Как найти площадь квадрата описанного окружностью

Как найти площадь квадрата описанного окружностью

Площадь квадрата через сторону

{S = a ^2}

На этой странице вы найдете удобный калькулятор для расчета площади квадрата и формулы, которые помогут найти площадь квадрата через его сторону, диагональ, периметр, а также радиусы вписанной и описанной окружности.

Квадрат – четырёхугольник, у которого все углы прямые (90 градусов) и все стороны равны между собой. Из-за своих свойств квадрат часто называют правильным четырехугольником.

Содержание:
  1. калькулятор площади квадрата
  2. формула площади квадрата через сторону
  3. формула площади квадрата через диагональ
  4. формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
  5. формула площади квадрата через радиус описанной окружности
  6. формула площади квадрата через периметр
  7. примеры задач

Формула площади квадрата через сторону

Площадь квадрата через сторону

S = a ^2

a – сторона квадрата

Формула площади квадрата через диагональ

Площадь квадрата через диагональ

S=dfrac{d^2}{2}

d – диагональ квадрата

Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности

Площадь квадрата через радиус вписанной окружности

S = 4r^2

r – радиус вписанной окружности

Формула площади квадрата через радиус описанной окружности

Площадь квадрата через радиус описанной окружности

S = 2R^2

R – радиус описанной окружности

Формула площади квадрата через периметр

Площадь квадрата через периметр

S = dfrac{P^2}{16}

P – периметр квадрата

Примеры задач на нахождение площади квадрата

Задача 1

Найдите площадь квадрата если его диагональ равна 1.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{d^2}{2} = dfrac{1^2}{2} = dfrac{1}{2} = 0.5 : см^2

Ответ: 0.5 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 2

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.

Решение

Для решения этой задачи используем формулу площади квадрата через радиус описанной окружности.

S = 2R^2 = 2 cdot 83^2 = 2 cdot 6889 = 13778 : см^2

Ответ: 13778 см²

Проверим ответ с помощью калькулятора .

Задача 3

Найдите площадь квадрата если его сторона равна 8 см.

Решение

Используем первую формулу.

S = a ^2 = 8 ^2 = 64 : см^2

Ответ: 64 см²

Проверим результат на калькуляторе .

Задача 4

Найдите площадь квадрата периметр которого равен 456 см.

Решение

Используем формулу для площади квадрата через периметр.

S = dfrac{P^2}{16} = dfrac{456^2}{16} = dfrac{456 cdot cancel{456}^{ : 57}}{cancel{16}^{ : 2}} = dfrac{57 cdot cancel{456}^{ : 228}}{cancel{2}^{ : 1}} = 57 cdot 228 = 12996 : см^2

Ответ: 12996 см²

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь квадрата со стороной 15 см.

Решение

Воспользуемся формулой площади квадрата через сторону.

S = a ^2 = 15 ^2 = 225 : см^2

Ответ: 225 см²

Проверка .

Источник

При помощи нашего калькулятора вы легко сможете узнать площадь квадрата описанного около окружности.

Для того, что бы узнать площадь квадрата описанного около окружности необходимо с тем что у этих двух фигур общее, а одной из общих величин у них является сторона квадрата которая равна диаметру круга.

a=D

Таким образом для нахождения площади квадрата описанного около окружности, через этот круг, необходимо найти значение диаметра.

Для нахождения диаметра окружности нам необходимо знать одну из его величин а именно:

  1. либо площадь круга, обозначаемая буквой S,
  2. либо периметр круга, обозначаемый буквой P,
  3. либо радиус круга, обозначаемый буквой R,

1. Если нам известна площадь круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

2. Если нам известна длина круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

D=P/π

3. Если нам известен радиус круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

D=2R

Соответственно если мы знаем диаметр круга который равен стороне описанного квадрата,

a=D

Теперь мы можем узнать площадь этого квадрата

p = a2

Источник

Расчёт площади квадрата по радиусу описанной окружности

Калькулятор рассчитывает площадь квадрата по радиусу описанной окружности.

Площадь квадрата по радиусу описанной окружности

Формула площади квадрата по радиусу описанной окружности

Где S – площадь квадрата,
R – радиус описанной окружности

Вывод формулы площади квадрата по радиусу описанной окружности

Площадь квадрата по радиусу описанной окружности

Диагональ квадрата равна диаметру окружности или двум радиусам

С помощью теоремы Пифагора выведем сторону a через диагональ

Подставим в формулу площади квадрата

Диагональ квадрата равна диаметру окружности или двум радиусам

Подставим и выведем формулу

Похожие калькуляторы

Источник

Здравствуйте, уважаемые читатели. Продолжаем разбор заданий с окружностью. В этой статье рассмотрим задачи на вписанную окружность в квадрат и описанную около квадрата.

1. Центральные и вписанные углы.

2.Касательная, хорда, секущая.

3.Вписанная и описанная окружность (треугольник)

4. Вписанная и описанная окружность (квадрат)

Все задачи такого типа достаточно простые. Приступим сразу же к решению задач.

Задача №1

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Решение:

Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.

Решение к этой задачи представлю в виде картинки.

Решение к задаче №1
Решение к задаче №1

О – центр окружности, r – радиус окружности. В этой задаче радиус окружности равен половине стороны квадрата. Ответ 8.

Задача №2

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 9

Решение:

Задача обратная той, что мы решили выше. Так как радиус окружности равен 9, то сторона квадрата равна 18. Площадь квадрата равна:

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Задача №3

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Решение:

В предыдущих задачах мы определили, что если известен радиус вписанной окружности в квадрат, то сторона квадрата будет равна удвоенному значению радиуса.

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Зная сторону квадрата, диагональ квадрата найдем, используя теорему Пифагора.

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Задача №4

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Решение:

Эта задача, включает в себя все этапы, которые были разобраны выше. Задачу можно разбить на действия:

1) Найдем сторону квадрата.

2) Найдем диагональ квадрата.

3) Найдем радиус описанной окружности, разделив диагональ квадрата пополам.

d - диагональ квадрата, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности
d – диагональ квадрата, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности

1) Найдем сторону квадрата:

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

2) Найдем диагональ квадрата используя теорему Пифагора:

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

3) Найдем радиус описанной окружности, разделив диагональ квадрата пополам.

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ
Источник
Квадрат
Квадрат со стороной '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' и диагональю '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'
Квадрат со стороной a и диагональю d
Рёбра 4
Символ Шлефли {4}
Вид симметрии Диэдрическая группа (D4)
Площадь a2
Внутренний угол 90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой {displaystyle (90^{circ })}[2].

Варианты определения[править | править код]

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами[3][4].

  • Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
  • Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
  • Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
  • Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Ромб, у которого диагонали равны.
  • Ромб, у которого два соседних угла равны.
  • Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
  • Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
  • Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
  • Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства[править | править код]

Основной источник: [4]

Далее в этом разделе a обозначает длину стороны квадрата, d — длину диагонали, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Стороны и диагонали[править | править код]

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали {displaystyle d=a{sqrt {2}}.}

Периметр квадрата P равен:

{displaystyle P=4a=4{sqrt {2}}R=8r}.

Вписанная и описанная окружности[править | править код]

Вписанная и описанная окружности для квадрата

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

{displaystyle r={frac {a}{2}}.}

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

{displaystyle R={frac {sqrt {2}}{2}}a.}

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь[править | править код]

  • Площадь квадрата

  • Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

    Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь S квадрата равна

{displaystyle S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 over 2}d^{2}}.

Из формулы {displaystyle S=a^{2},} связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства[5].

  1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
  2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

К уравнению квадрата; здесь {displaystyle R=2,x_{0}=y_{0}=0}

Уравнение квадрата[править | править код]

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке {displaystyle {x_{0},y_{0}}} и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде[6]:

{displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,}

где R — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна {displaystyle R{sqrt {2}},} его диагональ равна {displaystyle 2R,} а площадь квадрата равна {displaystyle 2R^{2}.}

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

  1. {displaystyle |x-y|+|x+y|=a} (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
  2. {displaystyle max(x^{2},y^{2})=r^{2}}
  3. (в полярных координатах[7]) {displaystyle quad r(varphi )=min left({frac {r}{|cos varphi |}},{frac {r}{|sin varphi |}}right)}

Математические проблемы[править | править код]

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

  • Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

Пример квадрирования квадрата {displaystyle 112times 112}

  • Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
  • Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
  • Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
  • Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Симметрия[править | править код]

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

  • одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
  • четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение[править | править код]

В математике[править | править код]

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

{displaystyle square u:={frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial z^{2}}}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}}

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)[8].

Графы:
K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Орнаменты и паркеты[править | править код]

  • Мозаики, включающие квадраты

  • «Пифагорова мозаика»

  • Bond brick hexagonal tiling.png

  • Square rhombic tiling.png

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения[править | править код]

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Графика[править | править код]

Символы со сходным начертанием: ロ · ⼝ · ⼞

Ряд символов имеют форму квадрата.

  • Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
  • U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
  • ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
  • 口 (Китайский иероглиф «рот»)
  • 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции Box или square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

  • <span style=”border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;”>text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения[править | править код]

Многомерное пространство[править | править код]

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия[править | править код]

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

Построение квадрата с использованием циркуля и линейки

Складывание квадрата из произвольного куска бумаги

См. также[править | править код]

  • Алгоритм «движущиеся квадраты»
  • Квадрат Полибия
  • Квадратная матрица
  • Квадратриса
  • Первая теорема Тебо
  • Площадь произвольного четырёхугольника

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Квадрат // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 561. — 1600 с.
  2. ↑ Квадрат // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 776. — 1184 с.
  3. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  4. ↑ 1 2 Каплун, 2014, с. 171—173.
  5. ↑ Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 117, 119. — 312 с. — ISBN 5-94057-171-9.
  6. ↑ Уравнение квадрата в декартовой системе координат. Дата обращения: 9 ноября 2021. Архивировано 9 ноября 2021 года.
  7. ↑ What is the polar equation for a square, if any?
  8. ↑ Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с. Архивировано 28 июня 2021 года.

Литература[править | править код]

  • Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО “Феникс”, 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

Ссылки[править | править код]

  • Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Источник

Добавить комментарий