Как найти площадь круга по закрашенному сектору

Рассмотрим задачи, в которых изображён круг на клетчатой бумаге и требуется по известной площади круга найти площадь заштрихованного сектора либо найти площадь круга по данному значению площади сектора.

Для решения обеих задач надо определить величину соответствующего ему центрального угла.

Градусная мера окружности — 360°. Зная центральный угол, найдем, какую часть площадь закрашенного сектора составляет от площади круга.

Самые простые задания этого вида — те, в которых центральный угол — прямой.  90° составляют четверть от 360°. Отсюда, для нахождения площади сектора площадь круга следует разделить на 4. И наоборот, для нахождения площади круга по известной площади сектора площадь сектора умножаем на 4.

Стороны прямого угла, чаще всего, либо проведены по клеточкам (одна сторона — горизонтально, другая — вертикально), либо делят каждую клеточку по диагонали (как диагональ квадрата).

Определить прямой угол можно даже с помощью листа бумаги (приложив его к центру круга).

1) На клетчатой бумаге изображён круг площадью 60.

Найти площадь заштрихованного сектора.

Решение:

Так как центральный угол, соответствующий данному сектору, равен 90º, то

S_{сектора}=S_круга:4=60:4=15.

Обратная задача.

2) На клетчатой бумаге изображён круг.

Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 17?

Решение:

Так как стороны угла делят каждую клеточку по диагонали, образуя с горизонтальной прямой, проходящей из вершины угла, углы по 45°, то центральный угол равен 90º.

Следовательно, площадь сектора составляет 1/4 от площади круга: S_круга=S_{сектора}:(1/4)=17·4=68.

3) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 21.

Решение:

Площадь заштрихованного сектора составляет 3/4 площади круга.

Следовательно, чтобы найти площадь круга, надо площадь сектора разделить на 3/4:

S_круга=S_{сектора}:(3/4)=21: (3/4)=21·4:3=28.

4) Какова площадь круга если известно, что площадь закрашенного сектора равна 11?

Решение:

Соответствующий центральный угол равен 45° (одно сторона угла проведена по горизонтали, другая делит каждую клеточку по диагонали (является диагональю квадрата).

Так как 45° составляет от 360° 1/8 часть, то

S_круга=S_{сектора}:(1/8)=11: (1/8)=11·8=88.

5) На клетчатой бумаге изображен круг площадью 96.

Найдите площадь заштрихованного сектора.

Решение:

Центральный угол, соответствующий незакрашенной части, равен 45°, то есть составляет 1/8 площади круга.

S_{незакрашенного сектора}=S_круга:8=96:8=12.

S_{закрашенного сектора}=S_{незакрашенного сектора}-S_круга=96-12=84.

А как определить на клетчатой бумаге центральные углы в 60° и 30°?

Можно рассуждать следующим образом.

Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BH — его высота и медиана, то ABC — равнобедренный с основанием AO. Значит, AB=BO.

Но AO=BO (как радиусы).

Следовательно, AB=BO=AO, то есть треугольник ABC — равносторонний. Следовательно, все его углы равны по 60°, в частности, ∠AOB=60°.

∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°.

6) Найти площадь заштрихованного сектора, если площадь круга равна 30.

Решение:

Соответствующий центральный угол равен 60°. Значит, площадь сектора составляет 1/6 от площади круга и S_{сектора}=S_круга:6=30:6=5.

7) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 24.

Решение:

Так как центральный угол заштрихованного сектора равен 30°, то площадь сектора составляет 1/12 часть от площади круга.

S_круга=S_{сектора}:(1/12)=24: (1/12)=24·12=288.

8) Найти площадь круга, изображенного на клетчатой бумаге, если площадь заштрихованного сектора равна 60.

Решение:

Центральный угол, соответствующий незакрашенному сектору, равен 60°. Значит, площадь незакрашенной части составляет 1/6 площади круга.

Следовательно, на площадь закрашенной части приходится 5/6 круга:

S_круга=S_{сектора}:(5/6)=60: (5/6)=60·6:5=72°.

В некоторых случаях центральный угол можно найти как сумму или разность других центральных углов.

9) Центральный угол равен 30+45=75°,

площадь заштрихованного сектора составляет

1/12+1/8=5/24 площади круга, то есть

S_{сектора}=S_круга·(5/24)=S_круга:24·5,

S_круга=S_{сектора}:(5/24)=S_круга: 5·24.

10) Центральный угол равен 180-30=150°,

площадь заштрихованного сектора составляет 1/2-1/12=5/12 площади круга,

S_{сектора}=S_круга·(5/12),

S_круга=S_{сектора}:(5/12).

11) Центральный угол равен 60-45=15°,

площадь заштрихованного сектора составляет 1/24 площади круга

и т.д.

12) Центральный угол равен 15+90=105°

(либо 180-30-45=105°),

площадь заштрихованного сектора составляет

1/24+1/4=7/24 и т.д.

20 октября 2011

Окружности требуют более аккуратного подхода и встречаются в заданиях B5 гораздо реже. Вместе с тем, общая схема решения даже проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»).

Все, что требуется в таких заданиях — это найти радиус окружности R. Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR². Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R².

Чтобы найти указанные величины, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А затем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры вычисления радиуса:

Задача. Найти радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

Выполним дополнительные построения в каждой окружности:

В каждом случае точка B выбрана на окружности таким образом, чтобы лежать на пересечении линий сетки. Точка C в окружностях 1 и 3 дополняют фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R² = AB² = AC² + BC² = 2² + 2² = 8.

Для второй окружности все очевидно: R = AB = 2.

Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R² = AB² = AC² + BC² = 1² + 2² = 5.

Теперь мы знаем, как искать радиус окружности (или хотя бы его квадрат). А следовательно, можем найти площадь. Встречаются задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всего круга. В таких случаях легко выяснить, какую часть круга составляет этот сектор, и таким образом найти площадь.

Задача. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S/π.

Очевидно, сектор составляет одну четверть круга. Следовательно, S = 0,25 · S_круга.

Остается найти S_круга — площадь круга. Для этого выполним дополнительное построение:

Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R² = AB² = AC² + BC² = 2² + 2² = 8.

Теперь находим площади круга и сектора: S_круга = πR² = 8π; S = 0,25 · S_круга = 2π.

Наконец, искомая величина равна S/π = 2.

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010—2011 годах не было. По условию, нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого и требуется найти.

Хорошая новость состоит в том, что подобные задачи — самые легкие из всех задач на площади, которые бывают в ЕГЭ по математике. К тому же, круг и сектор всегда помещается на координатную сетку. Поэтому, чтобы научиться решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

Пусть исходный круг имеет площадь S_круга = 80. Тогда его можно разделить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. 2 шаг). Аналогично, каждый из этих секторов-«половинок» можно снова разделить пополам — получим четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. 3 шаг). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получим 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из этих «ошметков» составит S = 10.

Обратите внимание: более мелкого разбиения ни в одной задаче ЕГЭ по математике нет! Таким образом, алгоритм решения задачи B-3 следующий:

1. Разрезать исходный круг на 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 часть площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь S_круга = 240, то «ошметки» имеют площадь S = 240 : 8 = 30;
2. Выяснить, сколько «ошметков» помещается в исходном секторе, площадь которого требуется найти. Например, если в нашем секторе помещается 3 «ошметка» площадью 30, то площадь искомого сектора равна S = 3 · 30 = 90. Это и будет ответ.

Вот и все! Задача решается практически устно. Если все равно что-то непонятно, купите пиццу и порежьте ее на 8 кусков. Каждый такой кусок будет тем самым сектором-«ошметком», которые можно объединить в более крупные куски.

А теперь разберем примеры из пробного ЕГЭ:

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый площадью S = 40 : 5 = 8. Получим:

Очевидно, закрашенный сектор состоит ровно из двух секторов-«ошметков». Следовательно, его площадь равна 2 · 5 = 10. Вот и все решение!

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Снова разделим весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного их них как раз и требуется найти. Следовательно, его площадь равна S = 64 : 8 = 8.

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 48. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Опять разделим круг на 8 равных секторов. Площадь каждого из них равна S = 48 : 8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«ошметка» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3 · 6 = 18.

Смотрите также:

1. Задача B5: площадь сектора
2. Задача B5: площадь закрашенного сектора
3. Сложение и вычитание дробей
4. Не пишите единицы измерения в задаче B12
5. Как решать простейшие логарифмические уравнения
6. Задача B4: строительные бригады

Сайты, меню, вход, новости

Задачи на клетчатой бумаге интересны тем, что можно их решать различными способами – и через дополнительное построение, и через различные геометрические формулы. Так как задач таких сейчас полно в сети, ещё раз обозначу себе картинкой условие:

У нас нет ничего в условии кроме длины клетки, равной 1/√π

Как найти площадь?

Например, по такой формуле, где альфа – размер угла.

Но у нас нет ни угла, ни радиуса.

Значит, находим радиус. На глаз тут 4,5 клетки, но мы будем точнее, если нарисуем вот такой треугольник прямоугольник, в котором радиус будет гипотенузой и через теорему Пифагора его найдём.

(4/√π)2 + (2/√π)2 = 16/π+4/π = √(20/π)

Как найти угол? Если разделить всю окружность на 4 части, то видно, что закрашенная часть составит целую четверть и ещё её половинку. То бишь, 1/4+0,5Х1/4 Это не что иное как 3/8

Теперь считаем угол: 360Х3/8=135 градусов.

Теперь, когда у нас есть все данные, подставляем в формулу.

S=135/360 Х π Х (√(20/π))2

Квадрат и корень квадратный сокращаются, получаем 135/360 Х π Х 20/π

Следом сокращается и п, остаётся 135/360 Х 20/1 = 135/18 = 7,5

Поскольку площадь измеряется в квадратных сантиметрах в нашей задаче, то и ответ будет 7,5 кв.см