Площадь многоугольника
На чтение 2 мин Просмотров 3.2к. Опубликовано 22 января, 2021
Одна из прикладных задач, которые решает геометрия — вычисление площадей многоугольников. Это необходимо строителям, земледельцам, конструкторам, летчикам, геологам. Даже в повседневной жизни знание формул, показывающих, как узнать площадь многоугольника, часто выручает при ремонте квартиры или дома.
Сначала определимся, что такое многоугольник, и что такое площадь. В геометрии многоугольником называют фигуру на плоскости, образованную замкнутой ломаной линией с количеством звеньев более 2-х. Это все известные и неизвестные нам фигуры, начиная от треугольника — квадрат, трапеция, ромб, шестиугольник, восьмиугольник и т.д. Готовые формулы, как найти площадь многоугольника созданы практически для каждой правильной фигуры с конечным количеством сторон. А вот что делать с неправильными?
Площади самых распространенных многоугольников можно найти по готовым формулам:
Правильным многоугольником называется фигура, у которой все стороны равны, а смежные углы одинаковые. Площадь — часть плоскости, в которой лежит фигура, заключенная между ее сторонами. Если многоугольник нарисован в тетради в клеточку, то площадь — это количество квадратиков внутри фигуры. За единицу площади принят квадратный метр (м2), или квадратный сантиметр (см2), в зависимости от размеров многоугольника.
- Квадратный метр — площадь квадрата со сторонами длиной в 1 м;
- Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см.
- В одном м2 помещается 10000 см2;
- 1 см2 = 1 ∙ 10-4 см.
Площадь многоугольника не обязательно равна целому числу квадратных единиц. Если у вас получится площадь, например, 22, 3 см2, расстраиваться не нужно. Есть еще квадратные миллиметры и более мелкие единицы.
Универсальный способ вычисления площади правильного многоугольника
Чтобы не запоминать десятки готовых формул, можно выучить только одну — как найти площадь многоугольника через периметр. Способ этот простой и не требует большого объема вычислений. Для работы нужны только линейка и карандаш.
Подобные задачи очень часто встречаются в Едином Государственном Экзамене по математике. Решение совершенно несложное. Нужно описать вокруг многоугольника прямоугольник и вычесть из его площади всё лишнее. Так как все вершины находятся в узлах с целочисленными координатами сетки, проблем в этом нет никаких. Площади прямоугольников и прямоугольных треугольников посчитать несложно. Однако это весьма долго и кропотливо.
Единичный квадрат — это квадрат со стороной 4 клеточки. Надо найти площадь многоугольника. Сможете найти её за 15 секунд в уме?
Есть весьма быстрый способ нахождения площади, который почему-то мало кто знает. По идее в школе о нём должны рассказывать, но… должны, да не обязаны, как говорится. А ещё учитель может и рассказывал, а ученик мог не услышать.
Знаете, был у меня такой случай. Приходит ко мне парень заниматься. Спрашиваю у него формулы сокращенного умножения, а он мне говорит:
— А мы не проходили?
— Как это не проходили? Это вам точно рассказывали! — говорю я.
— Наверное, я болел в это время.
То есть человек не удосужился прочитать учебник по тем темам, которые пропустил. Это как? Он рассчитывает на то, что раз он болел на этих темам, на экзамене их у него тоже не будут спрашивать? Или он думал, что учитель будет за ним бегать и умолять, чтобы он послушал пропущенную тему?
В общем, раз уж находятся люди, которые не шибко переживают, что не знают формул сокращенного умножения, которыми пользуешься постоянно, то что уж говорить о формуле, которой в школе вообще не пользуются. Даже если про неё и рассказывали, у большинства она просто стерлась из памяти. Это формула Пика.
Она придумана и доказана австрийским математиком Георгом Пиком как раз для таких случаев, когда надо найти площадь многоугольника, а координаты всех вершин целочисленные (то есть вершины лежат в узлах координатной плоскости).
Формула до банальности простая: S=В-1+Г:2, где В — это количество узлов координатной плоскости внутри фигуры, а Г — это количество узлов на границе многоугольника.
Давайте отметим точки на границе и внутри, посчитаем их, подставим в формулу и получим ответ.
Розовых точек — 14, то есть Г=14. Внутренних точек — 12, то есть В=12. Подставляем в формулу и получаем S=12-1+14:2=11+7=18. Вот и вся задачка. Решается в уме за 15 секунд. Самое сложное — не ошибиться в подсчете точек. Задача уровня 2 класса. Можете, кстати, посчитать площадь традиционным способом, сравнить результаты и время, затраченное на решение.
Надо только не забывать о том, что эта формула работает лишь тогда, когда вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Так что обычные формулы площади забывать все-таки не стоит.
Для тех, кто только что подключился, напоминаю, что у меня появился Ютуб-канал, заходите и подписывайтесь.
Ещё интересно: Немцы решают эту задачу в уме за 30 секунд, а российские выпускники на ЕГЭ обычно тратят кучу времени на неё. Формула Пика
Задачка для дошкольников поставила в тупик пользователей Twitter и Facebook
Задача на внимательность для взрослых и детей. Сколько треугольников видишь на рисунке
Как найти площадь ломаной фигуры?
Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле. Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
Что такое площадь 3 класс?
Площадь – внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Квадратный сантиметр – квадрат со стороной 1 сантиметр.
Как найти площадь произвольной фигуры?
Эти формулы позволят вам найти площади фигур по данным или измеренным величинам.
- Площадь квадрата: S = a2, где а – сторона квадрата.
- Площадь прямоугольника: S = w x h, где w – длина прямоугольника, h – ширина прямоугольника.
- Площадь трапеции: S = [(a + b) x h]/2, где a и b – основания трапеции, h – высота трапеции.
Как найти площадь неправильного многоугольника?
Для нахождения площади какого-нибудь неправильного многоугольника нужно его разбить на треугольники, вычислить площадь каждого треугольника в отдельности и результаты сложить.
Как найти площадь плоской фигуры?
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
- В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G и криволинейной трапеции равна площади фигуры . …
- Поэтому, …
- Аналогично, во втором случае справедливо равенство .
Как найти площадь криволинейной трапеции?
S = f(x)dx. Множество вида (28.
Как найти площадь фигуры в параболе?
Она касается параболы! Это несложно доказать при помощи метода координат. Уравнения касательных к параболе, заданной уравнением y = ax2, проходящих через точки B(b; ab2) и C(c; ac2) соответственно, легко найти: y = 2abx – ab2 и y = 2acx – ac2 соответственно.
Что такое площадь?
Площадь – это размер двухмерной фигуры (плоской или неровно-поверхностной, искривленной), что принято называть квадратурой. … Нормированность, то есть площадь единичного квадрата равна 1. Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры.
Что такое площадь в математике?
В математике для нахождения площади геометрических фигур используют специальные формулы, в которых площадь обозначается заглавной латинской буквой «S». Напоминаем, что площадь квадрата можно найти, умножив длину его стороны на саму себя. Единицей площади служит площадь единичного квадрата.
Что такое площадь 4 класс?
Площадь-это свойство фигур занимать место на плоскости. … Квадратный миллиметр- единица измерения площади, равная площади квадрата со стороной 1мм. Основная и дополнительная литература по теме урока: Математика: 4 класс: учебник в 2 ч.
Что такое площадь и как его найти?
Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину. Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.
Как найти пло?
Для вычисления необходимо умножить их друг на друга. S = a * b, где S — площадь; a, b — длина и ширина.
Что такое площадь 5 класс?
Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны. Площадь прямоугольника– число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.
Что такое площадь прямоугольника 5 класс?
S = a · b, где a,b – ширина и длина фигуры. К примеру, если длина прямоугольника 5 см, а ширина 4 см, то площадь будет равна 4*5=20 см2.
Что такое площадь простым языком?
Итак, что такое «Площадь фигуры» простым языком? Можно сказать, что это некоторое число квадратов, которые помещаются внутри фигуры (площадь может вычисляться в чем угодно — от квадратных миллиметров, до квадратных километров — все зависит от задачи). … Количество квадратов внутри — 9. Т.
Что такое площадь как пишется?
Правило написания слова Для того чтобы узнать, какую согласную необходимо написать, следует подобрать к нему проверочное слово, которое укажет на нужную букву. Например: “много площадей“. В данном случае отчетливо слышна буква “д”. Поэтому слово “площадь” пишется только так.
Как правильно писать на площади?
Находиться в здании (предложный падеж, на -ие).
Как пишется квадратура?
Значение слова «квадратура» КВАДРАТУ́РА, -ы, ж. Мат. 1. Число квадратных единиц в площади данной фигуры.
Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.
Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.
А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.
Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).
По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».
Площадь многоугольника
Стороны и диагонали
| Название стороны или диагонали | Длина | ||
|---|---|---|---|
Точность вычисления
Знаков после запятой: 2
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
|
Как найти площадь прямоугольника при известной длине ломаной (см.)?spring948374 2 года назад
На доске изображён прямоугольник, составленный из квадратов разных размеров. Длина выделенной ломаной равна 21. Найдите площадь прямоугольника.
габбас 2 года назад Интересная задача. Ее можно решать наверное и по формулам, но тут намного проще решать, если сравнить размеры всех квадратов. Пусть размер (длина стороны) самого маленького квадрата равна 1. Очевидно, что размер среднего квадрата равна 2, а большого 3. Теперь можно посчитать длину ломаной по этим размерам. Ломаная состоит из пяти отрезков длиной 1, из пяти отрезков длиной 2 и из двух отрезков длиной 3. Складываем: 5*1+5*2+2*3=21. Значит все верно. Теперь остается вычислить площади всех квадратов и сложить их. Больших квадратов 2, средних – 3, маленьких – 5. Получаем площадь прямоугольника: 2*3*3+3*2*2+5*1*1=18+12+5=35. Или посчитать стороны прямоугольника и вычислить по формуле:5*7=35. Ответ:35. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
Поскольку эта задача для школьников, скорее всего тут оперируют везде целыми числами. Ширина прямоугольника, как видно из рисунка, равна 5-ти единицам, а его длина равна 7-ми единицам. Это даже и проверять не нужно, сопоставляя с длиной ломаной, прочем, кому интересно и важно, может и сопоставить. Итого, площадь прямоугольника: 7 * 5 = 35 квадратных единиц. комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить Знаете ответ? |
