Я пока вижу только два варианта вписывания квадрата в этот прямоугольный треугольник.
Первый вариант
Введём оротонормировнную систему координат и поместим C в её начало. Ось абсцисс пустим вдоль AC справа-налево, ось ординат направим просто вверх. Вектор B-C из условия имеет координаты (10; 6). Вектор p получается масштабированием вектора B-C, т.е., p=k(B-C) для некоторого k.
Выпишем координаты p=k(B-C)=(10k, 6k) по отдельности:
p_x=10k, (1)
p_y=6k. (2)
С другой стороны, понятно, что сторона квадрата равна p_y = A_x-p_x = 10-px. Подстановка в (2) даёт 6k = 10 – p_x, а подстановка (1) в получившееся выражение даёт 6k = 10 – 10k => k = 10/16.
Из (2), сторона квадрата теперь равна p_y=6*10/16, а искомая площадь квадрата равна квадрату этой стороны:
S_0 = (p_y)^2 = 3600/256 ~ 14 [кв.ед.].
Второй вариант
Система координат введена так же (см. выше). По рисунку видно, что вектор q может быть получен сложением векторов s, r-s и q-r:
q = s + (r-s) + (q-r). (3)
Также видно, что вектор q-r получается из r-s поворотом на прямой угол. Матрица поворота действуя на r-s просто меняет координаты местами и у одной координаты (в данном случае у абсциссы) меняет знак. Т.е.,
(q-r)_x = -(r-s)_y, (4)
(q-r)_y = (r-s)_x, (5)
где нижний индекс даёт проекцию на указанную ось (x — абсцисса, y — ордината).
Вектор q пропорционален вектору B:
q = h*(10,6) = (10h, 6h), (6)
для некоторого h.
Подставляя (4), (5) и (6) в (3) и записывая уравнение в скалярной форме, получаем систему:
s_x + r_x – s_x – r_y + s_y = 10h
s_y + r_y – s_y + r_x – s_x = 6h.
Приводя подобные слагаемые и подставляя известные значения s_y=0 и r_x=10, преобразуем эту систему в
r_y + 10 – s_x = 6h (7)
10 – r_y = 10h (8)
Из (8) выражаем h как h = (10-r_y)/10 и подставляем в (7), получая выражение s_x = r_y + 10 + 6(10-r_y)/10. Оно преобразуется в
s_x = 16r_y/10 + 4. (9)
Замечаем, что вектор r-s коллинеарен B и поэтому
r-s = kB, (10)
для некоторого k.
Скалярно: r_x – s_x = 10k, r_y – s_y = 6k. Отсюда сначала выражаем k как k=(10-s_x)/10, а потом r_y в виде
r_y = 6k = 6(10-s_x)/10. (11)
Подставляем (9) в (11) и приходим к
r_y = (6/10)(10 – 16r_y/10 – r) =
= (6/10)(6 – 16r_y/10) =
= 36/10 – 96r_y/100 =>
=> r_y = 36*100/(10*196) = 90/49.
Подстановка в (11) даёт k = r_y/6 = 90/(49*6) = 15/49. Подстановка в (10) даёт r-s = 15B/49. Длина равна |r-s|=15|B|/49. Искомая площадь квадрата со стороной на этом векторе равна квадрату его длины, т.е.,
S_1 = |r-s|^2 = (15^2)*|B|^2/(49^2) =
= (15^2)*(10^2 + 6^2)/(49^2) =
= (15^2)*136/(49^2) = 225*136/(49^2) =
= 30600/2401 = 12 + 1788/2401 ~ 12,7 [кв.ед.].
Ну вот такие вот площади получились: S_0 ~ 14 [кв.ед.], S_1 ~ 12,7 [кв.ед.].
Как найти площадь любого треугольника
Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.
Как найти площадь любого треугольника
Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.
Зная сторону и высоту
- Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.
Зная две стороны и угол между ними
- Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
- Найдите синус угла между выбранными сторонами.
- Перемножьте полученные числа.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a и b — стороны треугольника.
- α — угол между сторонами a и b.
Зная три стороны (формула Герона)
- Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
- Найдите произведение полученных чисел.
- Умножьте результат на полупериметр.
- Найдите корень из полученного числа.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b, c — стороны треугольника.
- p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).
Зная три стороны и радиус описанной окружности
- Найдите произведение всех сторон треугольника.
- Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
- S — искомая площадь треугольника.
- R — радиус описанной окружности.
- a, b, c — стороны треугольника.
Зная радиус вписанной окружности и полупериметр
Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.
- S — искомая площадь треугольника.
- r — радиус вписанной окружности.
- p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
Как найти площадь прямоугольного треугольника
- Посчитайте произведение катетов треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.
Как найти площадь равнобедренного треугольника
- Умножьте основание на высоту треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.
Как найти площадь равностороннего треугольника
- Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
- Поделите результат на четыре.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.
Читайте также 🧠👨🏻🎓✍🏻
- 7 причин полюбить математику
- ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
- 10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
- Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
- ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?
Как вычислить площадь квадрата, вписанного в треугольник ? Подскажите, если можно
В прямоугольном треугольнике известны длины двух катетов — 6 и 10 сантиметров.
Как вычислить площадь квадрата, вписанного в этот треугольник?
Я пока вижу только два варианта вписывания квадрата в этот прямоугольный треугольник.
Первый вариант<256 ~ 14 [кв.ед.].
Второй вариант<10 + 4. (9)
Замечаем, что вектор r-s коллинеарен B и поэтому
r-s = kB, (10)
для некоторого k.
Скалярно: r_x — s_x = 10k, r_y — s_y = 6k. Отсюда сначала выражаем k как k=(10-s_x)10 — r) =
= (6100 =>
=> r_y = 36*100(49*6) = 15(49^2) =
= (15^2)*(10^2 + 6^2)2401 = 12 + 1788 < <АВ = к16. Сокращу на 4:
15/4 = 3,75.
Найду площадь квадрата:
3,75^2 = 14,0625 ~ 14 см^2.
Мой ответ: 1-й вариант решения задачи. Квадрат вписанный в треугольник равен 14 см^2.
Буду думать ещё о вариантах.
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
– полупериметр треугольника; a,b,c – стороны треугольника.
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
a – основание треугольника; h – высота треугольника.
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
a,b – стороны треугольника; α – угол между сторонами.
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<
a– сторона треугольника; α и β – прилежащие углы.
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
a, b – катеты треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
a, b – стороны треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
a – основание равнобедренного треугольника; α – угол между сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
a – сторона равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
h – высота равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
r – радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
r – радиус описанной окружности равностороннего треугольника.
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
a, b, c – стороны треугольника; r – радиус описанной окружности треугольника.
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
p – полупериметр треугольника;a, b, c – стороны треугольника; r – радиус вписанной окружности треугольника.
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
b – верхнее основание
a – нижнее основание
c – равные боковые стороны
α – угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
R – радиус вписанной окружности
D – диаметр вписанной окружности
O – центр вписанной окружности
H – высота трапеции
α, β – углы трапеции
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d – диагональ трапеции
α, β – углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
m – средняя линия трапеции
c – боковая сторона
α, β – углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
b – верхнее основание
a – нижнее основание
h – высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
