Рассмотрим задачи, в которых изображён круг на клетчатой бумаге и требуется по известной площади круга найти площадь заштрихованного сектора либо найти площадь круга по данному значению площади сектора.
Для решения обеих задач надо определить величину соответствующего ему центрального угла.
Градусная мера окружности — 360°. Зная центральный угол, найдем, какую часть площадь закрашенного сектора составляет от площади круга.
Самые простые задания этого вида — те, в которых центральный угол — прямой. 90° составляют четверть от 360°. Отсюда, для нахождения площади сектора площадь круга следует разделить на 4. И наоборот, для нахождения площади круга по известной площади сектора площадь сектора умножаем на 4.
Стороны прямого угла, чаще всего, либо проведены по клеточкам (одна сторона — горизонтально, другая — вертикально), либо делят каждую клеточку по диагонали (как диагональ квадрата).
Определить прямой угол можно даже с помощью листа бумаги (приложив его к центру круга).
1) На клетчатой бумаге изображён круг площадью 60.
Найти площадь заштрихованного сектора.
Решение:
Так как центральный угол, соответствующий данному сектору, равен 90º, то
Sсектора=Sкруга:4=60:4=15.
Обратная задача.
2) На клетчатой бумаге изображён круг.
Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 17?
Решение:
Так как стороны угла делят каждую клеточку по диагонали, образуя с горизонтальной прямой, проходящей из вершины угла, углы по 45°, то центральный угол равен 90º.
Следовательно, площадь сектора составляет 1/4 от площади круга: Sкруга=Sсектора:(1/4)=17·4=68.
3) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 21.
Решение:
Площадь заштрихованного сектора составляет 3/4 площади круга.
Следовательно, чтобы найти площадь круга, надо площадь сектора разделить на 3/4:
Sкруга=Sсектора:(3/4)=21: (3/4)=21·4:3=28.
4) Какова площадь круга если известно, что площадь закрашенного сектора равна 11?
Решение:
Соответствующий центральный угол равен 45° (одно сторона угла проведена по горизонтали, другая делит каждую клеточку по диагонали (является диагональю квадрата).
Так как 45° составляет от 360° 1/8 часть, то
Sкруга=Sсектора:(1/8)=11: (1/8)=11·8=88.
5) На клетчатой бумаге изображен круг площадью 96.
Найдите площадь заштрихованного сектора.
Решение:
Центральный угол, соответствующий незакрашенной части, равен 45°, то есть составляет 1/8 площади круга.
Sнезакрашенного сектора=Sкруга:8=96:8=12.
Sзакрашенного сектора=Sнезакрашенного сектора-Sкруга=96-12=84.
А как определить на клетчатой бумаге центральные углы в 60° и 30°?
Можно рассуждать следующим образом.
Рассмотрим треугольник ABC.
Так как BH — его высота и медиана, то ABC — равнобедренный с основанием AO. Значит, AB=BO.
Но AO=BO (как радиусы).
Следовательно, AB=BO=AO, то есть треугольник ABC — равносторонний. Следовательно, все его углы равны по 60°, в частности, ∠AOB=60°.
∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°.
6) Найти площадь заштрихованного сектора, если площадь круга равна 30.
Решение:
Соответствующий центральный угол равен 60°. Значит, площадь сектора составляет 1/6 от площади круга и Sсектора=Sкруга:6=30:6=5.
7) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 24.
Решение:
Так как центральный угол заштрихованного сектора равен 30°, то площадь сектора составляет 1/12 часть от площади круга.
Sкруга=Sсектора:(1/12)=24: (1/12)=24·12=288.
8) Найти площадь круга, изображенного на клетчатой бумаге, если площадь заштрихованного сектора равна 60.
Решение:
Центральный угол, соответствующий незакрашенному сектору, равен 60°. Значит, площадь незакрашенной части составляет 1/6 площади круга.
Следовательно, на площадь закрашенной части приходится 5/6 круга:
Sкруга=Sсектора:(5/6)=60: (5/6)=60·6:5=72°.
В некоторых случаях центральный угол можно найти как сумму или разность других центральных углов.
9) Центральный угол равен 30+45=75°,
площадь заштрихованного сектора составляет
1/12+1/8=5/24 площади круга, то есть
Sсектора=Sкруга·(5/24)=Sкруга:24·5,
Sкруга=Sсектора:(5/24)=Sкруга: 5·24.
10) Центральный угол равен 180-30=150°,
площадь заштрихованного сектора составляет 1/2-1/12=5/12 площади круга,
Sсектора=Sкруга·(5/12),
Sкруга=Sсектора:(5/12).
11) Центральный угол равен 60-45=15°,
площадь заштрихованного сектора составляет 1/24 площади круга
и т.д.
12) Центральный угол равен 15+90=105°
(либо 180-30-45=105°),
площадь заштрихованного сектора составляет
1/24+1/4=7/24 и т.д.
Площадь круга равна произведению числа на квадрат радиуса:
Задача 1. Найдите площадь круга, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 1). В ответе укажите .
Рис.1
Решение.
Площадь круга равна произведению числа на квадрат радиуса. Найдём радиус. Из центра проведём радиус . В треугольнике сторона — гипотенуза, катеты равны 1 и 2 (см. рис. 2).
Рис.2
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.
Площадь круга
Ответ: 5.
Задача 2. На клетчатой бумаге нарисовано два круга (см. рис. 3). Площадь внутреннего круга равна 3. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Рис.3
Решение.
Радиус внутреннего круга — 3 клетки, его площадь равна . Радиус внешнего круга — 6 клеток, то есть , поэтому его площадь равна Площадь заштрихованной фигуры равна разности 12 — 3 = 9.
Ответ: 9.
Площадь сектора с углом градусов равна
Задача 3. Найдите площадь сектора с углом 18 градусов и радиусом 4. В ответе укажите .
Решение.
Посчитаем площадь сектора по формуле
Ответ: 0,8.
Задача 4. Найдите площадь заштрихованного сектора, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 4). В ответе укажите .
Рис.4
Решение.
На рисунке 4A) площадь круга с радиусом = 2 равна
На рисунке 4В) площадь сектора составляет от площади круга (если круг разделить на 4 равные части, то одна из них как раз и будет равна заданному сектору), то есть
Можно было решать задачу по-другому. Площадь сектора равна площади круга, делённой на 4.
Ответ: 1.
Задача 5. Найдите площадь заштрихованных секторов на рисунках C и D, считая стороны клеток равными 1 (см. рис. 5).
Рис.5
В ответе укажите .
Решение. Посчитаем, какая часть круга закрашена. Проведя дополнительные линии (см. рис. 6), видим, что сектор на рисунке 6C) составляет – часть круга, а сектор на рисунке 6D) составляет
частей круга (круг разделён на 8 равных частей, и закрашено 5 таких частей).
Находим площади секторов на рисунках 6C) и 6D).
Рис.6
1-й способ.
Поделим площадь круга на 8, получим площадь сектора на рисунке 6C), потом умножим эту площадь на 5, получим площадь сектора на рисунке 6D).
Ответ: 0,5 и 2,5.
2-й способ. Найдём площадь круга.
Ответ: 0,5 и 2,5.
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Сайты, меню, вход, новости
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 77?
Спрятать решение
Решение.
Заметим, что сектор (незаштрихованная область) отсекает угол в 45 градусов. Поэтому площадь сектора равна от площади круга. Следовательно, площадь круга равна
Ответ: 88.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
объясните пожалуйста как найти площадь круга, если известна площадь сектора, условия см. ниже
Ляля
Знаток
(302),
закрыт
10 лет назад
Условие: Площадь закрашенного сектора, изображенного на бумаге равна 9. Найдите площадь круга.
Я знаю ответ: 12. Я знаю что площадь круга равна пи*r^2. В данном случае я не знаю, как определить радиус, а значит и как найти площадь круга. Подскажите пожалуйста, как решить эту задачу.
Екатерина
Мастер
(2233)
10 лет назад
Вот 3 способа- выбирайте любой:
1)а можно просто разделить кружок на 8 одинаковых частей. В сектор входит 6, его площадь 9. на одну часть приходится 9/6. а весь кружок 9/6*8=12. Вообще без формул и каких-либо правил)
2)Ну а можно так как вам уже подсказали.
3)Или воспользовавшись формулой:
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле
(пr^2/380) *α
r – радиус круга, а α – градусная мера соответствующего центрального угла. угол =270, сами даже посчитайте 180+45+45=270 и по формуле радиус равен sqrt(12/п) и площадь круга равна пr^2 = п*12/п=12
НатУша
Искусственный Интеллект
(198235)
10 лет назад
Не надо искать радиус.
Надо обратить внимание на то, как закрашен сектор. Незакрашенная часть —1/4 круга. Угол равен 90 градусов!!! !
Линии (радиусы ) проходят по диагоналям клеточек !
Закрашенная часть 3/4. Это 9
Площадь 1/4 в три раза меньше. Площадь 1/4 = 3
9 + 3 = 12
Здравствуйте, друзья! В состав ЕГЭ по математике входят задачи связанные с нахождением площади круга или его частей (сектора, кольцевых элементов). Фигура задаётся на листе в клетку. В одних задачах масштаб клетки задаётся 1×1 сантиметр, в других он не оговаривается – даётся площадь элемента круга или самого круга.
Задания неглубокие, необходимо помнить формулу площади круга, уметь визуально (по клеткам) определить радиус круга, какую долю от круга составляет выделенный сектор. Кстати, на блоге имеется статья о площади сектора. Её содержание к решению представленных ниже задач отношения не имеет, но для тех, кто хочет вспомнить формулу площади круга и площади сектора будет весьма полезна. Рассмотрим задачи (взяты из открытого банка заданий):
Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.
Для того, чтобы площадь фигуры (кольца) необходимо из площади круга радиусом равным 2 вычесть площадь круга с радиусом 1. Формула площади круга:
Значит,
Разделим результат на число Пи и запишем ответ.
Ответ: 3
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Площадь заштрихованной фигуры можно найти вычислив разность между площадью большего круга и площадью меньшего. Определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Пусть радиус меньшего равен R, тогда его площадь равна:
Радиус большего круга в два раза больше (видно по клеткам). Значит, его площадь равна:
Получили, что его площадь в 4 раза больше.
Следовательно, она равна 51∙4 = 204 см2
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 204 – 51 = 153 см2.
*Второй способ. Можно было вычислить радиус малого круга, затем определить радиус большего. Далее найти площадь большего и вычислить площадь искомой фигуры.
На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Данная задача по ходу решения практически не отличается от предыдущей, разница состоит лишь в том, что круги имеют разные центры.
Несмотря на то, что видно, что радиус большего круга в 2 раза больше радиуса меньшего, советую вам обозначить размер клетки переменной х (икс).
Так же, как и в предыдущей задаче, определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга, так как его радиус равен 3х:
Выразим площадь большего круга, так как его радиус равен 6х:
Как видно, площадь большего круга в 4 раза больше.
Следовательно, она равна 1∙4 = 4 см2
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 4 – 1 = 3 см2.
Ответ: 3
На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Обозначим размер клетки переменной х (икс).
Определим во сколько раз площадь большего круга отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга. Так как его радиус равен 3∙х, то
Выразим площадь большего круга. Так как его радиус равен 4∙х, то
Разделим площадь большего на площадь меньшего:
То есть, площадь большего круга в 16/9 раза больше площади меньшего, следовательно, она равна:
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 16 – 9 = 7 см2.
*Второй способ.
Вычислим радиус меньшего круга. Его площадь равна 9, значит,
Найдём размер клетки и затем сможем определить радиус большего круга. Размер клетки равен:
Так как радиус большего круга соответствует 4 клеткам, то его радиус будет равен:
Определяем площадь большего круга:
Находим разность: 16 – 9 = 7 см2
Ответ: 7
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.
В этой задаче очевидно, что заштрихованная часть составляет половину от площади всего круга, то есть равна 24.
Ответ: 24
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?
По рисунку видно, что площадь сектора составляет треть от площади круга. Значит, площадь круга будет равна 32∙3 = 96.
Ответ: 96
Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.
Посмотреть решение
Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/л.
Посмотреть решение
Небольшой итог.
В задачах связанных с площадью сектора круга необходимо уметь определять какую долю он составляет от площади круга. Это сделать не сложно, так как в подобных задачах центральный угол сектора кратен 30 либо 45.
В задачах связанных с нахождением площадей кольцевых элементов есть разные пути для решения, оба показаны в решённых заданиях. Способ, в котором размер клетки обозначается через переменную х, и затем определяются радиусы более универсален.
Но самое главное – не запоминать эти способы. Можно найти и третий и четвёртый путь решения. Главное – это знать формулу площади круга и уметь логически рассуждать.
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, автор проекта Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.