|
Площадь фигуры (треугольник, четырёхугольник, трапеция и др.) по клеточкам (клеткам). Какие есть формулы?
Есть способ, при котором надо воспользоваться формулой, основой которой будет понятие узла, узла внутреннего и узла внешнего. Узел это пересечение линий, образующих эти самые клеточки. Внешние узлы, это узлы, находящиеся на сторонах и вершинах геометрических фигур, площади которых нам надо найти. А внутренние узлы, это узлы внутри этих фигур. Клеточки у нас со сторонами равными одному сантиметру (1 см). Формула, о которой идет речь, называется формула Пика. Выглядит она вот так:
И по ней очень просто посчитать площадь фигуры S. В этой формуле M это количество внешних узлов, N – количество внутренних узлов. Приведем пример, возьмем геометрическую фигуру параллелограмм:
Внутренние узлы – синие – N – их у нас 20. Внешние узлы – красные – М – их у нас 18 и их количество нам надо поделить на два, получится 18/2 = 9 узлов. Складываем 9 + 20 и вычитаем единицу: 20 + 9 – 1 = 28 см². Еще один пример:
S = 14/2 + 43 – 1 = 49 см². система выбрала этот ответ лучшим
Ксарфакс 6 лет назад Допустим, у нас есть произвольная фигура, построенная на листе в клетку. Необходимо вычислить её площадь. Площадь фигуры по клеточкам Для того, чтобы найти площадь любой фигуры по клеточкам, можно использовать формулу Пика. Данная формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе. Узел – это точка, которая лежит на пересечении 2 линий данной сетки: вертикальных и горизонтальных. Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле:
N – количество узлов, которые находятся внутри фигуры. M – количество узлов, которые находятся на границах (на вершинах и сторонах). Примеры нахождения площади по клеточкам 1) Найдём площадь треугольника. Будем считать, что одна клетка – это 1 см. Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах.
N = 7 (внутренние). M = 8 (узлы на границах). Площадь треугольника S = 7 + 8/2 – 1 = 10 см². 2) Найдём площадь трапеции по клеточкам, одна клетка – это 1 см. Отметим все узлы и подсчитаем их количество.
N = 11 (внутренние). M = 12 (узлы на границах). Площадь трапеции S = 11 + 12/2 – 1 = 16 см². 3) Найдём площадь произвольного многоугольника. Одна клетка – это 1 см. Отметим внутренние узлы и узлы, расположенные на границах фигуры. Подсчитаем их количество.
N = 6 (внутренние узлы). M = 8 (узлы на границах). Площадь многоугольника S = 6 + 10/2 – 1 = 10 см².
Марина Вологда 3 года назад Такие задачи очень часто встречаются, когда известен размер клеточки и дана фигура. Вот пример таких задач:
Решение зависит от того, какая фигура дана и как именно она размещена относительно клеточек. Возьмем простой пример, необходимо вычислить площадь вот такого треугольника:
Вспоминаем правило: Теперь считаем, сколько клеточек треугольник в длину и сколько в высоту. У нас получается 2 в высоту и 6 в длину. Подставляем к формуле: S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2. Считаем по клеточкам, подставляя формулу Пика:
Целых клеточек у нас 3. Теперь считаем, сколько не целых: 6. Делим их на 2. S = 3 + 6:2 = 6 см2. А теперь высчитываем по формуле Пика: количество узлов сетки внутри – 2, количество узлов сетки, лежащих на границах – 10. Подставляем к формуле и получаем – 2 + 10:2 – 1 = 6 см2. Теперь давайте рассмотрим вот такой треугольник:
Чтобы найти площадь, вспоминаем правило: Считаем клеточки и подставляем в формулу: S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2. А теперь находим по клеточкам: целых клеточек 2, не целых клеточек 8. Подставляем в формулу: 2 + 8:2 = 6 см2. Пробуем сделать по формуле Пика: количество узлов сетки внутри – 3, количество узлов сетки, лежащих на границах – 8. Подставляем к формуле и получаем – 3 + 8:2 – 1 = 6 см2.
Enot-Nina 3 года назад Найти площадь геометрической фигуры можно самыми разными способами: Самый простой вариант – это вручную посчитать клеточки – целые и половинки также поскладывать. Простой, хотя и не самый быстрый и может не самый точный способ, но он работает. Чтобы легче было считать, достаточно расчертить фигуру на более простые. Есть еще один способ – это использовать давно разработанную формулу. Это так называемая формула Пика. Для нее нужно посчитать количество узлов – точек пересечения клеточек, что окружены фигурой (находятся внутри нее), а также подсчитать количество пограничных узлов – по контуру фигуры. Вот на картинке наглядно показано, как ее можно применять, чтоб посчитать площадь любой фигуры по клеточкам:
Бархатные лапки 3 года назад Площадь любого многоугольника можно посчитать по клеточкам. Для этого применяем формулу Пика. На нашем рисунке В – количество узловых клеточек внутри фигуры, Г – количество узлов на границе . Узлы – пересечение двух линий. многоугольника. Площадь равна S = В + Г/2 – 1 Считаем точки на рисунке и подставляем в формулу. – 10 + 7/2 -1 = 12,5. Таким образом можно посчитать площадь, если вершины фигуры лежат в узлах.
Ann Luka 6 лет назад Чтобы найти площадь фигуры по клеточкам, нужно посчитать сколько в фигуре целых клеточек. Потом нужно посчитать сколько не целых и поделить их количество на 2. Добавить к получившемуся числу количество целых клеточек – это и будет правильный ответ. Например. В треугольнике 3 целых клетки и 4 не целых. 3+4/2=5 пощадь треугольника 5 клеток.
Outline 3 года назад Для того, чтобы определить площадь фигуры на бумаге в клеточку есть универсальная формула Пика, позволяющая вычислить площадь изображения, но в только в том случае, если вершины искомой фигуры имеют целые (натуральные числа) координаты. Называется эта формула, в честь Георга Пика: S=В + Г / 2 − 1 В этой формуле буквенные обозначения означают следующее: В — количество целочисленных точек внутри многоугольника; Г — количество целочисленных точек на границе (вершинах и сторонах) многоугольника; S – площадь фигуры. Здесь используется понятие “целочисленные” – это те, точки, которые расположены на пересечениях сетки (в ее узлах). Для примера, найдем площадь треугольника:
Обозначим внутренние точки нашей фигуры красными кружками, а те, что на границах – синим цветом. Считаем красные и синие точки: В=12, Г=4. Исходя из подсчетов определяем площадь треугольника по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13. Можно убедиться в правильность проведенных выше расчетах. Рассчитываем площадь квадрата, обведенного красным, и вычитаем площади зеленого, синего и фиолетового треугольников:
S квадрата равна 36, площади треугольников: синего – 6, зеленого – 2, фиолетового – 15. Исходя из полученных данных, S белого треугольника равна 13: S=36-6-15-2=13.
KritikSPb 3 года назад Подсчет клеточек – дело полезное. С их помощью можно найти площадь геометрической фигуры. Достаточно воспользоваться формулой, доказанной Георгом Пиком в 1899 году. Подходит для расчета площади фигур с прямыми сторонами и целым количеством углов, чаще всего применяют для нахождения площади разносторонних треугольников и многоугольников с числом углов больше 4-х. На теорему Пика есть задания в ЕГЭ.
127771 3 года назад Сначала я подумал, что нужно будет фигуру, которая указана на рисунке в клеточку разбить по фигурам так, чтобы можно посчитать площадь каждой фигуры по-отдельности, но оказалось все намного проще. Существует для данной задачи специальная формула Пика, которая выглядит следующим образом: Площадь = В + Г/2 – 1, где:
Теперь разберемся на примере, у нас есть такой пример:
Перед нами трапеция. Допустим площадь одной клетки 1 кв.см. Теперь можно воспользоваться формулой: 11+12/2-1=16 кв.см.
Бекки Шарп 3 года назад Найти площадь фигуры можно если вершины фигуры находятся в уголках клеточек, так называемые Целочисленные вершины или узловые точки. Решать задачу будем по формуле Пика, где
Вот такая фигура у нас –
Считаем точки и подставляем в формулу: S = 17 + 14/2 – 1 = 23 Ответ мы получаем в квадратных единицах, то есть клеточках. Знаете ответ? |
Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным
(Паскаль)
Добрый день, уважаемые гости и подписчики моего канала!
Вспомнил забавный случай, как около года назад я поспорил с дочкой, что найду площадь любого из представленных выше многоугольников за 30 секунд в одно действие, пока она будет вычислять её множеством действий, как учили в школе.
Выиграл. Дочь проспорила мороженое.
А раз вспомнил об этом, хочу рассказать и Вам, как просто в одно действие используя одну единственную формулу можно точно вычислить площадь многоугольника любой конфигурации и нет необходимости раскладывать фигуру на несколько простейших.
Но, для таких многоугольников есть одно важное условие: каждая вершина должна быть целочисленная, т.е. находиться именно в узле сетки.
Сетка – клеточная поверхность, на которой изображена фигура.
Узел – пересечение линий сетки.
Сетка может быть выполнена с любой единицей измерения, ведь площадь измеряется в квадратах выбранной единицы. Если ячейка 1х1 см., то это 1 кв.см., 1х1 м. – это 1 кв.м. и т.д.
Так вот, существует очень простая формула, которая связывает площадь любого многоугольника с количеством узлов сетки, находящихся на границах отрезков фигуры и внутри самой фигуры. Формулу вывел австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 г., в честь которого и называется она формулой (теоремой) Пика:
где:
S – площадь многоугольника;
В – количество узлов внутри фигуры (шт.);
Г – количество узлов, расположенных в вершинах и на отрезках фигуры (шт).
Чтобы стало всё понятно, приведу пример со сложным многоугольником. Нам требуется найти площадь фигуры, представленной ниже:
Теперь, считаем узлы, расположенные внутри, на вершинах и на отрезках фигуры. Это будут значения В и Г, соответственно:
Получаем, что В=16, Г=7, теперь достаточно подставить значения в формулу и получаем: S=Г/2 + В – 1 = 7/2 + 16 -1 = 18,5 кв.ед.
Готово. Площадь равна 18,5 клеток. Вы можете всё перепроверить и будете приятно удивлены!
Плюсы в том, что такая формула легко запоминается и проста в применении! Минус конечно тоже есть, как я упоминал выше – формула не дает точного результата, если хотя бы одна из вершин многоугольника находится вне узла сетки (не целочисленная).
Моя дочь уже с успехом применяет эту формулу на занятиях в школе и быстро находит ответы, хотя некоторые учителя не одобряют такой подход и всё же склоняют к классической схеме: разделить многоугольник на элементарные фигуры, вычислить их площади, пользуясь стандартными формулами и сложив их, получить результат.
Но, всё же думаю, для скорости расчетов – формула полезна. Обязательно расскажите детям!
Очень надеюсь, что статья Вам понравилась! Удачи Вам и добра!
Предлагаю несколько публикаций, которые будут Вам интересны:
Метод быстрого счета. Как в старину перемножали многозначные числа без таблиц умножения? (крестьянский метод)
Какую площадь займет все население планеты, собравшись плечом к плечу? Удивитесь, но этот участок можно объехать за 1 час
Секрет строительного угольника Свенсона. Тригонометрическая зависимость шкал и какие 4 инструмента он объединяет?
Формула Пика. Рассказ о формуле, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.
Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется, но многим материал статьи будет крайне полезен. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.
В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.
ФОРМУЛА ПИКА
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:
М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
N – количество узлов внутри треугольника
*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
Найдём площадь треугольника:
Отметим узлы:
1 клетка = 1 см
M = 15 (обозначены красным)
N = 34 (обозначены синим)
Ещё пример. Найдём площадь параллелограмма:
Отметим узлы:
M = 18 (обозначены красным)
N = 20 (обозначены синим)
Найдём площадь трапеции:
Отметим узлы:
M = 24 (обозначены красным)
N = 25 (обозначены синим)
Найдём площадь многоугольника:
Отметим узлы:
M = 14 (обозначены красным)
N = 43 (обозначены синим)
Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.
А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.
Теперь взгляните на следующие фигуры:
Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им будут на ЕГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:
Отметим узлы:
M = 11 (обозначены красным)
N = 5 (обозначены синим)
Ответ: 9,5
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотреть решение
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотреть решение
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотреть решение
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Посмотреть решение
Конечно, можно и эти «микрофигурки» дробить на более простые фигуры (треугольники, трапеции). Способ решения выбирать вам.
Рассмотрим подход оговоренный в статье “Площадь четырёхугольника. Универсальный способ“.
Найдём площадь фигуры:
Опишем около неё прямоугольник:
Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:
Ответ: 4,5
В будущем будем рассматривать задания на нахождение площади, связанные с окружностями построенными на листе в клетку, не пропустите! На этом всё. Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Почему бы просто не считать клеточки?
Возможно, вы читаете всё это и думаете: зачем все эти сложности? Формулы запоминать. Дорисовывать. Тут ведь сразу видно, сколько клеточек в фигуре.
Вот, например, трапеция:
Посчитаем клеточки: их всего 46, верно?
Но стоп, там же некоторые из них только наполовину внутри фигуры. Отметим их – всего таких 10. Итого, 36 полных (красные точки) и 10 половинчатых, вместе ( 36+frac{10}{2} = 41)
Вроде бы всё верно. Но, если присмотреться, можно заметить ещё маленькие треугольнички, которые попали внутрь. А также, что «синие» клеточки слева на самом деле разрезаны не ровно пополам – какие-то чуть больше, какие-то меньше…
Как всё это учитывать?
Попробуем рассуждать так: заметно, что тот маленький розовый треугольник дополняет серый кусок клетки.
А жёлтые сколько занимают? Постарайтесь ответить сами.
Если всё сделать правильно, то увидите, что жёлтые кусочки можно сложить вместе в одну целую клетку.
Итак, 2 жёлтых куска = 1 клетка.
Розовый треугольник + серый кусок = 1 клетка. Всего у нас две таких пары (розовый+серый) – это 2 полных клетки.
Всё остальное как было: 36 полных клеток и 6 половинок у правой стороны – это ( 36+frac{6}{2}=39) клетки.
Итого клеток: ( 1 + 2 + 39 = 42).
Проверим результат по формуле площади трапеции: нижнее основание 11, верхнее основание 3, высота 6. Полусумма оснований равна 7, умножаем на высоту – получилось 42. Всё совпало.
Но! Настолько ли проще был наш способ подсчёта клеточек? Не сказал бы. А если там будет несколько косых линий, то вообще можно замучиться собирать этот паззл (искать, какие кусочки друг друга дополняют).
Вычислите площадь простых фигур тремя способами
Стороны клеток равны 1. Вычислите самостоятельно площадь фигуры всеми тремя способами. Сравните результаты.
Вычислите площадь произвольных фигур по формуле Пика
Вычислите самостоятельно площади фигур с помощью формулы Пика:
Посчитайте площадь корабля и котика по формуле Пика
Посчитайте самостоятельно для тренировки и чтобы запомнить формулу Пика!
Фигуры с отверстиями — посчитайте площади двумя способами
Ну и напоследок фигуры с «дырками». Как думаешь, здесь придётся вычислять сначала площадь целой фигуры, а потом площадь дырки?
Или достаточно просто посчитать точки внутри закрашенной области и на её границах (в том числе, на границе с дыркой)?
Проверим на простом примере: это квадрат ( 4times 4), и в нём вырезан прямоугольник ( 1times 2), значит, его площадь ( 16-2=14).
А теперь по точкам. На границах (включая внутренние) ( Г = 22). Внутри ( В = 3). Тогда площадь по формуле Пика
( S = frac{22}{2} + 3 -1 = 13.)
Хм, близко, но не совпало. Может, я где-то ошибся? Давай ещё одну фигуру, для верности.
Сосчитай сам и проверь.
Что получилось?
У меня снова на 1 меньше.
Так может быть просто формулу немного «подкрутить»? Нет!
Очень и очень не рекомендую вам запоминать несколько похожих формул для похожих случаев, потому что придёт время, и вы обязательно перепутаете формулу.
Даже если вы уверены, что не перепутаете, оно всё равно того не стоит. В общем, наилучший вариант – это запомнить одну формулу. А если попалась фигура с дыркой, вычислить всю фигуру, а потом дырку. И вычесть.
Площадь поверхности пирамиды
Для пирамиды тоже действует общее правило:
Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}={{S}_{боков.пов. }}+{{S}_{основания }})
Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.
Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle {{S}_{ASB}}).
И тогда
( displaystyle {{S}_{полн. пов. }}=3{{text{S}}_{ASB}}+{{text{S}}_{text{осн}.}})
Вспомним теперь, что
( displaystyle {{S}_{осн}}) — это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).
И еще вспомним, как искать эту площадь.
Используем формулу площади:
( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma ).
У нас «( displaystyle a)» — это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).
Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).
Теперь найдем ( displaystyle {{S}_{Delta ASB}}).
Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим
( displaystyle {{S}_{Delta ASB}} = frac{1}{2}asqrt{b^2-frac{a^2}{4}})
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:
( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3}).
1 способ:
Площадь фигур по формулам.
|
S= Рис2
|
рис
2 способ: Площадь фигуры как сумма площадей её
частей
Задача 1. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.4). Если клетки размером 1х1см.
Разобьем
фигуру АВСD на части (1, 2, 3 и 4).
По
свойству площадей:
S
= S1
+ S2
+ S3
+ S4
=
= (1∙4):2 + (1∙3):2 + 1∙1
+ (1∙2):2 =
= 2
+ 1,5 + 1 + 1 = 5,5 см²
Ответ:
5,5 см²
Рис.4
3 способ: Площадь фигуры как часть
площади прямоугольника
Конечно, есть ещё способы
нахождения фигур на клеточной бумаге. Например, можно просто считать количество
целых клеток внутри фигуры, а из оставшихся кусочков «складывать» целые клетки,
но это довольно долго и трудно, особенно если фигура сложной формы.
Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.5). Если клетки размером 1х1см.
Опишем
около фигуры АВСD прямоугольник.
Из
площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных
простых фигур (1, 2, 3 и 4):
S
= Sпр – S1 – S2 – S3 – S4 =
= 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 –
(3∙1):2 = 16 –
1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см²
Ответ: 10 см²
Рис.5
4 способ :Формула Пика
Есть такие фигуры на клеточной бумаге, для которых эти формулы применить очень
трудно, да и эта работа занимает много времени. А на экзамене по математике в
9-м и в 11-м классе каждая минута дорога! Площади многоугольников, вершины
которых расположены в узлах решетки, можно вычислять очень быстро.Есть
интересная формула, которая связывает их площадь с количеством узлов, лежащих
внутри и на границе данного многоугольника. Эта замечательная и простая формула
называется формулой Пика. Знакомство с формулой Пика особенно актуально
накануне сдачи ЕГЭ и ОГЭ. С помощью этой формулы можно без проблем решать
большой класс задач, предлагаемых на экзаменах,—это задачи на нахождение
площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге. Маленькая формула
Пика заменит целый комплект формул, необходимых для решения таких задач.
Формула Пика будет работать «одна за всех…»!
рис.6
Пусть В –
число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника,
Г
– число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины,
S
— его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S
= В + 
– 1.
Эта формула не является секретной. Об этой формуле обычно рассказывается
применительно к нахождению площади треугольника. Автор этой формулы австрийский
математик Георг Пик (приложение 1). [8]
Формула Пика
верна для всех рассмотренных выше примеров. Теперь мы знаем, что если
многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для
него верна формула Пика.
Рассмотрим
применение формулы Пика на примерах:
Задача 3.
Найдем
площадь треугольника (см.рис.7. Отметим узлы (пересечение линий) на границе треугольника
и внутри треугольника:
В = 34
(обозначены синим), Г = 15 (обозначены оранжевым).
Рис.7
S= 34 +
15/2 – 1 = 40,5 ед²
Ответ:
40,5
Понятно, что находить
площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по
соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у
которого пять и более углов эта формула работает хорошо. [9]
Задача 4. Найдем площадь пятиугольника
Отметим узлы (пересечение линий) на границе пятиугольника и
внутри пятиугольника:
В = 43 (обозначены синим),
Г = 14 (обозначены оранжевым).
S=
43 + 14/2 – 1 = 49 ед²
Ответ: 49
Рис.8
Кто
же такой Георг Александер Пик?
Австрийский математик Георг Александер Пик
родился 10 августа 1859 году в Вене. Его отец, будучи руководителем частного
института, предпочел до 11 лет обучать мальчика на дому, а потом отдал его
сразу в четвертый класс гимназии, которую он окончил в 1875 году.
В 16 лет Георг поступил в Венский
университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.
Преподавательская деятельность в Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик
получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892г. стал
ординарным профессором. В 1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким
университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна
профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами
этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии
сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической
физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был
чрезвычайно широк. [8]
Среди всего многообразия достижений
австрийского математика выделяется формула для вычисления площадей
многоугольников с вершинами в узлах клетки открытая им в 1899 году. Она стала
широко известна только в 1969 году, после того, как Гуго Штейнгауз включил ее в
свою знаменитую книгу «Математический калейдоскоп». В Германии эта теорема
включена в школьные учебники.
После выхода в 1927 году
на пенсию Пик вернулся в свой родной город Вену. Однако после аншлюса
(присоединение) 12 марта 1938 года Австрии с Германией ему снова пришлось
перебраться в Прагу. В сентябре 1938 года фашистская Германия вторглась на территорию
Чехословакии. Г.А. Пик был брошен в концентрационный лагерь в Терзинштадте, где
и умер две недели спустя.
Задачи
с практическим содержанием
Поможет
нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием,
когда объект изображен на клетчатой бумаге в масштабе. [4]
Задача 5.
Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой
1 × 1см в масштабе 1 см – 200 м (рис. 9).
Найдём S
площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S
= В + – 1
В
= 8, Г = 7.
S
= 8 + 7/2 – 1 = 10,5 см²
Т.к.
1 см² – 200² м², то
Sмассива
= 40000 · 10,5 = 420 000 м²
Рис. 9 Ответ:
420
Задача 6.
Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 ×
1см в масштабе 1 см – 100 м (рис. 10).
Рис.10
Найдём
S
площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S
= В + 
– 1. В = 7, Г = 4.
S
= 7 + 4/2 – 1 = 8 см², т.к. 1 см² – 100² м², то
Sполя
= 10000 · 8 = 80 000
м²
Ответ:
80 000 м²
Из
всех задач по геометрии у нас вызывают интерес задачи на решётках. И это не
случайно. Такие задачи в учебниках по геометрии не встречаются, а на экзаменах
и в олимпиадных заданиях они есть. Вот такие задачки надо научиться решать.
Существует достаточное количество способов нахождения площадей фигур на
клетчатой бумаге.
Мы
рассмотрели основные из них. Задачи, поставленные в самом начале нашей работой,
выполнили. Все предложенные способы, нахождения площадей плоских фигур, на
клетчатой бумаге нам очень интересны, но самым результативным оказался способ
решения по формуле Пика.
Формула
Пика — это настоящий клад для тех ребят, которые не могут выучить все формулы
для вычисления площадей фигур, для тех, кто так и не уяснил до конца, как
разбить фигуру на части или выполнить дополнительное построение. С другой
стороны, для тех, кто площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге
умеет находить с помощью вышеперечисленных приёмов, а формула Пика нужна, чтобы
решить задачу ещё и этим способом , тем самым проверить правильность своего
предыдущего решения, сверив полученные ответы.
Анализ
решений показал, что применение формулы Пика даёт возможность решать задачи на
нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге очень
быстро и легко. Это позволяет экономить время на экзамене Эта работа была нам
интересна, и мы надеемся, что результаты наших исследований, помогут учащимся
при сдаче экзамена по математике.
Приложение 1
Георг Александр Пик (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 г. – 13 июля 1942 г.) – австрийский математик. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику.
16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсберга Пик защитил докторскую
диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место
ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо
было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об
интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882
году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов
университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком
университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 г., он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Преподавательская
деятельность в
Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик получил место экстраординарного
профессора математики, затем в 1892г. стал ординарным профессором. В
1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги
для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и
физик Антон Лампа были главными инициаторами этого
назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии
сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической физики в Немецком
университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк.
В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальный геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений
и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика,
интерполяция Пика – Неванлинны, лемма Шварца-Пика. Широкую известность получила
открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади
многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. [8]
Приложение 2
Исследование
площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.
Найдите
площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен
1см * 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задача 1.
Дано:
Г=10, В=27.
Решение: S=27+10:2-1=31(кв.
ед.)
Ответ:
31 кв.ед.
Задача 2.
Дано:
Г=3, В=0.
Решение: S=0+3:2-1=1 (кв. ед)
Ответ: 1 кв. ед.
Задача 3.
Дано:
Г=4, В=0.
Решение: S=0+4:2-1=1 (кв.ед.)
Ответ: 1 кв.ед.
Задача 4.
Дано:
Г=6, В=3.
Решение: S=3+6:2-1=5 (кв.ед.)
Ответ: 5 кв.ед.
Задача 5.
Дано:
Г=6, В=16.
Решение: S=16+6:2-1=17(кв.ед.)
Ответ: 17 кв.ед.
Задача 6: Найти площадь «ракеты».
Дано:
Г=20, В=25.
Решение: S=25+20:2-1=34 (кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.
Задача 7: Найти
площадь кувшина.
Дано:
Г=6, В=14.
Решение: S=14+6:2-1=16 (кв.ед.)
Ответ: 16 кв.ед.
Задача 8: Найти площадь «плачущего сердца».
Дано:
Г=10, В=4.
Решение: S=4+10:2-1=8 (кв.ед.)
Ответ: 8 кв.ед.
Задача 9.
Дано:
Г-9, В=11.
Решение: S= 11+9:2-1=14,5 (кв.ед.)
Ответ: 14,5
кв.ед.
Задача 10.
Дано:
Г=26, В=32.
Решение: S=32+26:2-1=44 (кв.ед.)
Ответ: 44 кв.ед.
Задача 11.
Дано:
Г=16, В=27.
Решение: S=27+16:2-1=34 (кв.ед.)
Ответ: 34 кв.ед.
Приложение 3 Задача
1.
Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.6). Если клетки
размером 1х1см.
Опишем около фигуры АВСD прямоугольник.
Из площади прямоугольника вычтем площади полученных простых
фигур (1, 2, 3 и 4):
S
= Sпр – S1 – S2 – S3 – S4 =
=
3∙6 – (4∙1):2 – (2∙2):2 – (4∙1):2 – (2∙2):2 =
= 18 – 2 – 2 – 2 – 2 =
10 см²
Рис.6
Ответ:
10 см²
Задача 2. Найдём
площадь фигуры АВСD (см.рис.1). Если клетки размером 1х1см.
Разобьем фигуру АВСD
на части (1 и 2).
По
свойству площадей:
S
= S1
+ S2
=
=
(2∙3):2 + 3∙2 =
= 3
+ 6 = 9 см²
Ответ:
9 см²
Рис.1
Задача 3. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.5). Если клетки размером 1х1см.
Опишем около фигуры АВСD прямоугольник.
Из площади прямоугольника (в
данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2 и 3):
S
= Sпр – S1 – S2 – S3 =
=
4∙4 – (4∙4):2 – (2∙1):2 – (2∙1):2 = 16 – 8 – 1 – 1 =
=
6 см²
Рис.5
Ответ: 6 см²
Приложение 4
1.
Найдите
площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
2.
Найдите
площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
3.
Найдите
площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
4.
Найдите
площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными
1.
5. Найдите площадь параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
6. Найдите площадь треугольника ABC,
считая стороны квадратных клеток равными 1.
7. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
8. 
Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
9.
Найдите площадь
параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными
1.
10.
Найдите площадь
треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
11.
Найдите площадь
трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
12.
Найдите площадь
четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.
