Как найти площадь многоугольника по формуле пика

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

https://osa-irk.dostavka-byketov.ru городские цветы Оса.

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пика.

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел,
даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Формулировка[править | править код]

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами^[1] равна
,
где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Следствия[править | править код]

• Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
  • Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.

Вариации и обобщения[править | править код]

• Многочлен Эрара даёт один из вариантов обобщения формулы Пика на старшие размерности.

где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам и телесный угол при ; если лежит внутри , то считается что .^[2]

где обозначает площадь единичной сферы в .

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. — ISBN 5-900916-82-0.
• А. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. — 1977. — № 4. — С. 13—20.

Каждому из нас нередко приходилось считать площадь решётчатого многоугольника (изображённого, например, на клетчатой бумаге). В основном, это делают ещё по известным со школы формулам. Но в этом случае для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади.
Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников?
— Сказка? — Нет, теорема Пика!

• Названа она в честь Георга Пика (нет, не оружия или покемона), доказавшего её в 1899 году.

Формулировка звучит так:
S = В + Г / 2 − 1, где S — площадь многоугольника, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
• Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.

Например, для многоугольника на рисунке, В=7 (красные точки), Г=8 (зелёные точки), поэтому S = 7 + 8/2 – 1 = 10 квадратных единиц.

Докажем теорему Пика:
• Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем в этом случае В = (a-1)(b-1),  Г = 2a+2b и, по формуле Пика, S = (a-1)(b-1)+a+b-1 = ab .
• Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая В = ((a-1)(b-1)-c+2)/2,  Г = (2a+2b)/2+c-1 и получаем, что S = ab/2.
• Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников (см. рисунок). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

• Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно триангулировать, т.е.  разбить на треугольники (например, диагоналями).  Отсюда по индукции следует, что формула Пика верна для любого многоугольника.   чтд

К сожалению, эта столь простая и красивая формула плохо обобщается на высшие размерности.
Наглядно показал это Рив, предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива) со следующими вершинами:
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(1,1,k)
Тогда этот тетраэдр ABCD при любых k не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки A, B, C, D. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.
Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта, но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

Специально для ЖЖ матфака, Сергей Романов.

Грибановский муниципальный район

Воронежской области

Муниципальные педагогические чтения «Киселёвские чтения – 11»

«Формула Пика для нахождения площади многоугольника»

                                                       Подготовила: Табакова Ольга Николаевна

 учитель МКОУ Верхнекарачанской СОШ

2021 г.

“Геометрия есть знание величин,

фигур и их границ,

а также отношений между ними

и производимых над ними операций,

разнообразных положений и движений”

Диа́дох Прокл

В 21 веке, некоторым детям, порой сложно запомнить огромное количество информации, поступающей каждый день в школе, и даже вызубренные формулы по математике, которые используются для нахождения площади различных фигур, будь то треугольник, параллелограмм или трапеция, часто забываются.

Задание, нахождение площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге очень интересное, увлекательное. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны.  Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ достраивания, способ разбиения и др. Одним из таких способов является формула Пика для нахождения площади многоугольника.

Актуальность данной темы заключается в том, чтобы помочь выпускникам 9-ых и 11-х классов подготовиться к сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Немного истории:

 Георг Александр Пик

(10. 09. 1859 – 13. 07. 1942)

Георг Александр Пик – австрийский математик. Родился Георг Пик в еврейской семье Он был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), а затем поступил сразу в четвёртый класс гимназии. В шестнадцать лет Пик сдал выпускные экзамены и поступил в университет в Вене. Уже в следующем году Пик опубликовал свою первую работу по математике. После окончания университета в 1879 году он получил право преподавать математику и физику. В 1880 году Пик защитил докторскую диссертацию, а в 1881 году получил место ассистента на кафедре физики Пражского университета. В 1888 году он был назначен экстраординарным профессором математики, затем в 1892 году в Немецком университете в Праге был назначен ординарным профессором (полным профессором).

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. Эта теорема оставалась незамеченной в течение некоторого времени, однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна.

Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, он вернулся Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Формула Пика.

, где

S- площадь многоугольника

В-количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника;

Г-количество узлов сетки, лежащих на границе многоугольника.

Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки. ( узел –это пересечение клеток ).

 В -7 узлов

Г- 8 узлов

     

Формула Пика универсальна, по ней можно вычислить площадь любого многоулольника на клетчатой бумаге.

В-15 узлов

Г-4 узла

Свавним различные способы вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге:

Задача 1. Найти площадь четырехугольника

	Метод достраивания
	Формула Пика В- 32 Г- 4

Задача 2.

	Метод разбиения на треугольники
	Формула Пика В- 28 Г-18

Сравнивая, полученные результаты, видно, что ответ получается одинаковый. Найти площадь фигуры по формуле Пика, оказалось быстрее и легче, ведь вычислений было меньше. 

Таким образом, видно, что формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

• для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

• формула Пика проста для запоминания;
• формула Пика  очень удобна  и проста в применении;
• многоугольник, площадь которого необходимо вычислить может быть любой, даже самой причудливой.

Вывод: вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части, так как требуется меньше вычислений, а, следовательно, меньше времени.

Формула Пика — это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить все формулы для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, чтобы подобраться к вычислению её площади «через знакомых».

С другой стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, формула Пика послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу ещё и этим способом (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы).

Приветствую вас, дорогие читатели!

Сегодня мы поговорим об одной из формул для нахождения площади сложной фигуры. Ее иногда называют формулой для ленивых. Названа она в честь Георга Пика, доказавшего ее еще в 19 веке.

Формулировка теоремы звучит так:

Очень важно, что этой формулой можно пользоваться только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.

На примере все будет проще и понятнее. Найдем площадь данного треугольника:

Считаем точки в узлах внутри треугольника (красные) В=12

Считаем точки в узлах на границе треугольника (синие) Г=4

Получаем по формуле:

Проверим правильность наших расчетов:

Площадь прямоугольника равна 32, площадь красного треугольника равна 12, площадь синего треугольника равна 4, площадь зеленого треугольника равна 3, в общей сложности 19, т.е. площадь белого треугольника равна 13 ч.т.д.

Найдем площадь четырехугольника по формуле Пика:

Теперь понятно, почему эту формулу называют формулой для ленивых? Изучали ли вы ее в школе?

Эта формула очень полезна для быстрого нахождения площади и ей часто пользуются на ОГЭ и ЕГЭ.

А теперь, дорогие читатели, предлагаю вам самим, пользуясь формулой Пика, найти площадь многоугольника:

Ответы можете оставлять в комментариях.

Если понравилась статья, ставьте лайк и не забудьте подписаться на мой канал)