СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
1 мая
Новый сервис: можно исправить ошибки!
29 апреля
Разместили актуальные шкалы ЕГЭ — 2023
24 апреля
Учителю: обновленный классный журнал
7 апреля
Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю
30 марта
Решения досрочных ЕГЭ по математике
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
НАШИ БОТЫ
 |
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Каталог заданий.
Площадь поверхности составного многогранника
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 2 № 25541 
i
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Аналоги к заданию № 25541: 25543 25549 25545 … Все
Решение
·
1 комментарий
·
Видеокурс
·
Помощь
2
Тип 2 № 25561
i
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Аналоги к заданию № 25561: 25563 25569 512372 … Все
Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601
Решение
·
Видеокурс
·
Помощь
3
Тип 2 № 25581
i
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Аналоги к заданию № 25581: 25583 25589 25585 … Все
Решение
·
1 комментарий
·
Видеокурс
·
Помощь
4
Тип 2 № 25601
i
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Аналоги к заданию № 25601: 25603 25609 505146 … Все
Решение
·
7 комментариев
·
Видеокурс
·
Помощь
5
Тип 2 № 25621
i
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Аналоги к заданию № 25621: 25623 25625 25629 … Все
Решение
·
3 комментария
·
Видеокурс
·
Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Многогранники
Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.
В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).
Объемы различных многогранников:
- Призма $V=S_{осн}·h$
- Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
- Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ – длина, ширина и высота.
- Куб $V=а^3$, где $а$ – сторона куба
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Первый способ.
- Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
- Найти объем параллелепипеда.
- Найти объем лишней части фигуры.
- Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.
Пример:
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.
Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:
$V=10·9·4=360$
2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:
Его длина равна $9-4=5$
Ширина равна $4$
Высота равна $7$
$V=7·4·5=140$
3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:
$V=360-140=220$
Ответ: $220$
- Второй способ
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
– Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
Пример:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$
$P_{осн}=8+6+6+2+2+4=28$
Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:
$S_1=6·6=36$
$S_2=2·4=8$
$S_осн=36+8=44$
Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника
$S_{полн.пов.}=28·12+2·44=336+88=424$
Ответ: $424$
– Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2+ВС^2=АВ^2$
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Задачи на рассмотрение подобия фигур.
При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
объясните пожалуйста как находить площадь поверхеости многогранника
Профи
(520),
закрыт
9 лет назад
Марта
Гуру
(3643)
11 лет назад
Поверхность многогранника состоит из многоугольников, значит надо найти площадь каждого многоугольника, а затем сложить все площади. Это общее решение подходит для любого многогранника. Есть определенные виды многогранников, для них есть формулы.
Марат
Мастер
(1408)
11 лет назад
Формулы не помню, но любую площадь можно посчитать по теореме ПИФАГОРА, разделяя фигуры на на квадраты и прямоугольники, тем самым разделить внешнюю сторону от внутренней на угол. Проще говоря расчленить всю площадь на квадраты и треугольники с одним углом 90 градусов
Площадь поверхности многогранника. В данной рубрике в опубликованных статьях “Общий обзор. Формулы стереометрии“ и “Что ещё необходимо знать для решения по стереометрии“ мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения.
В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.
В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.
Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.
Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.
Ответ: 72
Решите самостоятельно:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Посмотреть решение
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Посмотреть решение
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Посмотреть решение
Ещё задачи 25881, 77155, 77156. В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться — что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.
* * *
Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2
Ответ: 64
Решите самостоятельно:
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Посмотреть решение
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Посмотреть решение
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Посмотреть решение
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Посмотреть решение
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Посмотреть решение
Казалось бы, данные задачи можно вообще не рассматривать, они же просты и понятны. Но в их решении важна практика. Повторюсь, что ошибиться очень легко, попрактикуйтесь с подобными задачами и вы убедитесь.
В открытом банке задач много примеров аналогичных задач (смотрите здесь и здесь). Договоритесь с одноклассниками решить одни и те же задачи, затем сверьтесь.
Мы продолжим рассматривать задачи данной части, не пропустите! Успехов вам!!!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
