Как найти площадь многоугольников 4 класс

План урока:

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь параллелограмма

Площадь ромба

Площадь трапеции

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть в прямоугольном треугольнике известны два его катета. Обозначим их буквами а и b. Как тогда вычислить площадь такого треуг-ка?

Прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника:

Площадь получившегося прямоугольника равна произведению чисел а и b. С другой стороны, прямоугольник состоит из двух треуг-ков площадью S, поэтому его общая площадь составляет 2S. Тогда можно записать, что

Задание. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины 3 и 4. Определите его площадь.

Решение. Просто подставляем в формулу вместе букв a и b числа 3 и 4:

Задание. Площадь прямоугольного треугольника равна 100, а один катет больше другого вдвое. Найдите оба катета.

Решение. Пусть меньший катет равен х, тогда больший катет будет равен 2х. Выразим площадь прямоугольного треугольника через х:

Естественно, нас интересует только положительный корень, а отрицательный можно отбросить:

x = 10

Меньший катет оказался равным 10, тогда больший катет, который вдвое больше, будет равен 20.

Ответ: 10; 20.

Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Сторона каждой клеточки имеет длину, равную единице:

Решение. Эту фигуру можно разбить на квадрат со стороной 8 и два прямоугольных треуг-ка, то есть всего на три фигуры:

Подсчитаем площадь каждой из трех фигур по отдельности:

Чтобы найти площадь всей фигуры, достаточно просто сложить три полученных числа:

Задание. Вычислите площадь треуг-ка, изображенного на рисунке (площадь каждой отдельной клеточки составляет единицу):

Решение. Здесь проблема заключается в том, что треуг-к прямоугольным не является. Однако можно построить прямоуг-к, который будет состоять сразу из 4 треуг-ков:

Мы можем найти как площадь всего прямоугольника (обозначим ее как S), так и площади трех прямоугольных треуг-ков S₁, S₂ и S₃:

Площадь произвольного треугольника

Перейдем к более сложному случаю, когда необходимо подсчитать площадь произвольного треугольника, не являющегося прямоугольным. Предположим, надо найти площадь произвольного ∆АВС. Опустим из А на сторону ВС высоту АН:

В результате мы получили два прямоугольных треуг-ка, ∆АВН и ∆АCН. Мы уже знаем, как найти их площади:

Общая площадь всего ∆АВС равна сумме площадей ∆АВН и ∆АСН. Запишем ее и вынесем общий множитель АН/2 за скобки:

В скобках стоит сумма ВН + НС. Но ведь эта сумма равна длине стороны ВС! Тогда окончательно формулу можно записать в виде:

Получили, что для вычисления площади произвольного треугольника надо сначала умножить его высоту на сторону, на которую она падает, а далее поделить результат на 2. Однако для полного доказательства этого факта надо рассмотреть особый случай, когда высота в треуг-ке падает не на сторону, а на ее продолжение (такая ситуация возникает в тупоугольном треуг-ке):

На рисунке снова получились всё те же прямоугольные треуг-ки ∆АСН и ∆АВН. Запишем формулы их площади:

Отличие в том, что на этот раз площадь АВС можно вычислить не как сумму, а как разницу этих площадей:

Итак, можно сформулировать следующее правило:

Примечание. Часто сторону, на которую опущена высота, называют основанием треуг-ка.

Задание. Вычислите площадь ∆АВС, если сторона АВ имеет длину 7, а высота СН равна 4.

Решение. В данной задаче на сторону длиной 7 падает высота длиной 4. Надо просто подставить эти числа в формулу:

Задание. Докажите, что медиана треуг-ка разбивает его на два равновеликих треуг-ка.

Решение.

Пусть в ∆АВС проведена медиана СМ. Требуется доказать, что

Важно заметить, что СН будет являться высотой не только для ∆АВС, но также и для ∆СВМ и ∆САМ. Обозначим СН как h, а АВ как а. Тогда мы можем найти длины отрезков ВМ и АМ, ведь медиана делит сторону АВ пополам:

Получили одно и то же значение, то есть площади треуг-ков равны.

В рассмотренной задаче мы использовали тот факт, что у нескольких треуг-ков может быть общая высота. Общая высота используется и в многих других геометрических задачах.

Задание. Предложите способ, как разделить треуг-к, показанный на рисунке, на три равновеликих треуг-ка:

Чтобы треуг-ки были равновелики, достаточно, чтобы у них была общая высота, а основания, на которые эта высота падает, были бы равны друг другу. Поэтому можно просто поделить нижнюю сторону на три одинаковых отрезка (длиной по 7 клеток) и соединить концы полученных отрезков с противоположной вершиной:

Красной линией здесь показаны границы треуг-ков, а штриховой – их общая высота СН. Вычислить площадь каждого из треуг-ков можно по следующим формулам:

Но отрезки BD, DE и EA одинаковы (по 7 клеточек), поэтому одинаковы будут и площади:

Заметим, что необязательно делить на три одинаковых отрезка именно нижнюю сторону. Допустимы и два других варианта решения:

Но и это не единственные решения задачи. Попробуйте самостоятельно предложить ещё несколько вариантов.

Формула площади треуг-ка показывает, что между длинами высот и сторон есть взаимосвязь.

Задание.В ∆РЕТ РЕ = 72, ЕТ = 45. Высота ТН имеет длину 40. Найдите высоту РМ.

Решение.

Зная ТН и РЕ, мы сможем найти площадь треуг-ка:

Теперь запишем эту формулу площади в ином виде, когда используется высота МР и сторона ЕТ

Величину S_РЕТ мы только что вычислили, а длина ЕТ известна из условия, поэтому можно подставить их в формулу:

Площадь параллелограмма

Для вычисления площади параллелограмма введем понятие «высота параллелограмма». Так называют перпендикуляр, опущенный на сторону параллелограмма (ее в такой ситуации часто называют основанием) из одной из вершин параллелограмма. Важно понимать, что высоты могут упасть не на само основание, а на его продолжение. Так как у каждого параллелограмма есть 4 вершины, а из каждой из них можно опустить высоту на две противоположных вершины, то всего у параллелограмма должно быть 8 высот:

На рисунке синим показаны высоты параллелограмма, а красным цветом отмечены продолжения оснований. Оказывается, что площадь параллелограмма равна произведению его высоты и основания, на которую она опущена. Докажем это.

Опустим в параллелограмме АВСD высоты ВН и СК:

В результате получили четырехуг-к ВНКС, который является прямоугольником, ведь все его углы прямые. Очевидно, что ∆АВН и ∆DCK равные. Это можно доказать тем, что они являются прямоугольными, у них есть одинаковые гипотенузы АВ и CD (они равны как противоположные стороны параллелограмма) и одинаковые катеты ВН и СК (это уже противоположные стороны прямоугольника ВНКС).

Раз они равны, то одинаковы и их площади:

Но величину S₃ можно заменить на S₂. В свою очередь полученная сумма равна площади прямоугольника ВНКС, которая может быть вычислена как произведение его смежных сторон:

Но ВН – это высота, а НК – основание параллелограмма. То есть мы доказали следующее утверждение:

Задание. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке:

Решение. По рисунке несложно определить длину как основания, так и высоты параллелограмма:

Далее надо просто перемножить эти длины:

Примечание. Конечно, если вы вдруг забыли формулу площади параллелограмма, можно просто разделить его на прямоугольник и два прямоугольных треуг-ка:

Дальше можно просто посчитать по отдельности S₁, S₂и S₃, после чего сложить их. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Задание. Площадь параллелограмма равна 162 см², а одна из его высот вдвое короче основания, к которому она проведена. Найдите эту высоту и основание.

Решение. В данной задаче не потребуется даже рисунок. Обозначим высоту буквой h, тогда основание, которое вдвое длиннее, составляет 2h. Произведение этих чисел – это площадь, то есть оно равно 162:

Высота равна 9, а основание будет вдвое больше, то есть его длина равна 18.

Ответ: 9 и 18.

Задание. Смежные стороны параллелограмма ABCD имеют длину 12 и 14 см, а угол между ними равен 30°. Вычислите его площадь.

Решение. Опустим на сторону длиной 14 см высоту:

Для вычисления площади надо сначала найти высоту ВН. Её можно определить из ∆АВН. Он является прямоугольным, а его острый угол∠А = 30°. У такого треуг-ка катет, лежащий против 30°, вдвое меньше АВ:

Площадь ромба

Многие четырехуг-ки, изученные нами ранее, являются частными случаями параллелограмма. Для прямоугольника и квадрата мы уже знаем формулы вычисления площади. Осталось разобраться с ромбом. Ясно, что его площадь можно найти также, как и у параллелограмма. Однако площадь ромба можно посчитать и зная только его диагонали.

Построим ромб и проведем в нем диагонали:

Нам уже известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения является серединой для каждой диагонали:

Получается, что диагонали разбивают ромб на 4 одинаковых прямоугольных треуг-ка. Высчитаем, к примеру, S_AOB:

В результате мы доказали следующее утверждение:

Задание. Одна диагональ ромба равна 3,2 дм, а другая составляет 14 см. Найдите его площадь.

Решение. Для начала надо перевести все длины в одинаковые единицы измерения. Заменим дециметры на сантиметры:

Задание. Одна диагональ ромба в три раза длиннее другой, а площадь фигуры составляет 150. Вычислите длину диагоналей ромба.

Решение. Обозначим меньшую диагональ как х, тогда вторая будет равна 3х. Выразим площадь через х:

Вторая диагональ ромба будет втрое длиннее, то есть ее длина равна 3•10 = 30

Ответ: 10 и 30 см.

Площадь трапеции

Осталось рассмотреть единственный известный нам вид четырехуг-ка, который не является параллелограммом. Это трапеция. Для вычисления ее площади также потребуется высота. Под ней подразумевают перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции на одно из ее оснований. Другими словами, высота трапеции – это расстояние между основаниями трапеции.

В произвольной трапеции ABCD, где АD – большее основание, опустим из В высоту (то есть перпендикуляр) на AD, а из D– высоту на ВС. Также проведем диагональ ВD:

Ясно, что общая площадь трапеции будет равна сумме площадей ∆АВDи ∆ВСD. В свою очередь площадь каждого из них можно подсчитать по стороне и опущенной на нее высоте. Высоты мы как раз и провели, это ВН и DK, поэтому можно записать:

Теперь заметим, что отрезки ВН и КD одинаковы, ведь фигура ВНDК является прямоугольником. Тогда площадь ∆ВСD можно записать в таком виде:

В итоге мы доказали, что для вычисления площади трапеции следует ее высоту умножить на сумму длин оснований, после чего поделить результат на два. Обычно этот факт записывают следующим образом:

Задание. У трапеции АВСD основаниями являются АВ (21 см) и CD (17 см). Высота ВН составляет 7 см. Найдите площадь трапеции.

Решение. Это простая задача на использование формулы площади трапеции:

Задание. Найдите площадь прямоугольной трапеции, показанной на рисунке (площадь клеточки равна единице):

Решение. На рисунке показана прямоугольная трапеция. Её высота равна длине ее правой боковой стороны трапеции. Покажем размеры, необходимые нам для выполнения расчета:

Считаем площадь:

Задание. Тупой угол равнобедренной трапеции составляет 135°. Проведенная из этого угла высота делит противолежащее основание на отрезки длиной 14 и 34 см. Какова площадь трапеции?

Решение. Выполним построение:

Найдем острый угол трапеции. Так как CD||АВ, то

Рассмотрим ∆АDH. Он прямоугольный, а один из его острых углов равен 45°. Тогда и второй острый угол также равен 45°. То есть это равнобедренный треуг-к. Это помогает найти длину высоты DH:

ведь это прямоугольныетреуг-ки с равными гипотенузой и катетом:

Из равенства треуг-ков следует, что

Итак, сегодня мы узнали, как вычислять площади треуг-ков и некоторых видов четырехуг-ков. В большинстве случаев предварительно необходимо найти высоту в многоугольнике. В будущем мы узнаем ещё несколько формул для вычисления площадей фигур.

Подобные задачи очень часто встречаются в Едином Государственном Экзамене по математике. Решение совершенно несложное. Нужно описать вокруг многоугольника прямоугольник и вычесть из его площади всё лишнее. Так как все вершины находятся в узлах с целочисленными координатами сетки, проблем в этом нет никаких. Площади прямоугольников и прямоугольных треугольников посчитать несложно. Однако это весьма долго и кропотливо.

Единичный квадрат — это квадрат со стороной 4 клеточки. Надо найти площадь многоугольника. Сможете найти её за 15 секунд в уме?

Есть весьма быстрый способ нахождения площади, который почему-то мало кто знает. По идее в школе о нём должны рассказывать, но… должны, да не обязаны, как говорится. А ещё учитель может и рассказывал, а ученик мог не услышать.

Знаете, был у меня такой случай. Приходит ко мне парень заниматься. Спрашиваю у него формулы сокращенного умножения, а он мне говорит:

— А мы не проходили?

— Как это не проходили? Это вам точно рассказывали! — говорю я.

— Наверное, я болел в это время.

То есть человек не удосужился прочитать учебник по тем темам, которые пропустил. Это как? Он рассчитывает на то, что раз он болел на этих темам, на экзамене их у него тоже не будут спрашивать? Или он думал, что учитель будет за ним бегать и умолять, чтобы он послушал пропущенную тему?

В общем, раз уж находятся люди, которые не шибко переживают, что не знают формул сокращенного умножения, которыми пользуешься постоянно, то что уж говорить о формуле, которой в школе вообще не пользуются. Даже если про неё и рассказывали, у большинства она просто стерлась из памяти. Это формула Пика.

Она придумана и доказана австрийским математиком Георгом Пиком как раз для таких случаев, когда надо найти площадь многоугольника, а координаты всех вершин целочисленные (то есть вершины лежат в узлах координатной плоскости).

Формула до банальности простая: S=В-1+Г:2, где В — это количество узлов координатной плоскости внутри фигуры, а Г — это количество узлов на границе многоугольника.

Давайте отметим точки на границе и внутри, посчитаем их, подставим в формулу и получим ответ.

Розовых точек — 14, то есть Г=14. Внутренних точек — 12, то есть В=12. Подставляем в формулу и получаем S=12-1+14:2=11+7=18. Вот и вся задачка. Решается в уме за 15 секунд. Самое сложное — не ошибиться в подсчете точек. Задача уровня 2 класса. Можете, кстати, посчитать площадь традиционным способом, сравнить результаты и время, затраченное на решение.

Надо только не забывать о том, что эта формула работает лишь тогда, когда вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Так что обычные формулы площади забывать все-таки не стоит.

Для тех, кто только что подключился, напоминаю, что у меня появился Ютуб-канал, заходите и подписывайтесь.

Ещё интересно: Немцы решают эту задачу в уме за 30 секунд, а российские выпускники на ЕГЭ обычно тратят кучу времени на неё. Формула Пика

Задачка для дошкольников поставила в тупик пользователей Twitter и Facebook

Задача на внимательность для взрослых и детей. Сколько треугольников видишь на рисунке

Цели:

• обучающие: научить учащихся находить площадь
  многоугольника, используя выбранные ими способы,
  сформировать начальные представления 
• многоугольнике, графические и измерительные
  навыки;
• развивающие: развитие способов умственной
  деятельности учащихся при выполнении заданий от
  наблюдения, расчетов до выяснения
  закономерностей вычисления площади
  многоугольника;
• воспитывающие: раскрытие субъективного опыта
  учащихся, поощрение действий, стремлений
  учащихся как основы воспитания положительных
  качеств личности;
• методическая: создание условий для проявления
  познавательной активности учащихся.

Оснащение урока:

1. Оформление доски: слева – фигуры многоугольника,
   справа – чистое полотно доски для записи на уроке,
   в центре – многоугольник-прямоугольник.
2. Листок “К исследованию”.
3. Инструментарии учителя и учащихся (мел, указка,
   линейка, листок исследования, фигуры, ватман,
   маркер).

Метод урока:

• По взаимодействию учителя и учащихся –
  диалог-общение;
• По способу решения задач – частично-поисковый;
• По способу умственной деятельности – (СУД)
  развивающее обучение.

Форма урока – фронтальная, в парах,
индивидуальная.

Тип урока – урок усвоения новых знаний, умений и
навыков.

Структура урока – постепенное углубление в
тему, гибкая, диалогическая.

Ход урока

Приветствие.

Урок прекрасен и приносит радость, когда мы
мыслим, дружно работаем. Сегодня мы будем
рассматривать фигуры, определять их названия,
думать, искать и находить решения. Пожелаем друг
другу успешной работы.

Актуализация знаний.

Рассмотрите фигуры (на доске многоугольники).

Они все вместе. Почему? Какой у них общий
признак? (Многоугольники).

Назовите этот многоугольник (5-угольник,
6-угольник…)

Может быть, вы знаете, что такое площадь
многоугольника?

Тогда покажите на одной из фигур.

(Обобщение учителем: площадь – часть плоскости
внутри замкнутой геометрической фигуры.)

В русском языке это слово имеет несколько
значений.

(Ученик по словарю знакомит со значениями.)

1. Часть плоскости внутри замкнутой
   геометрической фигуры.
2. Большое незастроенное и ровное место.
3. Помещение для какой-либо цели.

Какое из значений используется в математике?

В математике используется первое значение.

(На доске фигура).

Это многоугольник? Да.

Назовите фигуру по-другому. Прямоугольник.

Покажи длину, ширину.

Как найти площадь многоугольника?

Запишите при помощи букв и знаков формулу.

S = а * в

Если длина нашего прямоугольника 20 см, ширина
10см. Чему равна площадь?

Площадь равна 200 см²

Подумайте, как приложить линейку, чтобы фигура
разделилась на:

1. Два треугольника
2. Два четырехугольника
3. Треугольник и четырехугольник
4. Треугольник и пятиугольник

Увидели, из каких частей состоит фигура? А
теперь, наоборот, по частям соберем целое.

( Части фигуры лежат на партах. Дети собирают из
них прямоугольник ).

Сделайте вывод по наблюдениям.

Целую фигуру можно разделить на части и из
частей составить целую.

Дома на основе треугольников и
четырехугольников составляли фигуры, силуэты.
Вот какие они получились.

(Демонстрация рисунков, выполненных дома
учащимися. Одна из работ анализируется).

Какие фигуры использовал? У тебя получился
сложный многоугольник.

Постановка учебной задачи.

На уроке мы должны ответить на вопрос: как найти
площадь сложного многоугольника?

Для чего человеку нужно находить площадь?

(Ответы детей и обобщение учителем).

Задача определения площади возникла из
практики.

(Показывается план школьного участка).

Для того чтобы построить школу, сначала создали
план. Потом разбивалась территория на участки
определенной площади, размещались строения,
клумбы, стадион. При этом участок имеет
определенную форму – форму многоугольника.

Решение учебной задачи.

(Раздаются листы для исследования).

 

Перед вами фигура. Назовите ее.

Многоугольник, шестиугольник.

Найдем площадь многоугольника. Что для этого
надо делать?

Разделить на прямоугольники.

(При затруднении будет другой вопрос: “Из каких
фигур состоит многоугольник?”).

Из двух прямоугольников.

С помощью линейки и карандаша разделите фигуру
на прямоугольники. Обозначьте цифрами 1 и 2
полученные части.

Проведем измерения.

Найдем площадь первой фигуры.

(Учащиеся предлагают следующие варианты
решений и записывают их на доске).

1способ:

• S₁ = 5 ? 2 = 10 см²
• S₂ = 5 ? 1 = 5 см²

Зная площадь частей, как найти площадь целой
фигуры?

S = 10 + 5 = 15 см²

2 способ:

• S₁ = 6 ? 2 = 12 см²
• S₂ = 3 ? 1 = 3 см²
• S = 12 + 3 = 15 см².

Сравните результаты и сделайте вывод.

Проследим наши действия

Как находили площадь многоугольника?

Составляется и записывается на плакате
алгоритм:?

1. Делим фигуру на части

2. Находим площади частей этих многоугольников (
S₁, S₂ ).

3. Находим площадь целого многоугольника ( S₁
+ S ₂ ).

Проговорить алгоритм.

( Несколько учащихся проговаривают алгоритм).

Мы нашли два способа, а может, есть еще?

А можно фигуру достроить.

Сколько прямоугольников получилось?

Два.

Обозначим части 1 и 2. Проведем измерения.

Найдите площадь каждой части многоугольника.

• S₁₌6? 5=30см²
• S₂= 5 ? 3 = 15 см²

Как найти площадь нашего шестиугольника?

S = 30 – 15 = 15 см²

Составим алгоритм:

Достроили фигуру до прямоугольника

Нашли S₁ и S₂.

Нашли разность S₁ – S₂.

Сравните два алгоритма. Сделайте вывод. Какие
действия одинаковые? Где разошлись наши
действия?

Закройте глазки, опустите головки. Мысленно
повторите алгоритм.

Мы провели исследовательскую работу,
рассмотрели разные способы и теперь можем
находить площадь любого многоугольника.

Проверка результативности.

Проверьте себя.

Перед вами многоугольники.

Найти площадь одной фигуры по выбору, при этом
можете пользоваться разными способами.

Работа выполняется самостоятельно. Дети
выбирают фигуру. Находят площадь одним из
способов. Проверка – ключ на доске.

Что можно сказать о форме? ( Форма разная)

А какова площадь этих многоугольников? (
Площади этих многоугольников равны)

Оценивают результаты.

У кого правильно – поставь “+”.

У кого сомнения, затруднения – “?”

Консультанты оказывают помощь ребятам, ищут
ошибки, помогают исправить.

Домашнее задание:

Составить свои листки исследования, вычислить
площадь многоугольника разными способами.

Итог урока.

Итак, ребята, что вы расскажите родителям, о том
как найти площадь геометрической фигуры –
многоугольника.

Урок
математики

4
класс

Программа
РО    Д. Б. Эльконина –  В. В. Давыдова

Тема урока: «Площадь
многоугольника»

Цели:

1) сконструировать способ определения
площади многоугольника;

2) сформировать умения и навыки
определения площади любого треугольника;

3) развивать умение рационального решения
задачи.

Планируемые результаты.

Предметные:

-умения составлять
формулы периметра и площади

 любого
многоугольника и использовать их при решении задач;

-умения вычислять
периметры различных плоских фигур;

-умения использовать
различные способы вычисления площади любого многоугольника.

Метапредметные:

-готовность
ученика целенаправленно знания в повседневной жизни для исследования
математической сущности предмета, события, явления;

-способность
регулировать познавательную и учебную деятельность;

-способность
осуществлять информационный поиск.

Личностные:

-способствовать
развитию интереса к математике;

-развивать
адекватную самооценку.

Оборудование:

1) индивидуальные конверты с раздаточным
материалом;

2) демонстрационные геометрические фигуры;

3) карточки с формулами периметра и
площади многоугольников.

Ход
урока.

I.   
Этап создания «ситуации успеха».

1) Фиксация благоприятного морально –
психологического климата.

– Мне приятно работать вместе с вами.

2)   Математический диктант.

Учитель показывает геометрические фигуры. 
Дети называют фигуры и записывают формулы периметра этих фигур.

Квадрат                                                               P
= a
× 4

Прямоугольник                                             
   P
= ( a
+ b)
× 2

Правильный шестиугольник                        
P
= a
× b

Правильный треугольник                             
P
= a
× 6

Равнобедренный треугольник                    
P
= a
× 2 + b

Прямоугольный треугольник                       
P
= a
+ b
+ c

Параллелограмм                                             
P
= a
× 2 + b
× 2

Трапеция                                                            
P = a × 2 + b + c

Дельтоид                                                            
P = a × 2 + b × 2

Четырёхугольник                                              
P
= a
+ b
+ c
+ d

3) Проверка. Взаимопроверка.

Вывод:   

                Что такое периметр?

                Надо ли запоминать формулу
периметра?

                В каких единицах
измеряется периметр?

II 
Подготовка к возникновению ситуации «интеллектуального разрыва».

1.  
– Чем отличаются все многоугольники? (площадью)

      – Площади каких фигур вы умеете
находить? (прямоугольника и правильного треугольника)

2.    
Найдите в конвертах два прямоугольника.

      – Как самым простым способом
сравнить их площади? (наложить друг на друга)

       – А если оба прямоугольника будут
начерчены в тетради или в учебнике? (измерить длину и ширину)

        – Сколько измерений потребуется
сделать? (два)

        – Как определить площадь
прямоугольника? 

                S(пр.)
= a
× b               Сравните:   P(пр.)
= ( a
+ b
) × 2

3.  
– Как определить площадь прямоугольного треугольника? (измерить стороны )

       – Сколько измерений потребуется
сделать? (два)

       –  Какие стороны измеряли? (катеты)

       – Как определить площадь
прямоугольного треугольника?

               S (тр.)=
( a × b) : 2           Сравните:  
P(тр.) = a + b + c

       – В каких единицах
измеряется площадь?

III. 
Создание ситуации «интеллектуального разрыва».

     – Как определить площадь
шестиугольника?

     – Можно ли площадь
шестиугольника представить суммой площадей прямоугольников и треугольников?

 

     – Сможете ли вы определить площади
шестиугольников?

Разрыв!     (Нет.
Треугольники не прямоугольные) 

                                                          
?             ?

 Зафиксируем проблему:       S(тр.) =  (
a × b ) : 2 

  Сформулируем задачу: 

Нужно научиться определять площадь
любого треугольника.

Физминутка.

У меня спина прямая,

Я наклонов не боюсь.

Выпрямляюсь, прогибаюсь,

Поворачиваюсь.

Я хожу с осанкой гордой,

Прямо голову держу.

Никуда я не спешу.

      IV. 
Конструирование способа нахождения площади любого треугольника.

1)   Найдите в наборе остроугольный и
тупоугольный треугольники.

    Перечертите в тетрадь остроугольный
треугольник.

   – Можно ли разделить его на два
прямоугольных?

  Способы деления:

I
способ:   а) перегнуть под прямым углом;

                   б) опустить линию под
прямым углом.

    -Как же найти площадь остроугольного
треугольника? (сложить площади двух прямоугольных треугольников, которые
получились при делении)

II
способ:   достроить до прямоугольника.

h                                                                             
h

                  a                                      
a

    – Сколько в этом прямоугольнике
треугольников?

    – Можно ли определить площадь
прямоугольника? Найдите длину и ширину этого прямоугольника. Назовите их.

a –
основание треугольника

h 
–  высота треугольника

S (тр.)
= S (пр.) : 2                 S (тр.)=
(a × h ) : 2

        Вычислите площадь своего
треугольника.

2)   Аналогично, объясните как найти
площадь тупоугольного треугольника.

 (Учебник математики Э.И. Александровой 4
класс, с. 40, № 53, 54)

V.   
Нахождение рационального способа определения площади шестиугольника.

Назовите более удобный способ нахождения
площади шестиугольника. (Удобнее тот, где меньше измерений, т.е. III
способ. Но нудно построить высоту.)

Высоту можно построить с помощью
угольника.

VI.  
Закрепление изученного способа. Определение площади
треугольников из раздаточных материалов

   a 
=                                           
S(тр.) = ( a × h) : 2

   h  =                                         
S(шестиуг.) = 6 × S(тр.)

VII/ Рефлексия.

VIII. 
Домашнее задание.

     Определить площадь своего многоугольника.

IX. 
Подведение итогов.

   Главное уметь определять площадь
треугольника.