Как найти площадь наклонных боковых граней пирамиды

Перед изучением вопросов о данной геометрической фигуре и её свойствах, следует разобраться в некоторых терминах. Когда человек слышит о пирамиде, ему представляются большущие постройки в Египте. Так выглядят самые простые из них. Но они бывают разных видов и форм, а значит и формула вычисления для геометрических фигур будет разной.

Виды фигуры

Пирамида – геометрическая фигура, обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

• правильная;
• усечённая.

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два – большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Термины и обозначения

Основные термины:

• Правильный (равносторонний) треугольник – фигура с тремя одинаковыми углами и равными сторонами. В этом случае все углы имеют 60 градусов. Фигура является простейшей из правильных многогранников. Если эта фигура лежит в основании, то такой многогранник будет называться правильной треугольной. Если в основании лежит квадрат, пирамида будет называться правильной четырёхугольной пирамидой.
• Вершина – самая верхняя точка, где сходятся грани. Высота вершины образуется прямой линией, исходящей от вершины к основанию пирамиды.
• Грань – одна из плоскостей многоугольника. Она может быть в виде треугольника в случае с треугольной пирамидой либо в виде трапеции для усечённой пирамиды.
• Сечение – плоская фигура, образующаяся в результате рассечения. Не стоит путать с разрезом, так как разрез показывает и то, что находится за сечением.
• Апофема – отрезок, проведённый из вершины пирамиды к её основанию. Он также является высотой той грани, где находится вторая точка высоты. Данное определение справедливо лишь по отношению к правильному многограннику. К примеру – если это не усечённая пирамида, то грань будет представлять собой треугольник. В данном случае высота этого треугольника и станет апофемой.

Формулы площади

Находить площадь боковой поверхности пирамиды любого типа можно несколькими способами. Если фигура не симметричная и представляет собой многоугольник с разными сторонами, то в данном случае легче вычислить общую площадь поверхности через совокупность всех поверхностей. Иными словами – надо посчитать площадь каждой грани и сложить их вместе.

В зависимости от того, какие параметры известны, могут потребоваться формулы вычисления квадрата, трапеции, произвольного четырёхугольника и т.д. Сами формулы в разных случаях тоже будут иметь отличия.

В случае с правильной фигурой находить площадь намного проще. Достаточно знать всего несколько ключевых параметров. В большинстве случаев требуются вычисления именно для таких фигур. Поэтому далее будут приведены соответствующие формулы. В противном случае пришлось бы расписать всё на несколько страниц, что только запутает и собьёт с толку.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды будет иметь следующий вид:

S=½ Pa ( P – периметр основания, а – апофема)

Рассмотрим один из примеров. Многогранник имеет основание с отрезками A1, А2, А3, А4, А5, и все они равны 10 см. Апофема пусть будет равна 5 см. Для начала надо найти периметр. Так как все пять граней основания одинаковые, можно находить так: Р=5*10=50 см. Далее применяем основную формулу: S =½*50*5=125 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычислить легче всего. Формула имеет следующий вид:

S =½* ab *3, где а – апофема, b – грань основания. Множитель тройки здесь означает количество граней основания, а первая часть – площадь боковой поверхности. Рассмотрим пример. Дана фигура с апофемой 5 см и гранью основания 8 см. Вычисляем: S =1/2*5*8*3=60 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычислять немного сложнее. Формула выглядит так: S =1/2*( p _01+ p _02)*a , где р_01 и р_02 являются периметрами оснований, а – апофема. Рассмотрим пример. Допустим, для четырёхугольной фигуры даны размеры сторон оснований 3 и 6 см, апофема равна 4 см.

Тут для начала следует найти периметры оснований: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см. Осталось подставить значения в основную формулу и получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см в квадрате.

Таким образом, можно найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды любой сложности. Следует быть внимательным и не путать эти вычисления с полной площадью всего многогранника. А если это всё же понадобится сделать – достаточно вычислить площадь самого большого основания многогранника и прибавить её к площади боковой поверхности многогранника.

Видео

Закрепить информацию о том, как найти площадь боковой поверхности разных пирамид, вам поможет это видео.

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу:
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен:
В меньшем основании:
Посчитаем площадь:

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Одним из многогранников, которые изучают в школах в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Эта фигура имеет ряд параметров и характеристик, для вычисления которых используют определенные математические формулы. Прочитав статью, вы узнаете, как находить площадь поверхности пирамиды.

Что представляет собой пирамида? Виды фигуры

Речь идет о фигуре в трехмерном пространстве, которая представляет собой многогранник, состоящий из треугольников и многоугольника. Если взять произвольный многоугольник на плоскости и соединить все его вершины прямыми отрезками с какой-нибудь точкой, не принадлежащей плоскости этого многоугольника, то мы получим пирамиду произвольного типа.

Вам будет интересно:“Парирование” — это слово, значение которого нужно знать

Пирамида состоит из граней, вершин и ребер. Грани представляют собой плоскости, ограничивающие объем фигуры. Грани разделены друг от друга ребрами. Если три грани пересекаются в одной точке, то последняя является вершиной. Любая такая фигура имеет несколько вершин, например, у треугольной фигуры их четыре, а у четырехугольной – пять. У каждой пирамиды есть только одна вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной или основной.

Класс пирамид включает несколько типов фигур. Пирамида будет прямой, если ее боковые треугольники являются равнобедренными. Если эти треугольники еще и равны друг другу, тогда фигура будет правильной. У любой прямой и правильной пирамиды высота (расстояние от главной вершины до основания) пересекает основание в его геометрическом центре. Кроме того, правильная фигура обладает равносторонним (равноугольным) основанием.

Площадь поверхности пирамиды

Под площадью любой подобной фигуры понимают сумму площадей всех ее сторон. Поскольку пирамиды имеют разный тип, то для расчета их площадей не существует универсальной формулы. Однако существуют выражения, которые могут быть использованы в каждом конкретном случае.

Какой бы не была пирамида, она всегда состоит из n-угольной грани и n треугольников. Площадь треугольников вычислить несложно, если известны их высоты и стороны основания. Что касается n-угольника, то для определения его площади следует провести анализ, что это за n-угольник, является ли он правильным, какие его углы известны. Универсальным методом определения его площади является разбиение на более простые фигуры, например, треугольники или параллелограммы.

Правильная фигура

Для правильной пирамиды формула площади поверхности давно уже определена. Прежде чем ее записывать, отметим, что площадь правильного основания фигуры может быть вычислена так:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n).

В формуле: a – сторона многоугольника, n – число сторон в нем. Например, для треугольника формула выглядит следующим образом:

S3 = √3/4*a2.

Для квадрата же получаем типичное равенство:

S4 = a2

Для правильной пирамиды площадь поверхности боковой Sb может быть определена по такой формуле:

Sb = n/2*hb*a.

Где hb – апофема пирамиды (высота бокового треугольника).

Складывая выражения для Sn и Sb, получаем формулу площади полной поверхности пирамиды:

S = Sn + Sb = n/4*a2*ctg(pi/n) + n/2*hb*a.

Отметим, для однозначного определения S любой пирамиды правильной необходимо знать два ее линейных параметра.

Наклонная фигура

Площадь поверхности пирамиды наклонной рассчитать гораздо сложнее, чем правильной. Тем не менее, зная ее развертку, всегда можно решить поставленную задачу. Боковая поверхность наклонной фигуры рассчитывается так:

Sb = 1/2*∑i=1n(ai*hbi).

Здесь ai – длина i-й стороны основания, hbi – длина i-й апофемы. Апофемы для наклонной пирамиды общего типа различаются.

Площадь основания So вычисляется, исходя из его типа, например, если это параллелограмм со сторонами a1 и a2 и углом между ними θ, тогда можно записать:

So = a1*a2*sin(θ).

Как для наклонной, так и для прямой пирамиды апофемы связаны с длинами боковых ребер и ребер основания. Эту связь часто используют при решении задач.

Жду ваши вопросы и мнения в комментариях

Одним из многогранников, которые изучают в школах в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Эта фигура имеет ряд параметров и характеристик, для вычисления которых используют определенные математические формулы. Прочитав статью, вы узнаете, как находить площадь поверхности пирамиды.

Что представляет собой пирамида? Виды фигуры

Речь идет о фигуре в трехмерном пространстве, которая представляет собой многогранник, состоящий из треугольников и многоугольника. Если взять произвольный многоугольник на плоскости и соединить все его вершины прямыми отрезками с какой-нибудь точкой, не принадлежащей плоскости этого многоугольника, то мы получим пирамиду произвольного типа.

Пирамида состоит из граней, вершин и ребер. Грани представляют собой плоскости, ограничивающие объем фигуры. Грани разделены друг от друга ребрами. Если три грани пересекаются в одной точке, то последняя является вершиной. Любая такая фигура имеет несколько вершин, например, у треугольной фигуры их четыре, а у четырехугольной – пять. У каждой пирамиды есть только одна вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной или основной.

Класс пирамид включает несколько типов фигур. Пирамида будет прямой, если ее боковые треугольники являются равнобедренными. Если эти треугольники еще и равны друг другу, тогда фигура будет правильной. У любой прямой и правильной пирамиды высота (расстояние от главной вершины до основания) пересекает основание в его геометрическом центре. Кроме того, правильная фигура обладает равносторонним (равноугольным) основанием.

Площадь поверхности пирамиды

Под площадью любой подобной фигуры понимают сумму площадей всех ее сторон. Поскольку пирамиды имеют разный тип, то для расчета их площадей не существует универсальной формулы. Однако существуют выражения, которые могут быть использованы в каждом конкретном случае.

Какой бы не была пирамида, она всегда состоит из n-угольной грани и n треугольников. Площадь треугольников вычислить несложно, если известны их высоты и стороны основания. Что касается n-угольника, то для определения его площади следует провести анализ, что это за n-угольник, является ли он правильным, какие его углы известны. Универсальным методом определения его площади является разбиение на более простые фигуры, например, треугольники или параллелограммы.

Правильная фигура

Для правильной пирамиды формула площади поверхности давно уже определена. Прежде чем ее записывать, отметим, что площадь правильного основания фигуры может быть вычислена так:

S_n = n/4*a²*ctg(pi/n).

В формуле: a – сторона многоугольника, n – число сторон в нем. Например, для треугольника формула выглядит следующим образом:

S₃ = √3/4*a².

Для квадрата же получаем типичное равенство:

S₄ = a²

Для правильной пирамиды площадь поверхности боковой S_b может быть определена по такой формуле:

S_b = n/2*h_b*a.

Где h_b – апофема пирамиды (высота бокового треугольника).

Складывая выражения для S_n и S_b, получаем формулу площади полной поверхности пирамиды:

S = S_n + S_b = n/4*a²*ctg(pi/n) + n/2*h_b*a.

Отметим, для однозначного определения S любой пирамиды правильной необходимо знать два ее линейных параметра.

Наклонная фигура

Площадь поверхности пирамиды наклонной рассчитать гораздо сложнее, чем правильной. Тем не менее, зная ее развертку, всегда можно решить поставленную задачу. Боковая поверхность наклонной фигуры рассчитывается так:

S_b = 1/2*∑_i=1ⁿ(a_i*h_bi).

Здесь a_i – длина i-й стороны основания, h_bi – длина i-й апофемы. Апофемы для наклонной пирамиды общего типа различаются.

Площадь основания S_o вычисляется, исходя из его типа, например, если это параллелограмм со сторонами a₁ и a₂ и углом между ними θ, тогда можно записать:

S_o = a₁*a₂*sin(θ).

Как для наклонной, так и для прямой пирамиды апофемы связаны с длинами боковых ребер и ребер основания. Эту связь часто используют при решении задач.