Как найти площадь неправильной четырехугольной пирамиды - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Полная площадь боковой поверхности пирамиды состоит из суммы площадей его боковых граней.

В четырехугольной пирамиде различается два вида граней – четырехугольник в основании и треугольники с общей вершиной, которой образуют боковую поверхность.
Для начала потребуется рассчитать площадь боковых граней. Для этого можно использовать формулы площади треугольника, а можно также воспользоваться формулой площади поверхности четырехугольной пирамиды (только в случае, если многогранник правильный). Если пирамида правильная и в ней известна длина ребра a основания и проведенной к нему апофемы h, то:

$S_bok={1/2}ah$

Если по условиям даны длина ребра c правильной пирамиды и длина стороны основания a, то можно найти значение по следующей формуле:
$S_bok={1/2}a sqrt{c^2-{{a^2}/4}}$
Если же дана длина ребра в основании и противолежащий ей острый угол у вершины, то можно рассчитать площадь боковой поверхности по соотношению квадрата стороны a к удвоенному косинусу половины угла α:
$S_bok={a^2}/{2*cos{{alpha}/2}}$
Рассмотрим пример расчета площади поверхности четырехугольной пирамиды через боковое ребро и сторону основания.

Задача: пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Длина ребра b = 7 см, длина стороны основания a = 4 см. Подставим заданные значения в формулу:
$S_bok={1/2}*4*sqrt{7^2-{{4^2}/4}}={1/2}*4*sqrt{49-4}=13,4{cm}^2$

Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды. Соответственно. Чтобы найти площадь всей поверхности необходимо умножить результат на количество граней, то есть на 4. Если пирамида произвольная и ее грани не равны между собой, то рассчитать площадь необходимо для каждой отдельной стороны. Если в основании лежит прямоугольник или параллелограмм, то стоит вспомнить их свойства. Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы.
Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Если пирамида правильная, то площадь основания рассчитывается по формуле площади квадрата, если в основании лежит ромб, то потребуется вспомнить, как находится площадь ромба. Ели же в основании лежит прямоугольник, то найти его площадь будет довольно просто. Достаточно знать длины сторон основания. Рассмотрим пример расчета площади основания четырехугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами a = 3 см, b = 5 см. К каждой из сторон из вершины пирамиды опущена апофема. h-a=4 см,h-b=6 см. Вершина пирамиды лежит на одной линии с точкой пересечения диагоналей. Найдите полную площадь пирамиды.
Формула площади четырехугольной пирамиды состоит из суммы площадей всех граней и площади основания. Для начала найдем площадь основания:

$S_osn=3*5=15{cm}^2$
Теперь рассмотрим грани пирамиды. Они попарно одинаковы, потому что высота пирамиды пересекает точку пересечения диагоналей. То есть, в нашей пирамиде есть два треугольника с основанием a и высотой h-a, а также два треугольника с основанием b и высотой h-b. Теперь найдем площадь треугольника по известной формуле:
$S_a={1/2}*3*4=6{cm}^2$
$S_b={1/2}*5*6=15{cm}^2$
Теперь выполним пример расчета площади четырехугольной пирамиды. В нашей пирамиде с прямоугольником в основании, формула будет выглядеть так:

$S_poln=15+2*6+2*15=15+12+30=57{cm}^2$

Источник

Четырехугольная пирамида, пожалуй, самая известная фигура из данного класса объемных геометрических объектов. Ее свойства и характеристики изучают в старших классах школ. Данная статья призвана ответить на вопрос о том, по какой формуле площадь четырехугольной пирамиды рассчитывается.

Четырехугольная пирамида

Чтобы не ходить далеко за примерами этой фигуры, сразу скажем, что великая пирамида Хеопса является самой известной четырехугольной правильной фигурой.

С чисто геометрической точки зрения пирамида четырехугольная представляет собой объект, образованный пятью гранями: четырьмя треугольниками и одним плоским четырехугольником. Построить в пространстве эту фигуру не представляет никакого труда. Для этого берется плоский четырехугольник (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм и так далее), а затем все его вершины соединяются с одной единственной точкой в пространстве, которая станет вершиной пирамиды. В результате таких простых геометрических операций мы получаем четырехугольную пирамиду.

Видно, что фигура состоит из пяти граней, пяти вершин, одна из которых является главной, и восьми ребер (4 относятся к основанию, 4 принадлежат треугольникам).

Не все четырехугольные пирамиды имеют одинаковую форму. Существует несколько типов этих фигур. Например, пирамиды бывают наклонные и прямые. В первом случае перпендикуляр, который опущен из вершины к четырехугольному основанию, пересекает последнее в точке, не совпадающей с его центром. В случае же прямой фигуры точка пересечения перпендикуляра плоскости основания и является его центром. Напомним, что центр выпуклого четырехугольника лежит в точке пересечения двух диагоналей.

Помимо наклонных и прямых фигур, четырехугольные пирамиды могут быть правильными и неправильными. Любая пирамида с квадратным основанием, которая является прямой, будет правильной. Правильные пирамиды отличаются друг от друга размерами (длиной стороны квадрата a, длиной ребер боковых b и высотой h). При выполнении вычислений различных геометрических характеристик с правильными пирамидами, в виду их высокой симметрии, удобно работать. Кроме того, многие свойства этих фигур описываются специальными выражениями, включая формулу площади правильной пирамиды четырехугольной.

Площадь пирамиды с четырехугольным основанием произвольного типа

Чтобы определить площадь любого многогранника, необходимо сложить площади всех его сторон. Изучаемая фигура имеет пять сторон, четыре из которых являются треугольными. Их площади найти несложно, если знать высоту каждого треугольника h_bi (она является апофемой пирамиды) и длину каждой стороны четырехугольника a_i. Тогда для четырехугольной пирамиды формула площади боковой поверхности примет вид:

S_b = 1/2*∑_i=1⁴(a_i*h_bi)

К значению S_b следует добавить площадь четырехугольника S₄, чтобы получить площадь полной поверхности пирамиды. Величину S₄ несложно определить, если известны стороны a_i и углы четырехугольника.

Площадь правильной фигуры

Как было сказано выше, для правильной пирамиды четырехугольной формула площади поверхности имеет конкретный вид. Получим ее.

Начнем с рассмотрения площади основания. Поскольку оно представляет собой обычный квадрат, то его площадь вычисляется с помощью простого выражения:

S₄ = a²

Теперь обратим внимание на боковую поверхность. Представлена она четырьмя одинаковыми треугольниками, которые к тому же являются равнобедренными, или равносторонними. Все апофемы треугольников равны, обозначим их длину h_b. Площадь поверхности боковой будет равна:

S_b = 2*h_b*a

Тогда формула площади поверхности четырехугольной пирамиды правильной примет следующий вид:

S = S₄ + S_b = a² + 2*h_b*a

Решение задачи по геометрии

Известно, что ребро правильной пирамиды, которая имеет квадрат в основании, равно длине диагонали этого основания. Зная, что сторона квадрата равна 8 см, необходимо определить площадь всех граней данной фигуры.

Поскольку диагональ квадрата d равна длине ребра бокового b, то получаем:

b = d = a*√2

Теперь следует увидеть, что в изучаемой пирамиде ребро b, апофема h_b и половина стороны квадрата образуют треугольник с углом 90^o. Этот факт позволяет воспользоваться теоремой Пифагора для определения h_b:

h_b = √(b² – a²/4) = √(2*a² – a²/4) = a*√7/2

Теперь можно применить формулу площади четырехугольной пирамиды:

S = a² + 2*h_b*a = a² + 2*a*√7/2*a = a²*(1+√7)

Остается подставить значение стороны квадрата из условия и записать ответ: S = 233,33 см².

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Формула площади правильной пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной пирамиды
- 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

S_полн. = S_бок. + S_осн.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.


Площадь	Формула
основание	S_осн. = a²
боковая поверхность	S_бок. = 2aL

полная	S_полн. = a² + 2aL

microexcel.ru

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Основание: правильный шестиугольник

Источник

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Площадь четырехугольной пирамиды

Угол наклона граней в градусах (α)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Четырехугольная пирамида

В формулах ниже будем использовать следующие обозначения:
a – длина первой стороны основания
b – длина второй стороны основания (для квадрата будет равна первой)
h – высота пирамиды
r – ребро пирамиды
d – диагональ основания
e – высота треугольника, образованного боковой гранью, т.е. высота, опущенная из вершины пирамиды на ее сторону
α – угол наклона грани пирамиды (угол между высотой треугольника боковой грани и плоскостью основания)

Во всех случаях площадь основания вычисляется тривиально – перемножением длин сторон основания. Ниже рассмотрим нахождение площадей боковых граней для разных случаев.

Площадь поверхности пирамиды через высоту

Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью. Используем теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, высотой треугольника боковой грани, и проекцией высоты треугольника на плоскость основания. Длина проекции очевидно равна половине длины противоположной стороны. Таким образом, высота треугольника, опущенная на сторону a
$e_a=sqrt{h^2+frac{b^2}{4}}$
высота треугольника, опущенная на сторону b
$e_b=sqrt{h^2+frac{a^2}{4}}$
Находим площади боковых граней, по формуле площади равнобедренного треугольника
$S_a=frac{acdot e_a}{2}\S_b=frac{bcdot e_b}{2}$
Общая площадь боковых граней

Площадь поверхности пирамиды через угол наклона

Расчет через один угол наклона возможен, только если в основании пирамиды лежит квадрат (иначе пришлось бы задавать два угла). Соответственно, сторона a равна стороне b, и все грани одинаковые.

Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью, поделив длину проекции на плоскость основания на косинус угла наклона
$e=frac{frac{a}{2}}{cos alpha}$
Находим площадь боковой грани, по формуле площади равнобедренного треугольника
$S=frac{acdot e}{2}$
Общую площадь боковых граней получаем, умножив площадь одной грани на 4.

Площадь поверхности пирамиды через длину ребра

Здесь есть ограничение: длина ребра должна быть больше чем половина диагонали основания (иначе это не пирамида)

Находим высоту треугольника, образованного боковой гранью. Используем теорему Пифагора на прямоугольном треугольнике, образованном ребром пирамиды, высотой треугольника боковой грани, и половиной стороны, на которую опущена высота. Таким образом, высота треугольника, опущенная на сторону a
$e_a=sqrt{r^2-frac{a^2}{4}}$
высота треугольника, опущенная на сторону b
$e_b=sqrt{r^2-frac{b^2}{4}}$
Находим площади боковых граней, по формуле площади равнобедренного треугольника
$S_a=frac{acdot e_a}{2}\S_b=frac{bcdot e_b}{2}$
Общая площадь боковых граней

Источник

Как найти площадь поверхности пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Боковая поверхность через периметр и апофему

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:

p – периметр основания пирамиды; l – апофема пирамиды.

Боковая поверхность через высоту и сторону основания

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a – сторона основания; h – высота пирамиды; n – число сторон в основании.

Полная поверхность через высоту и сторону основания

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a – сторона основания; h – высота пирамиды; n – число сторон в основании.

Полная площадь тетраэдра

Формула полной площадь тетраэдра:

a – сторона основания.

Источник

Четырехугольная пирамида

Площадь пирамиды с четырехугольным основанием произвольного типа

Площадь правильной фигуры

Решение задачи по геометрии

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Площадь четырехугольной пирамиды

Четырехугольная пирамида

Площадь поверхности пирамиды через высоту

Площадь поверхности пирамиды через угол наклона

Площадь поверхности пирамиды через длину ребра

Как найти площадь поверхности пирамиды

Боковая поверхность через периметр и апофему

Боковая поверхность через высоту и сторону основания

Полная поверхность через высоту и сторону основания

Полная площадь тетраэдра

Вам также может понравиться

Флешка глючит как исправить

Как составить резюме junior frontend

Как найти первую картинку в яндексе

Добавить комментарий Отменить ответ