
↑ Hill, George. Лекции по геометрии для начинающих Архивная копия от 7 января 2014 на Wayback Machine, страница 124 (1894).
↑ Smith, Mikami, 1914.
↑ Beckmann, 1976.
↑ Gerretsen, Verdenduin, 1983.
↑ Не все лучшие рациональные приближения сводятся к непрерывным дробям! Дата обращения: 14 января 2015. Архивировано 28 августа 2014 года.
↑ Thijsse, 2006.
↑ Laczkovich, 1990.

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
Archimedes в переводе Томаса Хита. The Works of Archimedes. — Dover, c. 260 BCE, год публикации 2002. — С. 91–93. — ISBN 978-0-486-42084-4.
Petr Beckmann. A History of Pi. — St. Martin’s Griffin, 1976. — ISBN 978-0-312-38185-1.
J. Gerretsen, P. Verdenduin. Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. — MIT Press, 1983. — С. 243–250. — ISBN 978-0-262-52094-2.
Serge Lang. Math! : Encounters with High School Students. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 978-0-387-96129-3.
Miklós Laczkovich. Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski’s circle squaring problem // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1990. — Т. 404. — С. 77–117.
David Eugene Smith, Yoshio Mikami. A history of Japanese mathematics. — Chicago: Open Court Publishing, 1914. — С. 130–132. — ISBN 978-0-87548-170-8.
J. M.Thijsse. Computational Physics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 273. — ISBN 978-0-521-57588-1.

Ссылки[править | править код]

Area of a Circle Calculator
Area enclosed by a circle Архивная копия от 4 декабря 2008 на Wayback Machine (with interactive animation)
Science News on Tarski problem Архивная копия от 13 апреля 2008 на Wayback Machine

Источник

Сегодня мы говорим про окружность и круг, друзья мои. У многих шестиклассников, да и не только у них, возникают трудности с этой темой. А она-то как раз и есть ваш реальный шанс на получение хорошей отметки. Да, есть там одна заковырка. Вот она не нравится ребятам. Но я сейчас подробно всё расскажу. Давайте приступим)))

Длина окружности и площадь круга. Можете не понимать. Надо знать 3 формулы и 2 определения

Сначала дам несколько определений. Они очень лёгкие, просто посмотрите:

Есть окружность, а есть круг:

Определения, ребята, есть у вас в учебнике. Их надо знать наизусть, учителя это любят. Выучите их, пожалуйста. А я вам простыми словами расскажу, чтобы совсем понятно было.

Окружность – это линия на бумаге или ещё где-нибудь. На асфальте мелом, например.
Круг – это часть листа (плоскости).

Как отличить круг от окружности?

Круг я могу вырезать ножницами и у меня в руках будет круглый кусок бумаги. А линию я вам как вырежу?!

Окружность нельзя вырезать ножницами! Она же линия!

Дальше. У вас будут две формулы. Я знаю, что их три, на самом деле – две. Расскажу попозже. Сначала основные определения простыми словами дам:

Ребята! Это радиус! Он соединяет центр окружности (точку О) и любую точку на окружности.

А это диаметр. Присмотритесь: вам ничего не показалось?)))

АВ – это диаметр.

Вы молодцы, если вам показалось, что один диаметр – это ДВА РАДИУСА! Так и есть!

Значит, вот эти две формулы одинаковые.

d – диаметр, r – радиус

Запомните: один диаметр – это два радиуса! Один радиус – это половина диаметра! Если знаете диаметр – радиус тоже знаете!!! И наоборот!

Что такое C в этой формуле? Это длина окружности. Если я возьму окружность, мысленно её разрежу и разогну, то получится прямая. Тогда я смогу померить её длину. А можно и не разрезать. Возьмите сантиметровую ленту у бабушки или у мамы. Потом найдите чашку на кухне, отметьте точку (незаметно, чтобы потом смыть) и действуйте по схеме:

Так можно узнать длину окружности в домашних условиях)))

Есть ещё формула площади круга:

Число “ПИ” – это постоянная величина. Её надо просто запомнить наизусть: 3,14.

Тоже легко. В статье я уже не буду об этом писать. А вот видео, в нём я задачи разбираю для шестиклассников, именно на эту тему. Там про площадь круга рассказываю подробно. Для других классов тоже подойдёт, кто не понял, забыл или не успел)))

Подведём итог. Если вы будете знать наизусть определение диаметра и радиуса, если вы будете знать 2 формулы (а на самом деле одну!) длины окружности и одну формулу площади круга, то по этой теме у вас точно будет не ниже четвёрки, друзья мои школьники.

Если статья показалась вам полезной, поставьте, пожалуйста, оценку. Она поможет мне дальше помогать вам)))

Вот здесь кое-что про борьбу со списыванием с сайта ГДЗ

А вот здесь – как учить стихи

P. S.: Про число “ПИ” я ничего не говорила в этой статье. Но в видео я про него рассказываю. Это фантастическое, просто удивительное число!!!!! Но мне места не хватило, В другой раз…

Источник

Как получить ответ в терминах числа пи (π)?

Примеры проблем с процессами и решениями

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Вопросы и Ответы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Формула (формулы) площади круга

По радиусу

Через диаметр

Через длину окружности

Какие термины используются для поиска площади круга?

Площадь круга и размеры пицц

Площади усеченных частей круга

Часто задаваемые вопросы о площади круга?

Входит ли окружность (периметр) в площадь круга?

Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?

Хватит ли только диаметра, только радиуса или только длинны окружности для расчета площади круга?

Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?

Кто впервые научился вычислять площадь круга?

Похожие калькуляторы

Есть что добавить?

Связанные понятия[править | править код]

История[править | править код]

Доказательства[править | править код]

Предельный переход[править | править код]

Доказательство Архимеда[править | править код]

Не больше[править | править код]

Не меньше[править | править код]

Доказательство перегруппировкой[править | править код]

Интегрирование[править | править код]

Быстрая аппроксимация[править | править код]

Метод удвоения Архимеда[править | править код]

Улучшение Снелла-Гюйгенса[править | править код]

Развитие формулы удваивания Архимеда[править | править код]

Аппроксимация случайными бросаниями[править | править код]

Конечная перегруппировка[править | править код]

Обобщения[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти марку телефона на андроид

Как найти проблемы windows 10

Как найти угловую скорость редуктора

Добавить комментарий Отменить ответ