Как найти площадь квадрата в математике егэ - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Всего: 119 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Найдите площадь квадрата, вершины которого имеют координаты (4;3), (10;3), (10;9), (4;9).

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).

Площадь треугольника ABC равна 4. DE   — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.

Площадь полной поверхности конуса равна 164. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Найдите (в см²) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см times 1 см (см. рис.). В ответе запишите

Всего: 119 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Планиметрические задачи на тему «Квадрат» в ЕГЭ по математике включаются каждый год. Это означает, что справляться с ними должны уметь все учащиеся, независимо от того, базовый или профильный уровень экзамена они планируют сдавать. Освоив задания по теме «Квадрат», учащиеся смогут успешно выполнить ЕГЭ по математике и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам прохождения аттестационного испытания.

Образовательный портал «Школково» поможет подготовиться к экзамену

Чтобы задачи ЕГЭ по теме «Квадрат» не вызывали сложностей, рекомендуем вспомнить основные свойства этой фигуры, а также формулу нахождения ее площади. Вся базовая информация, которая поможет выпускникам качественно подготовиться к экзамену, опубликована на образовательном портале «Школково». Наши специалисты подготовили материал и представили его в максимально доступной форме. Ознакомиться с ним можно в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы закрепить усвоенный материал и научиться справляться с задачами ЕГЭ на нахождение площади квадрата, выпускники могут прорешать упражнения по данной теме. Большая подборка подобных заданий с подробным описанием алгоритма нахождения правильного ответа представлена в разделе «Каталог». База упражнений «Школково» постоянно обновляется.

Попрактиковаться в выполнении заданий по данной теме или, например, в решении задач на тему «Трапеция» школьники могут в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе.

Источник

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.

$angle A= angle B=angle C=angle D=90^{circ }.$
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: P=4a.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=a^2 .

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на sqrt{2} , то есть
.

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2};$

$AC^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}, AC=asqrt{2},$ что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

$displaystyle r=frac{1}{2}cdot a$

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

$R=frac{sqrt{2}}{2}cdot a.$

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме

Тогда $R=afrac{sqrt{2}}{2}$ , что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна sqrt{8} .

Решение:

Мы знаем, что . Тогда $a=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle d}{displaystyle sqrt{2}}= 2$ .

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

$displaystyle d=sqrt{2}cdot a Rightarrow a=frac{d}{sqrt{2}}Rightarrow a=frac{1}{sqrt{2}}.$

Тогда по формуле площади квадрата:

$displaystyle S=a^{2}=left (frac{1}{sqrt{2}} right )^{2}=frac{1}{2}=0,5.$

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

$displaystyle S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}=frac{1}{2}d^{2}=0,5.$

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной sqrt{8} .

Решение:

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

$displaystyle R=frac{d}{2}=afrac{sqrt{2}}{2}=sqrt{8}cdot frac{sqrt{2}}{2}=2.$

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса .

Решение:

Диаметр окружности равен стороне квадрата: a=2r=8 .

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

$displaystyle r=frac{a}{2}; R=frac{d}{2}; d=asqrt{2}.$

Поэтому

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата:

Периметр квадрата со стороной 3 равен:

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью 4pi .

Решение:

Площадь круга $S_{kp}=pi r^{2}=4pi ,$ откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными sqrt{2} .

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна sqrt{2} ., то сторона малого квадрата равна . А сторона квадрата ABCD равна

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите .

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна . Тогда радиус вписанной окружности равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{10}}{displaystyle 2}$ . В ответ запишем .

Ответ: 5.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Квадратu0026nbsp;u0026mdash; определение иu0026nbsp;свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

В едином государственном экзамене по математике в части B есть задача, где нужно вычислить площадь закрашенной фигуры. Несмотря на свою простоту, в этой задаче часто допускают ошибки. В этой статье вы узнаете, как решить задачу части В, зная всего лишь одну формулу (площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов).

Пример 1

Простейшая задача ЕГЭ, которую многие не могут решить

Площадь красного квадрата = 6 х 6 = 36.

Площадь фигуры 1 = (6 х 1) / 2 = 3.

Площадь фигуры 2 = (4 х 1) / 2 = 2

Площадь фигуры 3 = 1 х 1 = 1

Площадь фигуры 4 = (3 х 1) / 2 = 1,5

Площадь фигуры 5 = (2 х 6) / 2 = 6

Площадь закрашенной фигуры = 36 – (3 + 2 + 1 + 1,5 + 6) = 36 – 13,5 = 22,5

Пример 2

Площадь закрашенного треугольника в прямоугольнике 1 = (6 х 4) / 2 = 12

Площадь закрашенного треугольника в прямоугольнике 2 = (6 х 2) / 2 = 6

Площадь закрашенной фигуры = 12 + 6 = 18

Пример 3

Площадь красного прямоугольника = (7 – 3) х (9 – 1) = 4 х 8 = 32

Площадь фигуры 1 = (7 – 3) х (3 -1) / 2 = 4 х 2 / 2 = 4

Площадь фигуры 3 = (7 – 3) х (9 – 5) / 2 = 4 х 4 / 2 = 8

Площадь закрашенной фигуры (фигуры 2) = 32 – 4 – 8 = 20

Пример 4

Площадь закрашенной фигуры = (10 – 4) х (9 -1) = 6 х 8 = 48

Пример 5

Диагональ большого квадрата = 16

Диагональ малого (внутреннего) квадрата = 8

Площадь большого квадрата = 1 / 2 * 16² = 1/2 * 256 = 128

Площадь малого квадрата = 1 / 2 * 8² = 1/2 * 64 = 32

Площадь закрашенной фигуры = 128 – 32 = 96

Если забыли как найти площадь квадрата, зная диагональ, то можно разложить эту фигуру на прямые треугольники и вычислить площадь, как в примерах выше.