Как найти площадь многоугольника по координатам вершин

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 1 января 2022 года; проверки требуют 2 правки.

Формула площади Гаусса (формула землемера или формула шнурования или алгоритм шнурования) — формула определения площади простого многоугольника, вершины которого заданы декартовыми координатами на плоскости. В формуле векторным произведением координат и сложением определяется площадь области, охватывающей многоугольник, а затем из нее вычитается площадь окружающего многоугольника, что дает площадь многоугольника внутри. Также она называется формулой шнурования, так как положительные и отрицательные слагаемые, состоящие из перемножаемых координат, располагаются крест-накрест, как при завязывании шнурков. Она находит применение в геодезии, лесном хозяйстве и других областях.

Формула была описана Мейстером (1724—1788) в 1769 году и Гауссом в 1795 году. Она может быть проверена путём деления многоугольника на треугольники, но её также можно рассматривать как частный случай теоремы Грина.

Формула определения площади определяется путём взятия каждого ребра многоугольника АВ и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется, если она слева, и вычитается, если она справа с точки зрения из начала координат.

Формула площади верна для любого самопересекающегося многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым.

Определение[править | править код]

Формула может быть представлена следующим выражением:

где

S — площадь многоугольника,

n — количество сторон многоугольника,

(x_i, y_i), i = 1, 2, …, n — координаты вершин многоугольника.

Другое представление этой же формулы^[1][2]:

где

x_n+1 = x₁, x₀ = x_n,

y_n+1 = y₁, y₀ = y_n.

Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны, и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, то детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина.

Примеры[править | править код]

Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости. Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую координату x первой вершины и умножим её на координату y второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определён по следующей формуле^[3]:

где x_i и y_i обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3.

Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x₅ и y₅:

S для четырехугольника — переменные до x₄ и y₄:

Более сложный пример[править | править код]

Рассмотрим многоугольник, представленный на рисунке и заданный точками (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):

Площадь этого многоугольника:

Объяснение названия[править | править код]

Формула называется «формулой шнурков» из-за общего метода, используемого для её вычисления. Этот метод использует матрицу. В качестве примера возьмём треугольник с вершинами (2, 4), (3, −8), (1, 2). Затем построим следующую матрицу, «обходя вокруг» треугольника и заканчивая начальной точкой:

Сначала проведём диагональ вниз и вправо косой чертой, как показано ниже:

и перемножим пары чисел, соединённых чертой, а затем сложим все суммы:

(2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6.

Сделаем то же самое, проводя косую черту по диагонали вниз и влево, как показано ниже:

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8.

Затем вычтем сумму второй группы из первой и возьмём модуль:

|(−6) − (8)| = 14.

Деление результата на два даёт площадь.
Организация чисел в матрицу с диагональными линиями упрощает запоминание формулы.
В результате проделанной операции с рисованием диагональных (косых) линий матрица с числами напоминает зашнурованную обувь, отсюда и происходит название «алгоритма шнурования».

Хорошее описание “Шнуровки Гаусса” представлено в видео на канале Wild Mathing [1]

См. также[править | править код]

• Планиметр
• Теорема Грина

Примечания[править | править код]

Невероятный алгоритм, который я, за свои 30 лет нигде и никогда раньше не встречал. Решил поделиться с Вами, надеюсь, будет интересно!

Давненько не было математики… один космос, да космос. А ведь раньше на канале было полным полно математики, а теперь что?.. Но, этому есть объяснение. Полгода назад стал папкой сразу двух сыновей, и сами понимаете, времени для творчества совсем мало, прям критически мало.

Так вот, что там с формулой Гаусса?

Давайте представим, что у нас есть треугольник с координатами вершин (1,1), (5,2), (2,5) и стоит задача найти его площадь.

Выписываем координаты вершин в 2 столбца, начиная двигаться по контуру треугольника против часовой стрелки. В левый столбец – координата “х”, в правый – координата “у”. Последняя координата в конце повторяется.

Далее, перемножаем столбцы между собой. Для начала, берем “Зеленое” направление, а затем “красное”.

Этот алгоритм называют “Шнуровкой Гаусса”, просто посмотрите на внешний вид…

Итак, перемножаем координаты и складываем. Должно в итоге получится 2 числа:

Площадь фигуры находится как половина разности 29-ти и 14-ти.

Проверить данное число крайне просто, учитывая, что все построения я выполнял в CAD системе (1 ед = 10мм).

По этому же принципу можно вычислить площадь любого многогранника. Достаточно просто знать координаты.

Вот вам примерчик “на дом” для тренировки. Попробуйте вычислить площадь, и делитесь ответами в комментариях!

Подписывайтесь и ставьте лайки, если было интересно!

Калькулятор ниже был написан для решения частной задачи расчета площади выпуклого четырехугольника по координатам его вершин. Он только обобщает эту задачу до задачи расчета площади любого выпуклого многоугольника вообще. Собственно, на сайте уже был подобный калькулятор Площадь многоугольника, но там требовалось вводить длины сторон и диагоналей, а это несколько труднее, чем вводить только координаты вершин.

Принцип работы остается таким же – многоугольник разбивается на непересекающиеся треугольники, подсчитывается площадь всех треугольников (это легко сделать зная длины всех трех сторон – Расчет площади треугольника по формуле Герона), затем площади суммируются. Основная проблема была в том, чтобы сделать его устойчивым к ситуации, когда точки вводят не по порядку. Предположим, сначала вводят первые четыре точки получая фигуру на рисунке ниже

При добавлении следующей точки, например, так, как на следующем рисунке

должен уже получиться многоугольник ADCBE, а не ABCDE, разбитый на треугольники ADC, ACB и ABE, соответственно.

Чтобы получить правильный многоугольник, фактически требуется получить оболочку введенных точек. Для этого калькулятор использует алгоритм Джарвиса (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка), который определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества. Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей.

Алгоритм работает за время , где n — общее число точек на плоскости, h — число точек в выпуклой оболочке. Для выпуклого многоугольник соответственно будет . Не самый оптимальный алгоритм, зато очень простой, и для этого калькулятора вполне производительный.

Как пользоваться калькулятором: начинаете вводить координаты точек выпуклого многоугольника. Начиная с трех точек алгоритм Джарвиса будет стоить обтягивающий контур, затем контур будет разбиваться треугольники и подсчитываться общая площадь. Для справки также будут выводиться площади всех треугольников.

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника. На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника, заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами и . То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

Рис1

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна (она больше нуля, так как пара , ориентирована положительно).  Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О.

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника нужно сложить ориентированные площади треугольников

Рис. 2

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Площадь треугольника будет равна половине этой площади:

В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек.

Пусть (х₁, y₁), (x₂, у₂), …, (х_N,у_N) —координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки. Тогда его ориентированная площадь S будет равна:

Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе.

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S,вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необхо­димо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Program geom6;
Const n_max=200; {максимальное количество точек+1}

type b=record
         x,y:real;
       end;
     myArray= array[1..n_max] of b;
var input:text;
    A:myArray;
    s:real;
    i,n:integer;

procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray);
{Заполнение массива }
begin
  assign(input,'input.pas');
  reset(input);
  readln(input, n);
  for i:=1 to n do
    read(input, a[i].x,a[i].y);
  close(input);
end;

function Square (A:myarray): real;
{Вычисление площади многоугольника}
var i:integer;
     S: real;
begin
   a[n+1].x:=a[1].x;    a[n+1].y:=a[1].y;
   s:=0;
   for i:=1 to n do
      s := s + (a[i].x*a[i+1].y - a[i].y*a[i+1].x);
   s:=abs(s/2);
   Square := S
end;  {Square}
begin {main}
   Zapmas(n, a);
   PrintMas(a);
   S:= Square(a);
   writeln('S= ',s:6:2);

end.

Координаты вершин считывается из файла input.pas.,  хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями.  Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.

Мы решили задачу о нахождении площади многоугольника по координатам его вершин. Задачи усложняются. Если у вас есть замечания к этой статье, или пожелания, напишите в комментарии. Буду Вам очень признательна за сотрудничество.

До встречи на следующем уроке.