Как найти площадь круга теорема - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Площадь круга с радиусом r равна $pi r^{2}$ . Здесь (греческая буква «пи») обозначает отношение длины окружности к её диаметру: π

Связанные понятия[править | править код]

Сектор круга (закрашен зелёным)
Сегмент круга (закрашен жёлтым)

Площадь сектора круга равна ${displaystyle S={frac {theta r^{2}}{2}}}$ , где theta — угловая величина дуги сектора в радианах^[1].

Площадь сегмента круга равна ${displaystyle S={frac {1}{2}}r^{2}(theta -sin theta )}$ , где — угол в радианах^[1]

История[править | править код]

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Гиппократ Хиосский (в своих попытках квадрирования гиппократовых луночек) первым сформулировал утверждение: площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение^[2]^[3]. Однако они не установили значения коэффициента пропорциональности.

Античные математики также безуспешно пытались решить задачу «квадратуры круга», то есть построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед и другие; неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа , которая была доказана в 1882 году Линдеманом^[4].

Архимед в III веке до н. э. использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать в своей книге «Измерение круга^[en]», что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу окружности. В современных обозначениях, длина окружности равна 2pi r , а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, что даёт ${displaystyle pi r^{2}.}$ Архимед уточнил значение числа :

$3{frac {10}{71}}<pi <3{frac {1}{7}}$

Для доказательства Архимед построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон (см. ниже).

Круг, развёрнутый в треугольник

Средневековые европейские математики использовали для обоснования формулы площади круга метод неделимых. Представим себе разворачивание концентричных кругов бесконечно малой толщины в отрезки, получим прямоугольный треугольник с высотой r и основанием 2pi r (основание получается из внешней окружности круга). Вычисление площади треугольника даст площадь круга:

Площадь =

основание

высота = ${displaystyle {1 over 2}cdot 2pi rcdot r<=pi r^{2}}$

Доказательства[править | править код]

Предельный переход[править | править код]

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к кругу, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус^[5], то есть ${displaystyle pi cdot rcdot r=pi r^{2}}$ .

Доказательство Архимеда[править | править код]

Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.

Не больше[править | править код]

Круг с вписанными квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = ¹⁄₂cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем^[en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G₄ больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G₈. Продолжаем деление, пока общий зазор G_n не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника P_n = C − G_n должна быть больше площади треугольника.

${begin{aligned}E&{}=C-T\&{}>G_{n}\P_{n}&{}=C-G_{n}\&{}>C-E\P_{n}&{}>Tend{aligned}}$

Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт ¹⁄₂nhs. Но h < r и ns < c, так что площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника ¹⁄₂cr, получили противоречие.

Не меньше[править | править код]

Окружность с описанным квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G₄ больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника P_n должна быть меньше T.

${begin{aligned}D&{}=T-C\&{}>G_{n}\P_{n}&{}=C+G_{n}\&{}<C+D\P_{n}&{}<Tend{aligned}}$

Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.

Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.

Доказательство перегруппировкой[править | править код]

Площадь круга после перегруппировки

Следуя Сато Мошуну ^[6] и Леонардо да Винчи ^[7], мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной πr и высотой r.

Приближения площади круга единичного радиуса перегруппировкой треугольников.

многоугольник
n	сторона	основание	высота	площадь
4	1,4142136	2,8284271	0,7071068	2,0000000
6	1,0000000	3,0000000	0,8660254	2,5980762
8	0,7653669	3,0614675	0,9238795	2,8284271
10	0,6180340	3,0901699	0,9510565	2,9389263
12	0,5176381	3,1058285	0,9659258	3,0000000
14	0,4450419	3,1152931	0,9749279	3,0371862
16	0,3901806	3,1214452	0,9807853	3,0614675
96	0,0654382	3,1410320	0,9994646	3,1393502
∞	1/∞	π	1	π

Интегрирование[править | править код]

Площадь круга путём интегрирования

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2πt dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

${begin{aligned}mathrm {Area} (r)&{}=int _{0}^{r}2pi t,dt\&{}=left[(2pi ){frac {t^{2}}{2}}right]_{t=0}^{r}\&{}=pi r^{2}.end{aligned}}$

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

${begin{aligned}mathrm {Area} (r)&{}=int _{0}^{2pi r}{frac {1}{2}}r,dt\&{}=left[{frac {1}{2}}rtright]_{t=0}^{2pi r}\&{}=pi r^{2}.end{aligned}}$

Быстрая аппроксимация[править | править код]

Для применения формулы площади круга необходимо знать с нужной точностью значение числа . Вычисления, проведённые Архимедом, были трудоёмкими, и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Снелла (1621), позднее развитые Гюйгенсом (1654) ^[8].

Метод удвоения Архимеда[править | править код]

Если задан круг, пусть u_n будет периметром вписанного правильного n-угольника, а U_n — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда u_n и U_n являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (u_n + U_n)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить u_n и U_n для больших n, Архимед вывел следующие формулы:

$u_{2n}={sqrt {U_{2n}u_{n}}}$

(среднее геометрическое)

$U_{2n}={frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}$

(среднее гармоническое).

Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.

В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше).
Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u₆ = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U₆ = 4√3.
Удваиваем семь раз, получаем

Удвоения Архимеда семь раз; n = 6×2^k.

k	n	u_n	U_n	(u_n + U_n)/4
0	6	6,0000000	6,9282032	3,2320508
1	12	6,2116571	6,4307806	3,1606094
2	24	6,2652572	6,3193199	3,1461443
3	48	6,2787004	6,2921724	3,1427182
4	96	6,2820639	6,2854292	3,1418733
5	192	6,2829049	6,2837461	3,1416628
6	384	6,2831152	6,2833255	3,1416102
7	768	6,2831678	6,2832204	3,1415970

(здесь (u_n + U_n)/2 аппроксимирует длину единичной окружности, которая равна 2π, так что (u_n + U_n)/4 аппроксимирует π)

Последняя строка таблицы содержит число, близкое к ³⁵⁵⁄₁₁₃ — отличному рациональному приближению числа π; лучшие приближения имеют знаменатели на несколько порядков больше^[9].

Улучшение Снелла-Гюйгенса[править | править код]

Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:

$n{frac {3sin {frac {pi }{n}}}{2+cos {frac {pi }{n}}}}<pi <n[2sin {frac {pi }{3n}}+tan {frac {pi }{3n}}].$

Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Развитие формулы удваивания Архимеда[править | править код]

Круг с подобными треугольниками, описанным, вписанным и дополнительным

Пусть одна сторона вписанного правильного n-угольника имеет длину s_n и пусть точки A и B — её концы. Пусть A′ — противоположная A точка на окружности, так что A′A является диаметром, а A′AB является вписанным треугольником, опирающимся на этот диаметр. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным (угол B прямой). Пусть длина A′B равна c_n и эту длину будем называть дополнением s_n. Тогда c_n²+s_n² = (2r)². Пусть точка C делит дугу AB пополам, и пусть C′ является противоположной C точкой окружности. Тогда длина CA равна s_2n, длина C′A равна c_2n, а C′CA снова является прямоугольным треугольником, опирающимся на диаметр C′C. Поскольку C делит дугу AB пополам, диаметр C′C перпендикулярен хорде AB, которую он пересекает, скажем, в точке P. Треугольник C′AP тогда прямоуголен и подобен C′CA, поскольку у них общий угол C′. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. В частности, мы имеем C′A : C′C = C′P : C′A и AP : C′A = CA : C′C. Центр окружности O делит A′A пополам, так что треугольник OAP подобен A′AB и длина OP равна половине длины A′B. В результате получаем

${begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=left(r+{frac {1}{2}}c_{n}right)2r\c_{2n}&{}={frac {s_{n}}{s_{2n}}}.end{aligned}}$

В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+¹⁄₂c_n, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена

${displaystyle c_{2n}={sqrt {2+c_{n}}}.}$

Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону S_n, тогда отношение превращается в S_n : s_n = 1 : ¹⁄₂c_n. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем

${displaystyle c_{n}=2{frac {s_{n}}{S_{n}}}.}$

Обозначим периметр вписанного многоугольника через u_n = ns_n, а описанного через U_n = nS_n. Комбинируя равенства, получим

$c_{2n}={frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{frac {s_{2n}}{S_{2n}}},$

так что

${displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.}$

Получили среднее геометрическое.

Можно также вывести

$2{frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{frac {s_{n}}{S_{n}}},$

или

${frac {2}{U_{2n}}}={frac {1}{u_{n}}}+{frac {1}{U_{n}}}.$

Получили среднее гармоническое.

Аппроксимация случайными бросаниями[править | править код]

Площадь единичного круга методами Монте-Карло. После 900 бросаний получаем 4×⁷⁰⁹⁄₉₀₀ = 3,15111…

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно распространяются по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10⁻ⁿ необходимо около 100ⁿ случайных испытаний ^[10].

Конечная перегруппировка[править | править код]

Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем ^[11], что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Сам вопрос о таком конечном разбиении носит название «Квадратура круга Тарского».

Обобщения[править | править код]

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Справочник по элементарной математике, 2006, с. 342.
↑ Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 204. — 456 с.
↑ История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — С. 102.
↑ Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — С. 144—168. — 320 с.
↑ Hill, George. Лекции по геометрии для начинающих Архивная копия от 7 января 2014 на Wayback Machine, страница 124 (1894).
↑ Smith, Mikami, 1914.
↑ Beckmann, 1976.
↑ Gerretsen, Verdenduin, 1983.
↑ Не все лучшие рациональные приближения сводятся к непрерывным дробям! Дата обращения: 14 января 2015. Архивировано 28 августа 2014 года.
↑ Thijsse, 2006.
↑ Laczkovich, 1990.

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
Archimedes в переводе Томаса Хита. The Works of Archimedes. — Dover, c. 260 BCE, год публикации 2002. — С. 91–93. — ISBN 978-0-486-42084-4.
Petr Beckmann. A History of Pi. — St. Martin’s Griffin, 1976. — ISBN 978-0-312-38185-1.
J. Gerretsen, P. Verdenduin. Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. — MIT Press, 1983. — С. 243–250. — ISBN 978-0-262-52094-2.
Serge Lang. Math! : Encounters with High School Students. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 978-0-387-96129-3.
Miklós Laczkovich. Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski’s circle squaring problem // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1990. — Т. 404. — С. 77–117.
David Eugene Smith, Yoshio Mikami. A history of Japanese mathematics. — Chicago: Open Court Publishing, 1914. — С. 130–132. — ISBN 978-0-87548-170-8.
J. M.Thijsse. Computational Physics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 273. — ISBN 978-0-521-57588-1.

Ссылки[править | править код]

Area of a Circle Calculator
Area enclosed by a circle Архивная копия от 4 декабря 2008 на Wayback Machine (with interactive animation)
Science News on Tarski problem Архивная копия от 13 апреля 2008 на Wayback Machine

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления площади круга

Формула

Чтобы найти площадь круга (рис. 1), надо найти произведение числа
на квадрат радиуса этого круга, то есть

$$mathrm{S}_{k p}=pi R^{2}$$

Напомним, что число $pi approx 3,1415926535 ldots$, а
радиусом круга называется отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой ограничивающей его окружности.

Примеры вычисления площади круга

Пример

Задание. Найти площадь круга, если известно, что его радиус равен 3 м.

Решение. Площадь круга вычисляется по формуле:

$$mathrm{S}_{k p}=pi R^{2}$$

Подставляя в эту формулу значение радиуса $R=3$ м, получаем:

$mathrm{S}_{k p}=pi cdot 3^{2}=9 pi$ (м²)

Ответ. $mathrm{S}_{k p}=9 pi$ (м²)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Чему равна площадь круга, если его диаметр равен 4 см?

Решение. Площадь круга найдем по формуле:

$$mathrm{S}_{k p}=pi R^{2}$$

Известно, что радиус круга связан с его диаметром соотношением:

$$d=2R$$

А тогда искомая площадь

$R=frac{d}{2}=frac{4}{2}=2$ (см²)

Ответ. $R=frac{d}{2}=2$ (см²)

Читать дальше: как найти площадь квадрата.

Источник

math-public:dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga

Содержание

Длина окружности. Площадь круга

Определение

Длина окружности – это предел, к которому стремится периметр
правильного вписанного в окружность многоугольника при
неограниченном увеличении числа его сторон.

Определение

Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и
вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломанной и чем чаще
располагаются вершины ломанной на данной кривой.

Теорема

Длина окружности пропорциональна ее радиусу, то есть отношение длины
окружности к ее радиусу не зависит от окружности.

Доказательство

Пусть $C$ и $C’$ – длины окружностей радиусов $R$ и $R’$.

Впишем в каждую из них правильный $n$-угольник и обозначим через $P_n$ и $P’_n$ их периметры.

По следствию имеем $frac{P_n}{P’_n}=frac{2R}{2R’}$.

Это равенство справедливо при любом значении $n$.

Будем теперь неограниченно увеличивать число $n$.

Так как $P_nrightarrow C$, $P’_nrightarrow C’$ при $nrightarrowinfty$, то $dfrac{P_n}{P’_n}=dfrac{C}{C’}$.

Тогда в силу равенства $dfrac{C}{C’}=dfrac{2R}{2R’}$.

Из этого равенства следует, что $dfrac{C}{2R}=dfrac{C’}{2R’}$.

Определение

Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом $pi$.
То есть $dfrac{C}{2R}=pi$. Таким образом длина окружности вычисляется по формуле $C=2pi R$.

Теорема

Периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности
$F$, приближаются к длине окружности $F$.

Доказательство

Пусть правильный $n$-угольник $Q$ описан около окружности $F$ с радиусом $R$ и центром $O$.

Соединим отрезками точку $O$ с вершинами многоугольника $Q$.

Эти отрезки пересекут окружность $F$ в точках, которые являются вершинами правильного $n$-угольника $Q’$, вписанного в $F$. пусть сторона $AB$ $n$-угольника $Q$ касается окружности $F$ в точке $C$, а отрезки
$OA$ и $OB$ пересекают $F$ в точках $A’$ и $B’$.

Радиус $OC$ пересечёт отрезок $A’B’$ в середине – точке $C’$.

Отношение периметров $P$ и $P’$ правильных $n$-угольников $Q$ и $Q’$ равно отношению их сторон $AB$ и $A’B’$, то есть отношению их половин $dfrac{AC}{A’C’}$.

И так как $AC=Rtg{dfrac{180^circ}{n}}$ и $A’C’=Rsin{dfrac{180^circ}{n}}$, то
$dfrac{P}{P’}=dfrac{1}{cos{dfrac{180^circ}{n}}}$.

Поэтому $P=dfrac{P’}{cos{dfrac{180^circ}{n}}}$.

Когда число $n$ неограниченно увеличивается, $cos{dfrac{180^circ}{n}}$ приближается к $cos{0^circ}, $ то есть к $1$, а $P’$ – к длине окружности $F$, то есть к $2pi R$.

Следовательно, периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности $F$, как и периметры
вписанных $n$-угольников, приближаются к длине окружности $F$.

Теорема

Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в
$alpha^circ,$ равна $l_alpha=dfrac{2pi Ralpha}{360}$.

Доказательство

Так как длина всей окружности равна $2pi R$, то длина дуги в
$1^circ$ равна $dfrac{2pi R}{360}$.

Поэтому длина дуги, соответствующей центральному углу в $alpha^{circ}phantom{1}$ выражается формулой
$l_alpha=dfrac{2pi R}{360}cdotalpha$.

Теорема о площади круга

Площадь $S$ круга радиуса $R$ выражается формулой $S=pi R^2$.

Доказательство

Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2ldots A_n$, вписанный в
окружность, ограничивающую круг.

Очевидно, площадь $S$ данного круга больше площади $S_n$ многоугольника
$A_1A_2ldots A_n$, так как этот многоугольник целиком содержится в
данном круге.

С другой стороны, площадь $S’_n$ круга, вписанного в многоугольник, меньше $S_n$, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике.

Итак, $S’_n<S_n<S$.

Кроме того, $r_n=Rcos{dfrac{180^circ}{n}}$, где $r_n$ – радиус
вписанной в многоугольник окружности.

При $nrightarrow infty$ получим: $cos{dfrac{180^circ}{n}}rightarrow 1$, поэтому $r_nrightarrow R$.

Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон
многоугольника вписанная в него окружность «стремиться» к
описанной окружности, поэтому $S’_nrightarrow S$ при $nrightarrow
infty$.

Площадь вписанного многоугольника $S_n=dfrac{1}{2}P_nr_n$, где $P_n$ – периметр многоугольника $A_1A_2ldots A_n$.

Учитывая, что $r_nrightarrow R, P_nrightarrow 2pi R, S_nrightarrow S$ при
$nrightarrow infty$, получаем $S=dfrac{1}{2}2pi Rcdot R=pi
R^2$.

Следствие

Площадь сектора, соответствующего центральному углу в $alpha^circ$, выражается формулой $S_{alpha}=dfrac{pi R^2alpha}{360}$.
Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в $alpha^circ$, выражается формулой $S=dfrac{pi R^2alpha}{360}-dfrac{1}{2}R^2sin{alpha}$.

Доказательство

Докажем первый пункт.

Так как площадь всего круга равна $pi R^2$, то площадь сектора, ограниченного дугой в $1^circ$, равна $dfrac{pi R^2}{360}$.

Поэтому площадь $S_{alpha}$ сектора, ограниченного дугой в $alpha^circ$ равна $S_{alpha}=dfrac{pi R^2}{360}cdotalpha$.

Докажем второй пункт.

Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника $AOB$, таким образом
$S=S_{alpha}-S_{tri AOB}=dfrac{pi R^2alpha}{360}-dfrac{1}{2}R^2sin{alpha}.$

math-public/dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga.txt

· Последнее изменение: 2017/02/22 13:08 —

labreslav

Источник

Круг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно: Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

$S={pi}R^2$

Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.
$S={3,14}*4^2={3,14}*16=50,24$
Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр. Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения площади треугольника по площади описанной окружности.

$S={pi/4} d^2$

Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.
d=2R
d=2*4=8
Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:
$S={{3,14}/4 }*8^2=0,785*64=50,24$
Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности: R=l/2pi
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

$S=pi{(l/2pi)}^2=l^2/{4pi}$

Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:
$S={8^2}/{4*3,14}=64/{12,56}=5$
Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда $d=sqrt{2a^2}$ .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: R=d/2 .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата: $S=pi{R^2}$

Рассмотрим пример расчета площади круга, описанного вокруг квадрата.
Задача: дан квадрат, вписанный в круг. Его сторона a = 4 см. Найдите площадь окружности.
Для начала рассчитаем длину диагонали d.
$d=sqrt{2*{4^2} }=sqrt{2*16}=4sqrt{2}$

Теперь подставляем данные в формулу
$S=3,14*(2sqrt{2})^2=8*3,14=25,12$

Зная несколько простых правил и теорему Пифагора, мы смогли рассчитать площадь описанной вокруг квадрата окружности.

Источник

Прежде чем определится, как рассчитать площадь круга,
необходимо хорошо
усвоить и понять в чём разница между окружностью и кругом. Что
называется окружностью, а что подразумевают под словом круг.

Важно!

Замкнутая кривая (линия),
чьи точки лежат на
одинаковом расстоянии от одной точки её центра, называется
окружностью.

Окружность разбивает плоскость на две области:
внутреннюю и внешнюю.

Важно!

Та часть плоскости, которая лежит
внутри окружности (вместе с самой окружностью)
называется кругом.

Другими словами, для простоты понимания, следует запомнить:

окружность — это замкнутая линия (
граница круга).
круг — это внутренняя область окружности.
У окружности нельзя посчитать площадь!
А у круга найти площадь,
зная формулу,
достаточно легко.