Как найти площадь нарисованной фигуры по клеточкам

Площадь фигуры (треугольник, четырёхугольник, трапеция и др.) по клеточкам (клеткам). Какие есть формулы? Есть способ, при котором надо воспользоваться формулой, основой которой будет понятие узла, узла внутреннего и узла внешнего. Узел это пересечение линий, образующих эти самые клеточки. Внешние узлы, это узлы, находящиеся на сторонах и вершинах геометрических фигур, площади которых нам надо найти. А внутренние узлы, это узлы внутри этих фигур. Клеточки у нас со сторонами равными одному сантиметру (1 см). Формула, о которой идет речь, называется формула Пика. Выглядит она вот так: И по ней очень просто посчитать площадь фигуры S. В этой формуле M это количество внешних узлов, N – количество внутренних узлов. Приведем пример, возьмем геометрическую фигуру параллелограмм: Внутренние узлы – синие – N – их у нас 20. Внешние узлы – красные – М – их у нас 18 и их количество нам надо поделить на два, получится 18/2 = 9 узлов. Складываем 9 + 20 и вычитаем единицу: 20 + 9 – 1 = 28 см². Еще один пример: S = 14/2 + 43 – 1 = 49 см². система выбрала этот ответ лучшим Ксарф­акс [156K] 6 лет назад  Допустим, у нас есть произвольная фигура, построенная на листе в клетку. Необходимо вычислить её площадь. Площадь фигуры по клеточкам Для того, чтобы найти площадь любой фигуры по клеточкам, можно использовать формулу Пика. Данная формула основана на подсчёте количества узлов, лежащих внутри фигуры и на её границе. Узел – это точка, которая лежит на пересечении 2 линий данной сетки: вертикальных и горизонтальных. Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле: N – количество узлов, которые находятся внутри фигуры. M – количество узлов, которые находятся на границах (на вершинах и сторонах). Примеры нахождения площади по клеточкам 1) Найдём площадь треугольника. Будем считать, что одна клетка – это 1 см. Отметим внутренние узлы и узлы, которые находятся на границах. N = 7 (внутренние). M = 8 (узлы на границах). Площадь треугольника S = 7 + 8/2 – 1 = 10 см². 2) Найдём площадь трапеции по клеточкам, одна клетка – это 1 см. Отметим все узлы и подсчитаем их количество. N = 11 (внутренние). M = 12 (узлы на границах). Площадь трапеции S = 11 + 12/2 – 1 = 16 см². 3) Найдём площадь произвольного многоугольника. Одна клетка – это 1 см. Отметим внутренние узлы и узлы, расположенные на границах фигуры. Подсчитаем их количество. N = 6 (внутренние узлы). M = 8 (узлы на границах). Площадь многоугольника S = 6 + 10/2 – 1 = 10 см². Марин­а Волог­да [295K] 3 года назад  Такие задачи очень часто встречаются, когда известен размер клеточки и дана фигура. Вот пример таких задач: Решение зависит от того, какая фигура дана и как именно она размещена относительно клеточек. Возьмем простой пример, необходимо вычислить площадь вот такого треугольника: Вспоминаем правило: Теперь считаем, сколько клеточек треугольник в длину и сколько в высоту. У нас получается 2 в высоту и 6 в длину. Подставляем к формуле: S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2. Считаем по клеточкам, подставляя формулу Пика: Целых клеточек у нас 3. Теперь считаем, сколько не целых: 6. Делим их на 2. S = 3 + 6:2 = 6 см2. А теперь высчитываем по формуле Пика: количество узлов сетки внутри – 2, количество узлов сетки, лежащих на границах – 10. Подставляем к формуле и получаем – 2 + 10:2 – 1 = 6 см2. Теперь давайте рассмотрим вот такой треугольник: Чтобы найти площадь, вспоминаем правило: Считаем клеточки и подставляем в формулу: S = 1/2 х 2 х 6 = 6 см2. А теперь находим по клеточкам: целых клеточек 2, не целых клеточек 8. Подставляем в формулу: 2 + 8:2 = 6 см2. Пробуем сделать по формуле Пика: количество узлов сетки внутри – 3, количество узлов сетки, лежащих на границах – 8. Подставляем к формуле и получаем – 3 + 8:2 – 1 = 6 см2. Enot-Nina [110K] 3 года назад  Найти площадь геометрической фигуры можно самыми разными способами: Самый простой вариант – это вручную посчитать клеточки – целые и половинки также поскладывать. Простой, хотя и не самый быстрый и может не самый точный способ, но он работает. Чтобы легче было считать, достаточно расчертить фигуру на более простые. Есть еще один способ – это использовать давно разработанную формулу. Это так называемая формула Пика. Для нее нужно посчитать количество узлов – точек пересечения клеточек, что окружены фигурой (находятся внутри нее), а также подсчитать количество пограничных узлов – по контуру фигуры. Вот на картинке наглядно показано, как ее можно применять, чтоб посчитать площадь любой фигуры по клеточкам: Барха­тные лапки [382K] 3 года назад  Площадь любого многоугольника можно посчитать по клеточкам. Для этого применяем формулу Пика. На нашем рисунке В – количество узловых клеточек внутри фигуры, Г – количество узлов на границе . Узлы – пересечение двух линий. многоугольника. Площадь равна S = В + Г/2 – 1 Считаем точки на рисунке и подставляем в формулу. – 10 + 7/2 -1 = 12,5. Таким образом можно посчитать площадь, если вершины фигуры лежат в узлах. Ann Luka [2.8K] 6 лет назад  Чтобы найти площадь фигуры по клеточкам, нужно посчитать сколько в фигуре целых клеточек. Потом нужно посчитать сколько не целых и поделить их количество на 2. Добавить к получившемуся числу количество целых клеточек – это и будет правильный ответ. Например. В треугольнике 3 целых клетки и 4 не целых. 3+4/2=5 пощадь треугольника 5 клеток. Outli­ne [18.3K] 3 года назад  Для того, чтобы определить площадь фигуры на бумаге в клеточку есть универсальная формула Пика, позволяющая вычислить площадь изображения, но в только в том случае, если вершины искомой фигуры имеют целые (натуральные числа) координаты. Называется эта формула, в честь Георга Пика: S=В + Г / 2 − 1 В этой формуле буквенные обозначения означают следующее: В — количество целочисленных точек внутри многоугольника; Г — количество целочисленных точек на границе (вершинах и сторонах) многоугольника; S – площадь фигуры. Здесь используется понятие “целочисленные” – это те, точки, которые расположены на пересечениях сетки (в ее узлах). Для примера, найдем площадь треугольника: Обозначим внутренние точки нашей фигуры красными кружками, а те, что на границах – синим цветом. Считаем красные и синие точки: В=12, Г=4. Исходя из подсчетов определяем площадь треугольника по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13. Можно убедиться в правильность проведенных выше расчетах. Рассчитываем площадь квадрата, обведенного красным, и вычитаем площади зеленого, синего и фиолетового треугольников: S квадрата равна 36, площади треугольников: синего – 6, зеленого – 2, фиолетового – 15. Исходя из полученных данных, S белого треугольника равна 13: S=36-6-15-2=13. Kriti­kSPb [93.7K] 3 года назад  Подсчет клеточек – дело полезное. С их помощью можно найти площадь геометрической фигуры. Достаточно воспользоваться формулой, доказанной Георгом Пиком в 1899 году. Подходит для расчета площади фигур с прямыми сторонами и целым количеством углов, чаще всего применяют для нахождения площади разносторонних треугольников и многоугольников с числом углов больше 4-х. На теорему Пика есть задания в ЕГЭ. 12777­1 [273K] 3 года назад  Сначала я подумал, что нужно будет фигуру, которая указана на рисунке в клеточку разбить по фигурам так, чтобы можно посчитать площадь каждой фигуры по-отдельности, но оказалось все намного проще. Существует для данной задачи специальная формула Пика, которая выглядит следующим образом: Площадь = В + Г/2 – 1, где: В – количество целочисленных точек внутри многоугольника. Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника. Теперь разберемся на примере, у нас есть такой пример: Перед нами трапеция. Допустим площадь одной клетки 1 кв.см. Теперь можно воспользоваться формулой: 11+12/2-1=16 кв.см. Бекки Шарп [71.2K] 3 года назад  Найти площадь фигуры можно если вершины фигуры находятся в уголках клеточек, так называемые Целочисленные вершины или узловые точки. Решать задачу будем по формуле Пика, где В – количество внутренних узловых точек, Г – количество граничных узловых точек, Вот такая фигура у нас – Считаем точки и подставляем в формулу: S = 17 + 14/2 – 1 = 23 Ответ мы получаем в квадратных единицах, то есть клеточках. Знаете ответ?

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам 

1. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: 

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

 , где и — диагонали.

Получим: 

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 – 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача.  Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 – 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга 

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 – 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости 

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным
(Паскаль)

Добрый день, уважаемые гости и подписчики моего канала!

Вспомнил забавный случай, как около года назад я поспорил с дочкой, что найду площадь любого из представленных выше многоугольников за 30 секунд в одно действие, пока она будет вычислять её множеством действий, как учили в школе.

Выиграл. Дочь проспорила мороженое.

А раз вспомнил об этом, хочу рассказать и Вам, как просто в одно действие используя одну единственную формулу можно точно вычислить площадь многоугольника любой конфигурации и нет необходимости раскладывать фигуру на несколько простейших.

Но, для таких многоугольников есть одно важное условие: каждая вершина должна быть целочисленная, т.е. находиться именно в узле сетки.

Сетка – клеточная поверхность, на которой изображена фигура.

Узел – пересечение линий сетки.

Сетка может быть выполнена с любой единицей измерения, ведь площадь измеряется в квадратах выбранной единицы. Если ячейка 1х1 см., то это 1 кв.см., 1х1 м. – это 1 кв.м. и т.д.

Так вот, существует очень простая формула, которая связывает площадь любого многоугольника с количеством узлов сетки, находящихся на границах отрезков фигуры и внутри самой фигуры. Формулу вывел австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 г., в честь которого и называется она формулой (теоремой) Пика:

где:

S – площадь многоугольника;
В – количество узлов внутри фигуры (шт.);
Г – количество узлов, расположенных в вершинах и на отрезках фигуры (шт).

Чтобы стало всё понятно, приведу пример со сложным многоугольником. Нам требуется найти площадь фигуры, представленной ниже:

Теперь, считаем узлы, расположенные внутри, на вершинах и на отрезках фигуры. Это будут значения В и Г, соответственно:

Получаем, что В=16, Г=7, теперь достаточно подставить значения в формулу и получаем: S=Г/2 + В – 1 = 7/2 + 16 -1 = 18,5 кв.ед.

Готово. Площадь равна 18,5 клеток. Вы можете всё перепроверить и будете приятно удивлены!

Плюсы в том, что такая формула легко запоминается и проста в применении! Минус конечно тоже есть, как я упоминал выше – формула не дает точного результата, если хотя бы одна из вершин многоугольника находится вне узла сетки (не целочисленная).

Моя дочь уже с успехом применяет эту формулу на занятиях в школе и быстро находит ответы, хотя некоторые учителя не одобряют такой подход и всё же склоняют к классической схеме: разделить многоугольник на элементарные фигуры, вычислить их площади, пользуясь стандартными формулами и сложив их, получить результат.

Но, всё же думаю, для скорости расчетов – формула полезна. Обязательно расскажите детям!

Очень надеюсь, что статья Вам понравилась! Удачи Вам и добра!

Предлагаю несколько публикаций, которые будут Вам интересны:

Метод быстрого счета. Как в старину перемножали многозначные числа без таблиц умножения? (крестьянский метод)

Какую площадь займет все население планеты, собравшись плечом к плечу? Удивитесь, но этот участок можно объехать за 1 час

Секрет строительного угольника Свенсона. Тригонометрическая зависимость шкал и какие 4 инструмента он объединяет?

ФЕСТИВАЛЬ ТВОРЧЕСКИХ ОТКРЫТИЙ И ИНИЦИАТИВ «ЛЕОНАРДО»

Секция «Математика»

Способы нахождения площадей фигур или задачи на клетчатой бумаге

Выполнила: Кебина Диана Сергеевна, 6 Г класс, МБОУ «Гимназия № 9 «Гармония» г. Горно-Алтайска» Научный руководитель: Боделукова Ольга Петровна учитель математики, первой квалификационной категории, МБОУ «Гимназия № 9 «Гармония» г. Горно-Алтайска»

г. Горно-Алтайск,

2021 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение..…………………………………………………………..… 3

1. Основная часть:

   1. Площадь фигуры как сумма площадей её частей……………. 4

   2. Площадь фигуры как часть площади прямоугольника……… 5

   3. Формула Пика…………………………………………………. 6-7

   4. Задачи с практическим содержанием………………………… 8

   5. Задачи из государственной итоговой аттестации……………. 8

Заключение………………………………………………………….. .. 9

Список литературы и источников………………………………. …. 10

Приложение……………………………………………………… …. 11

1. Введение

Ещё в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника S = a ∙ b, квадрата S = a ∙ a и прямоугольного треугольника S = (a ∙ b) / 2.

При изучении математики в 5 классе мы тоже использовали эти формулы для вычисления площадей фигур. А также изучили основные свойства площадей: равные фигуры имеют равные площади; площадь фигуры равна сумме площадей её частей. В нашем учебнике встречаются задачи на клетчатой бумаге на нахождение площадей фигур. [1]

Мне стало очень интересно, какие способы решения таких задач существуют. При изучении литературы я обнаружила, что их достаточное количество. Я решила изучить их и проверить какой из них самый результативный, т.е. малозатратный по времени и дает безошибочный результат.

Проблема: Вычисление площадей сложных фигур с помощью формулы Пика легче, чем вычисление методом достраивания и разбивания фигур на части?

Цель работы: Исследование рациональности использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Задачи:

1. Изучить способы решения задач на клетчатой бумаге.

2. Выбрать наиболее оптимальный способ.

Объект исследования: Задачи на вычисление площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: Способы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

Методы исследования: 1) теоретический: изучение литературы;

2) эмпирический: анализ, сравнение; 3) математический: построение фигур, вычисления.

Актуальность: при решении задач по математике и геометрии часто встречаются задачи, где нужно вычислить площадь фигур.
Задания на нахождение площади фигур на клетчатой бумаге встречаются в КИМах ОГЭ и ЕГЭ. А на экзамене очень важно решить задание правильно и при решении затратить как можно меньше времени.

Рассмотрим основные способы решения таких задач.

1. Основная часть

   1. Площадь фигуры как сумма площадей её частей

Задача 1. Найдём площадь фигуры АВСD (рисунок 1). Если клетки размером 1х1см.

Р азобьем фигуру АВСD на части (1 и 2).

По свойству площадей:

2

S = S1 + S2 = (2∙3):2 + 3∙2 = 3 + 6 = 9 см.²

1

Ответ: 9 см.²

Рисунок 1.

Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD (рисунок 2). Если клетки размером 1х1см.

Р азобьем фигуру АВСD на части (1, 2, 3 и 4).

П

1

о свойству площадей:

2

3

4

S = S1 + S2 + S3 + S4 = (1∙4):2 + (1∙3):2 + 1∙1 + (1∙2):2 = 2 + 1,5 + 1 + 1 = 5,5 см.²

Ответ: 5,5 см.²

Рисунок 2.

З адача 3. Найдём площадь фигуры АВСD (см.рис.3). Если клетки размером 1х1см.

1

Разобьем фигуру АВСD на части (1, 2 и 3).

П

2

о свойству площадей:

S = S1 + S2 + S3 =

=

3

(1∙4):2 + (3∙3):2 + (1∙3):2 =

= 2 + 4,5 + 1,5 = 8 см²

Ответ: 8 см²

Рисунок 3.

1. Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Задача 4. Найдём площадь фигуры АВСD (рисунок 4). Если клетки размером 1х1см.

О пишем около фигуры АВСD прямоугольник.

И

1

4

з площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

S

2

3

= Sпр – S1 – S2 – S3 – S4 =

= 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 = 16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см.²

Рисунок 4. Ответ: 10 см.²

Задача 5. Найдём площадь фигуры АВСD (рисунок 5). Если клетки размером 1х1см.

О пишем около фигуры АВСD прямоугольник.

И

1

2

3

з площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2 и 3):

S = Sпр – S1 – S2 – S3 =

= 4∙4 – (4∙4):2 – (2∙1):2 – (2∙1):2 = 16 – 8 – 1 – 1 =

= 6 см.²

Рисунок 5 Ответ: 6 см.²

Задача 6. Найдём площадь фигуры АВСD (рисунок 6). Если клетки размером 1х1см.

О

4

пишем около фигуры АВСD прямоугольник.

И

1

з площади прямоугольника вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

S = Sпр – S1 – S2 – S3 – S4 =

=

3

3∙6 – (4∙1):2 – (2∙2):2 – (4∙1):2 – (2∙2):2 =

=

2

18 – 2 – 2 – 2 – 2 = 10 см.²

Рисунок 6 Ответ: 10 см.²

1. Формула Пика

Л инии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки.

Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рисунок 7) и найдем его площадь. [2] Оказывается площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника.

Рисунок 7.

Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рисунок 8). Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника

Рисунок 8. S = В + + 4 · = В + – 1.

Для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, установлена формула S = В + – 1. Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки! Это и есть формула Пика. [4]

Она секретной не является. Информация о ней в интернете имеется. Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим. Автор этой формулы австрийский математик Георг Пик (приложение 1). [8]

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных выше примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Рассмотрим применение формулы Пика на примерах:

Задача 7. Найдем площадь треугольника (рисунок 9).

Отметим узлы (пересечение линий) на границе треугольника и внутри треугольника:

В = 34 (обозначены синим),

Г = 15 (обозначены оранжевым).

S= 34 + 15/2 – 1 = 40,5 кв.ед.

Ответ: 40,5 кв.ед

Рисунок 9.

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо. [9]

Задача 8. Найдем площадь пятиугольника (рисунок 10).

О тметим узлы (пересечение линий) на границе пятиугольника и внутри пятиугольника:

В = 43 (обозначены синим),

Г = 14 (обозначены оранжевым).

S= 43 + 14/2 – 1 = 49 кв.ед.

Ответ: 49 кв.ед.

Рисунок 10.

Конечно, есть ещё способы нахождения фигур на клетчатой бумаге. Например, можно просто сосчитать количество целых клеток внутри фигуры, а из оставшихся кусочков «складывать» целые клетки, но это довольно долго и трудно, особенно если фигура сложной формы.

Можно находить площади фигур на клетчатой бумаге, используя формулы площади произвольного треугольника, трапеции, ромба, параллелограмма. Но для этого нужно знать эти формулы и уметь ими пользоваться.

И есть такие фигуры на клетчатой бумаге, для которых эти формулы применить очень трудно, да и затратно по времени.

1. Задачи с практическим содержанием

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием, когда объект изображен на клетчатой бумаге в масштабе. [4]

Задача 9. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1см в масштабе 1 см – 200 м (рисунок 11).

Н айдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S= В + – 1

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 см.²

Т.к. 1 см² – 200² м.², то

Sмассива = 40000 · 10,5 = 420 000 м.²

Рисунок 11. Ответ: 420 000 м.²

Задача 10. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1см в масштабе 1 см – 100 м (рисунок 12).

Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + – 1. В = 7, Г = 4.

S = 7 + 4/2 – 1 = 8 см.², т.к. 1 см² – 100² м.², то

Sполя = 10000 · 8 = 80 000 м.²

Рисунок 12. Ответ: 80 000 м.²

1. Задачи из государственной итоговой аттестации.

Задача 11. Найти площадь фигуры (рисунок 13):

Желтые точки – точки внутри фигуры: В = 4. Синие точки – точки на границах: Г=15. S = В + – 1 S = 4 + 15/2 – 1 = 4 + 7,5 – 1 = 10,5 кв.ед. Ответ: 10,5 кв.ед.

Рисунок 13.

Задача 12. Найти площадь фигуры (рисунок 14):

Рисунок 14.

Желтые точки – точки внутри фигуры: В=2. Синие точки – точки на границах: Г=9. S = В + – 1 S = 2+ 9/2 – 1 = 2 + 4,5 – 1 = 5,5 кв.ед. Ответ: 5,5 кв.ед.

1. Заключение

Вернемся к задаче 2.

Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD. Если клетки размером 1х1см.

Р азобьем фигуру АВСD на части (1, 2, 3 и 4).

П

1

о свойству площадей:

2

3

S = S1 + S2 + S3 + S4 =

=

4

(1∙4):2 + (1∙3):2 + 1∙1 + (1∙2):2 =

= 2 + 1,5 + 1 + 1 = 5,5 см.²

Ответ: 5,5 см.²

Найдем площадь по формуле Пика: В= 3; Г=7. S = В +Г/2 – 1.

S = 3+7/2 -1= 5,5 см²

Вывод: Существует достаточное количество способов нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Я рассмотрела некоторые из них. Задачи, поставленные в самом начале моей работы, выполнены. Все способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге хороши, но самым результативным оказался способ решения по формуле Пика!

Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге: 

1. Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

2. Формула Пика очень проста для запоминания.

3. Формула Пика очень удобна и проста в применении.

4. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

1. Список литературы и источников

1. Мерзляк А.Г. Математика 5 класс. Учебник для общеобразовательных школ. – М., «Вентана-Граф», 2016.

2. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17. – [Электронный ресурс] – URL: http://mat.1september.ru/2009/23/gazeta_23_09.pdf (дата обращения 18.11.2020г.)

3. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ 2020 по математике. – [Электронный ресурс] – URL: http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege (дата обращения 18.11.2020г.)

4. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2013.

5. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2015.

6. Сдам ГИА. [Электронный ресурс]- URL: https://ege.sdamgia.ru/

7. Википедия. Формула Пика. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0 (дата обращения 18.11.2020г.)

8. Википедия. Пик. Георг. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3 (дата обращения 18.11.2020г.)

9. Математика? Легко!!! Площади фигур. – [Электронный ресурс] – URL: http://matematikalegko.ru/category/plocshadi-figur (дата обращения 18.11.2020г.)

1. Приложение

Приложение 1

Г еорг Алекса́ндр Пик  (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 г. – 13 июля 1942 г.) – австрийский математик. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. 16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера  Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти  хабилитацию. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 г., он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры. Преподавательская деятельность в Немецком университете в Праге в 1888 г. Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892г. стал ординарным профессором. В 1910 г. Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик  Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911г. возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа  и  дифферен-циальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории  дифференциальных уравнений  и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика – Неванлинны,  лемма Шварца-Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. [8]

14

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям