Решение:
Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.
Найдем площадь голубого сегмента.
Для этого нужно посмотреть на окружность с центром ( displaystyle {{O}_{1}}).
( displaystyle Delta A{{O}_{1}}B) — правильный ( displaystyle quad Rightarrow angle A{{O}_{1}}B=frac{pi }{3},, ({{60}^{circ }})).
Значит,
( displaystyle {{S}_{голубого, сегм.}}=frac{pi }{6}cdot {{2}^{2}}-frac{{2}^{2}sqrt{3}}{4} )
(это по формуле ( displaystyle {{S}_{сегм.}}={{S}_{сектора}}-{{S}_{Delta A{{O}_{1}}B}}) ).
Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».
Итак, ( displaystyle {{S}_{голубого, сегм.}}=frac{2}{3}pi -sqrt{3})
( displaystyle {{S}_{красного, сегм.}}={{S}_{сектора A{{O}_{2}}B}}-{{S}_{Delta A{{O}_{2}}B}})
( displaystyle {{S}_{Delta A{{O}_{2}}B}}=frac{1}{2}{O}_{2}Kcdot AB)
( displaystyle {O}_{2}K=sqrt{A{O}_{2}^{2}-A{K}^{2}}=sqrt{16-1}=sqrt{15})
( displaystyle {{S}_{A{{O}_{2}}B}}=frac{1}{2}cdot sqrt{15}cdot 2=sqrt{15}.)
А вот найти ( displaystyle angle A{{O}_{2}}B) уже сложнее.
Придется применять теорему косинусов!
( displaystyle A{{B}^{2}}=A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-2A{{O}_{2}}cdot {{O}_{2}}Bcdot cos angle A{{O}_{2}}B.)
( displaystyle cos angle A{{O}_{2}}B=frac{A{{O}_{2}}^{2}+{{O}_{2}}{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2A{{O}_{2}}cdot {{O}_{2}}B}=frac{16+16-4}{2cdot 16}=frac{7}{8}.)
( displaystyle Rightarrow angle A{{O}_{2}}B=arccos frac{7}{8}.)
Подставляем:
( displaystyle {{S}_{кр.}}=frac{arccos frac{7}{8}}{2}cdot {{4}^{2}}-sqrt{15}=8cdot arccos frac{7}{8}-sqrt{15})
И теперь
( displaystyle S={{S}_{гол.}}+{{S}_{кр.}}=frac{2}{3}cdot pi +8cdot arccos frac{7}{8}-sqrt{3}-sqrt{15}.)
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Перед вами вебинары, связанные с окружностями и 16 заданием ЕГЭ.
ЕГЭ 16 математика. Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года
Метод вспомогательной окружности — это очень классный метод, но, к сожалению, он не всегда очевиден.
Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!
Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы — те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.
Это очень крутой и удобный метод — но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.
ЕГЭ 16 Планиметрия Статград март 2021
Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.
Скучно… Раз-два, и ответ готов!
Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…
На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)
Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!
ЕГЭ 16. Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020
Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?
Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.
Иногда вписанные. Иногда описанные. С разными вписанными или описанными фигурами. Иногда одна окружность . Иногда две. Они касаются друг друга или пересекаются друг с другом.
Никуда не деться от окружностей — остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!
В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?
Нет! Пойдём дальше — разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.
Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче).
Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники. Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.
Круг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.
Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..
Это интересно: Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.
Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:
Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.
Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.
Существует формула площади круга через диаметр. Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения площади треугольника по площади описанной окружности.
Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.
Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:
Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.
Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.
Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности: 
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности
Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:
Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.
Площадь круга описанного вокруг квадрата
Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.
Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: 
отсюда 
.
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: 
.
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата: 
Рассмотрим пример расчета площади круга, описанного вокруг квадрата.
Задача: дан квадрат, вписанный в круг. Его сторона a = 4 см. Найдите площадь окружности.
Для начала рассчитаем длину диагонали d.
Теперь подставляем данные в формулу
Зная несколько простых правил и теорему Пифагора, мы смогли рассчитать площадь описанной вокруг квадрата окружности.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Некоторые учащиеся не понимают, как найти площадь круга по исходным данным. Для начала нужно запомнить формулу, по которой вычисляется площадь круга: 
. Формула проста: чтобы найти площадь круга, нужно знать только его радиус. Но нужно уметь преобразовывать другие исходные величины, чтобы воспользоваться этой формулой.
-
1
Найдите радиус круга. Радиус – это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой внешней окружности круга. Радиус можно измерить в любом направлении: он будет одним и тем же. Радиус также равен половине диаметра круга. Диаметр – это отрезок, который проходит через центр круга и соединяет две точки внешней окружности круга.[1]
- Как правило, значение радиуса дано в условиях задачи. Довольно трудно найти точный центр круга, если только он не обозначен на круге, который нарисован на бумаге.
- Например, радиус круга равен 6 см.
-
2
Возведите радиус в квадрат. Формула для вычисления площади круга:
, где – радиус, который возведен во вторую степень (в квадрат).[2]
-
3
Полученный результат умножьте на число Пи. Это число обозначается греческой буквой
и представляет собой математическую константу, которая характеризует взаимосвязь радиуса и площади круга. Число Пи приблизительно равно 3,14. Точное значение числа Пи включает бесконечное количество цифр. Иногда ответ (площадь круга) записывается с постоянной .[3]
- В нашем примере (r = 6 см) площадь вычисляется так:
-
4
Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. Если радиус дан в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах. Если радиус дан в миллиметрах, площадь измеряется в квадратных миллиметрах. Уточните у преподавателя, нужно ли представить ответ с постоянной
или в числовой форме, используя приблизительное значение числа Пи. Если требование не ясно, запишите оба варианта ответа.[4]
- В нашем примере (r = 6 см) S = 36 см2 или S = 113,04 см2.
Реклама
- В нашем примере (r = 6 см) S = 36
-
1
Измерьте или запишите диаметр. В некоторых задачах радиус не дан. Вместо радиуса указывается диаметр. Если диаметр нарисован на бумаге, измерьте его с помощью линейки. Скорее всего, числовое значение диаметра будет задано.
- Например, диаметр круга равен 20 мм.
-
2
Разделите диаметр пополам. Помните, что диаметр равен удвоенному радиусу. Поэтому разделите любое значение диаметра на 2, чтобы найти радиус.
- Таким образом, если диаметр круга равен 20 мм, то радиус круга равен 20/2 = 10 мм.
-
3
-
4
Запишите ответ. Помните, что площадь измеряется в квадратных единицах. В нашем примере диаметр дан в миллиметрах, поэтому радиус тоже измеряется в миллиметрах, а площадь в квадратных миллиметрах. В нашем примере S =
мм2.
- Также ответ можно представить в численной форме, используя вместо приблизительное значение 3,14. В этом случае S = (100)(3,14) = 314 мм2.
Реклама
- Также ответ можно представить в численной форме, используя вместо
-
1
Запишите преобразованную формулу. Если известна длина окружности круга, можно воспользоваться преобразованной формулой для вычисления его площади. Такая формула включает длину окружности, а не радиус, и записывается так:
-
2
Измерьте или запишите длину окружности. В некоторых ситуациях нельзя точно измерить диаметр или радиус. Если диаметр не нарисован или центр не отмечен, очень сложно найти точный центр круга. Длину окружности некоторых предметов (например, сковороды) довольно легко измерить с помощью рулетки, то есть можно найти более точное значение длины окружности, чем диаметра.[5]
- Например, длина окружности круга (или круглого предмета) равна 42 см.
-
3
-
4
Запишите формулу для вычисления площади круга. Запишите преобразованную формулу на основе соотношения между длиной окружности и радиусом. Подставьте последнее равенство в стандартную формулу для вычисления площади круга:[7]
-
5
Воспользуйтесь преобразованной формулой, чтобы решить задачу. Теперь в формуле вместо радиуса присутствует длина окружности, поэтому можно вычислить площадь круга по известной длине окружности. Подставьте значение длины окружности и выполните вычисления следующим образом:[8]
-
6
Запишите ответ. Если длина окружности дана в виде числа, а не произведения числа и
, ответ можно записать с в знаменателе. Или вместо числа Пи подставьте его приблизительное значение (3,14).[9]
Реклама
-
1
Запишите известные величины. В некоторых задачах дана площадь сектора круга, по которой нужно найти площадь всего круга. Внимательно прочитайте такую задачу; ее условие может выглядеть так: «Площадь сектора круга равна 15
см2. Найдите площадь всего круга».[10]
-
2
Запомните определение сектора. Сектор круга – это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами. Пространство между такими радиусами и дугой называется сектором.[11]
-
3
Измерьте центральный угол сектора. Воспользуйтесь транспортиром, чтобы измерить угол между двумя радиусами. Линейку (прямолинейную шкалу) совместите с одним из радиусов, причем центр линейки должен совпадать с центром круга. Затем найдите величину угла; для этого посмотрите на точку пересечения второго радиуса с угломерной шкалой.[12]
- Не перепутайте внутренний и внешний угол между двумя радиусами. В задаче должно быть указано, с каким углом работать. Помните, что сумма внутреннего и внешнего углов равна 360 градусов.
- Во многих задачах центральный угол дан, то есть измерять его не нужно. Например, в задаче может быть сказано: «Центральный угол сектора равен 45 градусов»; если это не так, измерьте центральный угол.
-
4
Используйте преобразованную формулу для вычисления площади круга. Если известны площадь сектора и его центральный угол, используйте следующую преобразованную формулу, чтобы найти площадь круга: [13]
-
5
-
6
Запишите ответ. В нашем примере сектор составлял одну восьмую полного круга. Поэтому площадь полного круга равна 120
см2. Так как площадь сектора дана с постоянной , скорее всего, ответ тоже можно представить с этой постоянной.[15]
- Чтобы записать ответ в численной форме, умножьте 120 x 3,14 = 376,8 см2.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 265 096 раз.
Была ли эта статья полезной?
Прежде чем определится, как рассчитать площадь круга,
необходимо хорошо
усвоить и понять в чём разница между окружностью и кругом. Что
называется окружностью, а что подразумевают под словом круг.
Важно!
Замкнутая кривая (линия),
чьи точки лежат на
одинаковом расстоянии от одной точки её центра, называется
окружностью.
Окружность разбивает плоскость на две области:
внутреннюю и внешнюю.
Важно!
Та часть плоскости, которая лежит
внутри окружности (вместе с самой окружностью)
называется кругом.
Другими словами, для простоты понимания, следует запомнить:
- окружность — это замкнутая линия (
граница круга). - круг — это внутренняя область окружности.
- У окружности нельзя посчитать площадь!
А у круга найти площадь,
зная формулу,
достаточно легко.
Как найти площадь круга
Запомните!
Для расчета площади круга используется формула:
- S = πR2,
где R — радиус круга, - S = π
()2 =
π
=π
, где
D — диаметр круга, т.к.
R =
Как решать задачи на площадь круга
Теперь, зная, по какой формуле считается площадь круга,
решим задачи на
площадь круга.
Зубарева 6 класс. Номер 675(г)
Условие задачи:
Найдите площадь круга, радиус которого равен 1,2 см.
Воспользуемся формулой площади круга:
S = πR2 =
3,14 · 1,22 = 3,14 · 1,44 = 4,5216 см2
Обратите внимание, что площадь измеряется в квадратных единицах.
Всегда проверяйте свои ответы, правильно ли вы указали единицы
измерения.
Зубарева 6 класс. Номер 677(б)
Условие задачи:
Определите радиус круга, площадь которого равна 1,1304 см2.
Выразим из формулы радиус:
S = πR2
R = √
S /
π
= √ 1,1304 /
3,14 = √ 0,36 =
0,6 см
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Начнем с того, что определим окружность, как замкнутую плоскую кривую, состоящую из всех точек на плоскости, которые равноудалены от заданной точки. Эта заданная точка является центром окружности. Прямой отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет 2 точки на ее границе, называется диаметром. А радиусом будет являться прямой отрезок, которые соединяем точку на границе окружности и ее центр.
Так как окружность – это граница круга, то длина окружности является частным случаем периметра.
Не каждый студент может себе позволить за семестр в ВУЗе отдать 100 000 ₽. Но круто, что есть гранты на учебу. Грант-на-вуз.рф – это возможность учиться на желанной специальности. По ссылке каждый получит бонус от 300 ₽ до 100 000 ₽ – грант-на-вуз.рф
Длина окружности круга
Множество точек удаленных от центра круга на расстояние, не превышающее радиус круга, называется кругом. Отношение длины любой окружности C к ее диаметру d всегда будет равно одному и тому же числу. Это число – всем известное число π («пи»), которое примерно равно 3,14. Так же, справедлива формула определения числа π, как отношение длины окружности C к двум ее радиусам r. Исходя из этого, выводится формула длины окружности C, которая равна произведения числа π и диаметра d окружности или 2-м ее радиусам r.
С=2πr
С= πd
π=C/d
Для примера решим простую задачу, где нужно найти длину окружности, у которой известен радиус r=2 см.
C= πd
d=2r=4 см
С=4*3,14=12,56
Подставляем известные данные в формулу длины окружности и получаем, что длина окружности примерно равна 12,56 см.
Площадь круга
Площадь круга S, как и длина окружности, вычисляется с помощью константы π и радиуса окружности r.
Так же можно получить значение площади S круга с помощью диаметра d.
Напоминаем про сервис грант-на-вуз.рф. Не упусти свой шанс изучать то, что тебе нравится. Ну или просто сэкономить на учебе. Ты точно получишь от 300 ₽ до 100 000 ₽, перейдя по ссылке грант-на-вуз.рф!
Пример вычисления: найти площадь круга, радиус которого равен 1 см.
Спасибо, что прочитали статью. Не забывайте про подписку на канал, а также рекомендую почитать канал наших друзей:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac — последние научные достижения и лучшие образовательные практики.
https://zen.yandex.ru/id/5e164c941febd400ae3b4705 — ЕВРОПЕЙСКОЕ ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ. Международная компания, оказывающая консультационные, сопроводительные и информационные услуги в сфере высшего образования в Европе. Официальный сайт – https://eurounis.com.
Хорошего дня и не болейте.
