Как найти площадь квадрата если его диагональ

Как найти площадь квадрата если его диагональ


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Наиболее распространенной формулой для вычисления площади квадрата является следующая: S = a2. Но иногда в задаче дана только диагональ квадрата, то есть отрезок, соединяющий противоположные вершины. Если вы знакомы с прямоугольными треугольниками, для вычисления площади квадрата можно воспользоваться формулой, которая включает диагональ.

  1. Изображение с названием Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 3

    1

    Нарисуйте квадрат. У квадрата четыре равные стороны.[1]
     Допустим, что длина каждой стороны равна а.

  2. Изображение с названием Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 4

    2

    Посмотрите на основную формулу для вычисления площади квадрата. Площадь квадрата равна произведению длины на ширину. Так как каждая сторона квадрата равна а, формула для вычисления площади квадрата: S = а х а = а2. Эта формула понадобится далее.

  3. Изображение с названием Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 5

    3

    Соедините два противоположных угла квадрата, чтобы провести диагональ. Допустим, что длина диагонали равна d. Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника.

  4. Изображение с названием Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 6

    4

    К одному из треугольников примените теорему Пифагора. По теореме Пифагора[2]
     можно найти гипотенузу (самую длинную сторону) прямоугольного треугольника: a^{2}+b^{2}=c^{2}, где а и b — катеты, с — гипотенуза. Разделив квадрат на два прямоугольных треугольника, примените эту формулу к одному из них.

    • Катетами прямоугольного треугольника являются стороны квадрата, каждая из которых равна а.
    • Гипотенузой является диагональ квадрата, равная d.
    • a^{2}+a^{2}=d^{2}

  5. Изображение с названием Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 7

    5

  6. Изображение с названием Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 9

    6

    Воспользуйтесь этой формулой для решения задачи. Полученную формулу S = {frac {d^{2}}{2}} можно применять к любым квадратам: просто подставьте в нее значение диагонали (вместо d).

    Реклама

  1. 1

    Найдите диагональ по стороне.[3]
     Если сторона квадрата равна а, а диагональ равна d, теорема Пифагора запишется так: 2a^{2}=d^{2}. По этой формуле можно вычислить диагональ, если сторона квадрата известна.

  2. 2

  3. 3

    Проверьте правильность формулы. Верность математического вывода формулы S = {frac {d^{2}}{2}} не вызывает сомнений, но можно ли проверить правильность формулы наглядно? Допустим, что сторона второго квадрата равна d, то есть диагонали первого квадрата; тогда площадь второго квадрата равна d^{2}. Так как формула для вычисления площади S = {frac {d^{2}}{2}}, можно заключить, что площадь второго квадрата в два раза больше площади первого квадрата. Проверьте это наглядно:

    • На бумаге нарисуйте первый квадрат. Убедитесь, что все стороны равны.
    • Измерьте диагональ. Нарисуйте второй квадрат: каждая его сторона должна быть равна диагонали первого квадрата.
    • Нарисуйте копию первого квадрата, а затем вырежьте три квадрата.
    • Разрежьте два меньших квадрата так, чтобы они поместились в большем квадрате. Два меньших квадрата должны полностью покрыть больший квадрат, что доказывает, что площадь большего квадрата в два раза больше площади меньшего квадрата.

    Реклама

Советы

  • Если калькулятора нет, но необходимо получить точное значение √2, извлеките корень вручную. Например, примените метод Ньютона-Рафсона.[4]
  • Приведенная формула используется во многих областях, в том числе в кристаллографии, химии и технике. Например, при помощи этой формулы можно вычислить площадь ландшафта, который виден воочию или на фотографии/рисунке. Для этого измерьте пройденный путь, а затем проведите воображаемую диагональ.
  • Если вы предпочитаете изучать математику с наглядными примерами или хотите узнать, как использовать диаграммы и графики в искусстве, читайте статьи на сайте wikiHow (например, в категориях «Математика», «Графические программы», «Офисные программы» и других).

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 50 610 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Площадь квадрата через сторону

{S = a ^2}

На этой странице вы найдете удобный калькулятор для расчета площади квадрата и формулы, которые помогут найти площадь квадрата через его сторону, диагональ, периметр, а также радиусы вписанной и описанной окружности.

Квадрат – четырёхугольник, у которого все углы прямые (90 градусов) и все стороны равны между собой. Из-за своих свойств квадрат часто называют правильным четырехугольником.

Содержание:
  1. калькулятор площади квадрата
  2. формула площади квадрата через сторону
  3. формула площади квадрата через диагональ
  4. формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
  5. формула площади квадрата через радиус описанной окружности
  6. формула площади квадрата через периметр
  7. примеры задач

Формула площади квадрата через сторону

Площадь квадрата через сторону

S = a ^2

a – сторона квадрата

Формула площади квадрата через диагональ

Площадь квадрата через диагональ

S=dfrac{d^2}{2}

d – диагональ квадрата

Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности

Площадь квадрата через радиус вписанной окружности

S = 4r^2

r – радиус вписанной окружности

Формула площади квадрата через радиус описанной окружности

Площадь квадрата через радиус описанной окружности

S = 2R^2

R – радиус описанной окружности

Формула площади квадрата через периметр

Площадь квадрата через периметр

S = dfrac{P^2}{16}

P – периметр квадрата

Примеры задач на нахождение площади квадрата

Задача 1

Найдите площадь квадрата если его диагональ равна 1.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{d^2}{2} = dfrac{1^2}{2} = dfrac{1}{2} = 0.5 : см^2

Ответ: 0.5 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 2

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.

Решение

Для решения этой задачи используем формулу площади квадрата через радиус описанной окружности.

S = 2R^2 = 2 cdot 83^2 = 2 cdot 6889 = 13778 : см^2

Ответ: 13778 см²

Проверим ответ с помощью калькулятора .

Задача 3

Найдите площадь квадрата если его сторона равна 8 см.

Решение

Используем первую формулу.

S = a ^2 = 8 ^2 = 64 : см^2

Ответ: 64 см²

Проверим результат на калькуляторе .

Задача 4

Найдите площадь квадрата периметр которого равен 456 см.

Решение

Используем формулу для площади квадрата через периметр.

S = dfrac{P^2}{16} = dfrac{456^2}{16} = dfrac{456 cdot cancel{456}^{ : 57}}{cancel{16}^{ : 2}} = dfrac{57 cdot cancel{456}^{ : 228}}{cancel{2}^{ : 1}} = 57 cdot 228 = 12996 : см^2

Ответ: 12996 см²

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь квадрата со стороной 15 см.

Решение

Воспользуемся формулой площади квадрата через сторону.

S = a ^2 = 15 ^2 = 225 : см^2

Ответ: 225 см²

Проверка .

Источник

Кроме стандартного произведения сторон в геометрии есть еще как минимум пять методов, о которых я хочу сейчас рассказать. Итак, поехали!

Формула 1. Площади квадрата через его диагональ

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Выводится элементарно через один из прямоугольных треугольников.

Формула 2. Через периметр

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Получается подстановкой в стандартную формулу площади значения а = p/4.

Формула 3. Через отрезок из вершины квадрата к середине противоположной стороны

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Аналогично всё выводится из прямоугольного треугольника ABE.

Формула 4. Через радиус вписанной окружности

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Очевидно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, исходя из чего, и выводится формула.

Формула 5. Через радиус описанной окружности

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Вот такая тривиальная геометрия в это солнечное субботнее утро. Спасибо за внимание, уважаемые Читатели!

Читайте также:

Источник

Площадь квадрата можно найти с помощью двух основных формул:

1) Через сторону.

2) Через диагональ.

Как найти площадь квадрата, если известна его сторона.

Как известно, квадрат – это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Площадь прямоугольника равна произведению 2 его сторон:

Sпр = a * b, a и b – стороны прямоугольника.

В случае с квадратом a = b.

Таким образом, площадь квадрата будет находиться по формуле:

Sкв = a².

Например, если сторона квадрата равна 10 см., то его площадь = 10 * 10 = 100 см².

Как найти площадь квадрата, если известна его диагональ.

Диагональ делит квадрат на 2 прямоугольных треугольника. При этом диагональ является гипотенузой, а стороны квадрата – катетами.

Нам нужно выразить квадрат стороны через теорему Пифагора. Согласно данной теореме:

a*a + b*b = c*c.

a и b – катеты, c – гипотенуза.

В нашем случае a = b, а гипотенуза – это диагональ d.

Перепишем формулу в виде:

2a² = d².

a² = d² / 2.

Таким образом, если известна диагональ квадрата, то его площадь равна половине квадрата этой диагонали.

Например, если диагональ равна 10 см., то площадь квадрата = 10 * 10 / 2 = 50 см².

как найти площадь квадрата

Источник

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

  1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
    AB=BC=CD=AD;
    angle A= angle B=angle C=angle D=90^{circ }.
  2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
    AC=BD, AC perp BD.
  3. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
    AO=OC, BO=OD.
  4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
    angle BAC=angle DAC, angle ABD=angle CBD, angle BCA=angle DCA,
    angle CDB=angle ADB.
  5. Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:
    triangle AOB=triangle BOC=triangle COD=DOA.

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: P=4a.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=a^2.

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на sqrt{2}, то есть
d=sqrt{2} cdot a.

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

AC^{2}=AB^{2}+BC^{2};

AC^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}, AC=asqrt{2}, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

displaystyle r=frac{1}{2}cdot a

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда OP perp AB, ON perp CD, поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

2r=a, r=a/2, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

R=frac{sqrt{2}}{2}cdot a.

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме 1:d=asqrt{2}.

Тогда R=afrac{sqrt{2}}{2}, что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

P=4a=4sqrt{2}R=8r.

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

  1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
  2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна sqrt{8}.

Решение:

Мы знаем, что d=sqrt{2} cdot a. Тогда a=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle d}{displaystyle sqrt{2}}= 2.

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

displaystyle d=sqrt{2}cdot a Rightarrow a=frac{d}{sqrt{2}}Rightarrow a=frac{1}{sqrt{2}}.

Тогда по формуле площади квадрата:

displaystyle S=a^{2}=left (frac{1}{sqrt{2}} right )^{2}=frac{1}{2}=0,5.

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

displaystyle S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}=frac{1}{2}d^{2}=0,5.

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной sqrt{8}.

Решение:

Рисунок к задаче 2

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

displaystyle R=frac{d}{2}=afrac{sqrt{2}}{2}=sqrt{8}cdot frac{sqrt{2}}{2}=2.

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Решение:

Рисунок к задаче 3

Диаметр окружности равен стороне квадрата: a=2r=8.

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 14sqrt{2}. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

a=2r=28sqrt{2}.

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

d=asqrt{2}=28sqrt{2}cdot sqrt{2}=56.

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 11sqrt{2}. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

displaystyle r=frac{a}{2}; R=frac{d}{2}; d=asqrt{2}.

Поэтому R=rsqrt{2}=11sqrt{2}cdot sqrt{2}=22.

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата: a=sqrt{S}=sqrt{9}=3.

Периметр квадрата со стороной 3 равен: P=4a=12.

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью 4pi .

Решение:

Площадь круга S_{kp}=pi r^{2}=4pi , откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными sqrt{2}.

 

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна sqrt{2}., то сторона малого квадрата равна 2sqrt{2}. А сторона квадрата ABCD равна 2sqrt{2}cdot sqrt{2}=4.

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите r sqrt{10}.

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна sqrt{10}. Тогда радиус вписанной окружности равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{10}}{displaystyle 2}. В ответ запишем r sqrt{10}.

Ответ: 5.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Квадратu0026nbsp;u0026mdash; определение иu0026nbsp;свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Добавить комментарий