Как найти площадь неравнобедренного трапеции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Укажите размеры:

Основание

Высота

Результат:

Решение:

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Трапеция – это четырёхугольник у которого две противоположные стороны параллельны и не равны между собой. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны называются боковыми.

Бывают прямоугольная, равнобедренная и неравнобедренная трапеции.

Неравнобедренная трапеция – это трапеция у которой боковые стороны не равны.

Основания трапеции – это две параллельные противоположные стороны.

Высота трапеции – это отрезок соединяющий основания под прямым углом.

Формула площади трапеции

Чтобы посчитать площадь трапеции, необходимо знать её основания и высоту.

Площадь трапеции расчитывается по формуле:

a
b
h

S =dfrac{1}{2} (a + b) cdot h

S – площадь трапеции;
a – основание трапиции;
b – основание трапеции
h – высота трапеции

Площадь трапеции

Трапеция — выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Площадь трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}

a и b – основания трапеции

h – высота, проведенная к основанию

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

{S = m cdot h}

m – средняя линия трапеции

h – высота трапеции

Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию

{S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)}}
{p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2}}

d₁ и d₂ – диагонали трапеции

m – средняя линия трапеции

Площадь трапеции через 4 стороны

{S = dfrac{a+b}{2} sqrt{c^2 – {Big( dfrac{(a-b)^2 + c^2 – d^2}{2(a-b)} Big)}^2}}

a, b, c и d – стороны трапеции

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(alpha); S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(beta)}

d₁ и d₂ – диагонали трапеции

α или β – угол между диагоналями трапеции

Площадь трапеции через основания и углы при основании

{S = dfrac{b^2 – a^2}{2} cdot dfrac{sin(alpha) cdot sin(beta)}{sin(alpha + beta)}}

a и b – основания трапеции

α или β – прилежащие к основанию трапеции углы

Площадь трапеции через площади треугольников

{S = (sqrt{S_1} + sqrt{S_2})^2}

S₁ и S₂ – площади образованных пересечением диагоналей трапеции треугольников

Площадь трапеции через диагонали и высоту

{S = dfrac{sqrt{{d_2}^2-h^2}+sqrt{{d_1}^2-h^2}}{2} cdot h}

d₁ и d₂ – диагонали трапеции

h – высота трапеции

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

{S = (a+b)cdot r}

a и b – основания трапеции

r – радиус вписанной в трапецию окружности

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2}

d₁ и d₂ – перпендикулярные диагонали трапеции

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{a+b}{2} cdot h}

a и b – основания равнобедренной трапеции

h – высота, проведенная к основанию равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)

{S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}}
{p = dfrac{a+b+2c}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S = c cdot sin(alpha) cdot (a+c cdot cos(alpha))}

a – верхнее основание равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – прилежащие к нижнему основанию трапеции углы

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S = c cdot sin(alpha) cdot (b-c cdot cos(alpha))}

b – нижнее основание равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – прилежащий к нижнему основанию трапеции угол

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

{S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha)}

a и b – основания равнобедренной трапеции

α – прилежащий к основанию трапеции угол

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{1}{2}d^2 cdot sin(alpha)}

a – диагональ равнобедренной трапеции

α – угол между диагоналями равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию

{S = m cdot c cdot sin(alpha)}

m – средняя линия равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

{S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}}

r – радиус вписанной окружности

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны.

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании

{S = dfrac{h^2}{sin(alpha)}}

h – высота равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании

{S = dfrac{a cdot b}{sin(alpha)}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

α – угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности

{S = r(a+b); r=dfrac{sqrt{a cdot b}}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

r – радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания

{S = sqrt{a cdot b} cdot dfrac{a+b}{2}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону

{S = c cdot sqrt{a cdot b}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

c – боковая сторона равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию

{S = m cdot sqrt{a cdot b}}

a и b – основания равнобедренной трапеции

m – средняя линия равнобедренной трапеции

Примеры задач на нахождение площади трапеции

Задача 1

Найдите площадь трапеции, если основания равны 6см и 9 см, а высота трапеции равна 5 см.

Решение

Для решения задачи воспользуемся первой формулой.

S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h = dfrac{1}{2} (6 + 9) cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 75 = 37dfrac{1}{2} : см^2

Ответ: 37.5 см²

Полученный ответ легко проверить с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь трапеции средняя линия которой равна 18 см, а высота 9 см.

Решение

С решением этой задачи нам поможет вторая формула.

S = m cdot h = 18 cdot 9 = 162 : см^2

Ответ: 162 см²

Воспользуемся калькулятором для проверки результата.

Задача 3

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Решение

Для решения этой задачи нам поможет третья формула.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{10+8+2 cdot 3}{2} = dfrac{10+8+6}{2} = dfrac{24}{2} = 12

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-10)(12-8)(12-2 cdot 3)} = sqrt{12 cdot 2 cdot 4 cdot 6} = sqrt{576} = 24 : см^2

Ответ: 24 см²

Осталось проверить полученный ответ.

Задача 4

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.

Решение

Задача похожа на ту, что мы только что решили. Поэтому повторим шаги.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{17+15+ 2 cdot 4}{2} = dfrac{17+15+8}{2} = dfrac{40}{2} = 20

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{20(20-17)(20-15)(20-2 cdot 4)} = sqrt{20 cdot 3 cdot 5 cdot 12} = sqrt{3600} = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 8 и 6 а средняя линия равна 5.

Решение

Еще одна типовая задача. Повторим действия как в задачах выше.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{8+6+ 2 cdot 5}{2} = dfrac{8+6+10}{2} = dfrac{24}{2} = 12

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-8)(12-6)(12-2 cdot 5)} = sqrt{12 cdot 4 cdot 6 cdot 2} = sqrt{576} = 24 : см^2

Ответ: 24 см²

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренной трапеции если её основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.

Решение

Для решения этой задачи используем формулу Брахмагупты.

Сначала вычислим p:

p = dfrac{a+b+2c}{2} = dfrac{5+17+2 cdot 10}{2} = dfrac{22+20}{2} = dfrac{42}{2} = 21

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2} = sqrt{(21-5)(21-17)(21-10)^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 11^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 121} = sqrt{7744}= 88 : см^2

Ответ: 88 см²

Проверка .

Задача 7

Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а основания равны 8 и 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha) = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°)

Тангенс 45° = 1, продолжим вычисления:

S = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°) = dfrac{1}{2}(64-36) cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 28 = 14 : см^2

Ответ: 14 см²

Убедиться в правильности решения нам поможет калькулятор .

Источник

Как найти площадь неравнобедренной трапеции?

На этой странице находится ответ на вопрос Как найти площадь неравнобедренной трапеции?, из категории
Геометрия, соответствующий программе для 10 – 11 классов. Чтобы посмотреть
другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов
подберите похожие вопросы и ответы в категории Геометрия. Ответ, полностью
соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого
интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе.
Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не
только просмотреть, но и прокомментировать.

Источник

На чтение 9 мин. Просмотров 4.3k.

Формулы для вычисления площади всех видов трапеции, онлайн калькуляторы для расчета. Вывод основной формулы и примеры применения формул в задачах. Удобный справочный материал с подробными объяснениями.

Чему равна площадь трапеции? Трапеция это важная и часто исследуемая геометрическая фигура в курсе геометрии, начиная с 7 класса. В процессе обучения школьники учатся решать задачи по геометрии на нахождение боковых сторон и оснований трапеции, углов и средней линии. Важно уметь находить периметр и площадь трапеции. Рассмотрим чему равна площадь трапеции и решим несколько задач на нахождение площади трапеции.

Как найти площадь произвольной трапеции
- Доказательство 1
- Доказательство 2
Примеры решения задач
- Задача 1
- Задача 2
Формулы площади трапеции для всех трапеций
По высоте и основаниям
- По высоте и средней линии
- По известным четырем сторонам
- По известным основаниям и углам при основании
- По двум диагоналям и углу между ними
- Площадь прямоугольной трапеции
- Площадь равнобедренной трапеции
Таблица формул для определения площади трапеции

Как найти площадь произвольной трапеции

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна произведению полусуммы её оснований на высоту трапеции.

$S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot (BC+AD) cdot BH$

Трапеция ABCD

Единицей измерения площади является квадратная единица длины: м², см², кв.ед., км².

Докажем, что данная формула верна для любой трапеции.

Доказательство 1

Пусть нам дана трапеция , проведем из вершины высоту трапеции на сторону .

Продлим сторону на длину основания получим точку . Продлим сторону трапеции на длину стороны . Получим точку .

Соединим точки и . Трапеция равна трапеции по построению.

Полученный в результате построения четырехугольник — параллелограмм, площадь которого равна двум площадям трапеции :

$S_{ABA_1B_1}=AB_1 cdot BH$

Отсюда площадь трапеции

$S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot AB_1 cdot BHAB_1 cdot BH=frac{1}{2} cdot (AD+DB_1) cdot BH$

так как , то получим:

$S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot (AD+BC) cdot BH$ .

Таким образом, $S=frac{1}{2 }(a+b)h$ .

Что и требовалось доказать.

Доказательство 2

Достроим трапецию ABCD до прямоугольника, получим прямоугольник .

Площадь трапеции можно получить, если вычесть из площади прямоугольника площади достроенных треугольников.

Построение прямоугольника из трапеции для доказательства

Находим $S_{ABCD}=hb-(S_1+S_2)=hb-frac{1}{2}(hm+hn)=hb-frac{1}{2}h(m+n)=hb-frac{1}{2}h(b-a)=hb-frac{1}{2}hb+frac{1}{2}ha=frac{1}{2}h(b+a)$ .

Можно еще привести множество доказательств правильности формулы для площади трапеции, но двух уже достаточно.

Давайте теперь решим несколько задач на нахождение площади трапеции.

Как найти площадь равнобедренной трапеции? Точно также как и площадь любой другой трапеции. Формула одна и та же.

Примеры решения задач

Решим задачи, в которых нужно узнать площадь трапеции.

Задача 1

Вычислить площадь четырехугольника $S_{ABCD}$ , если известно, что , и боковая сторона перпендикулярна к , а .

Решение.

По последнему условию боковая сторона является высотой трапеции.

Рисунок к задаче 1

Тогда $S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot 5 cdot (5+7)=30$ .

Ответ: 30.

Задача 2

Дана трапеция . Известно, что см, , см, а ∠=30°. Найти $S_{ABCD}$ .

Рисунок к задаче 2 площадь трапеции

Решение:

Для определения площади нам потребуется знать высоту . Определим ее из прямоугольного треугольника . Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, а, следовательно, см.

Определим . Так как , то получим: см.

Тогда $S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot h (AD+BC)=frac{1}{2} cdot 1,5 (8+4)=9$ см.

Ответ: 9 см.

Формулы площади трапеции для всех трапеций

Ниже приведем все формулы для определения площади трапеции, которые можно использовать. Однако, многие из них выводятся из основной, приведенной выше и редко используются как самостоятельные. Запоминать их нет необходимости, так как их всегда можно вывести. Однако, если вам дана задача с исходными данными и нужно проверить правильность ее решения, именно с исходными данными (например, даны только длины всех сторон трапеции, а нужно найти ее площадь), то используйте наши онлайн-калькуляторы.

По высоте и основаниям

Проверьте вычисления, используя наш онлайн калькулятор. Десятичные дроби вводите через точку. Ориентируйтесь на обозначения на рисунке.

Введите длину нижнего основания трапеции (на рисунке ) :

Введите длину верхнего основания трапеции (на рисунке ) :

Введите значение высоты трапеции h :

Площадь трапеции $S_{ABCD}=frac{1}{2}h(AD+BC)=$

По высоте и средней линии

Если дана высота и средняя линяя трапеции, то ее площадь можно найти по формуле:

где — средняя линия трапеции,

— высота.

Введите высоту трапеции :

Введите длину средней линии :

Площадь трапеции $S_{ABCD}=hm=$

По известным четырем сторонам

Если известны стороны трапеции , , , , то формула площади:

$S=displaystyle frac{a+b}{2}sqrt{c^2-left(frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}right)^2}$

Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором:

Введите сторону :

Площадь трапеции $S_{ABCD}=displaystyle frac{a+b}{2}sqrt{c^2-left(frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}right)^2}=$

По известным основаниям и углам при основании

Если известны стороны трапеции , и углы при основании, то формула площади:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha} cdot sin{beta}}{sin{(alpha+beta)}}$

Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором:

Введите сторону :

Введите угол (в градусах) :

Введите угол (в градусах ):

Площадь трапеции $S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha} cdot sin{beta}}{sin{(alpha+beta)}}=$

По двум диагоналям и углу между ними

Если известны диагонали трапеции , и угол между ними, то формула площади трапеции:

$S=displaystyle frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdot sin{alpha}$

Если вам известны эти величины, то можно быстро найти площадь, используя наш калькулятор онлайн:

Введите диагональ :

Введите угол (в градусах) :

Площадь трапеции $S=displaystyle displaystyle frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdot sin{alpha}=$

Площадь прямоугольной трапеции

Если известны основания прямоугольной трапеции , и угол у большего основания, то формула площади трапеции:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2} tg alpha$

Вывод формулы: действительно, для произвольной неравнобедренной и не прямоугольной трапеции площадь по известным основаниям и углам при основании определяется по формуле:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha} cdot sin{beta}}{sin{(alpha+beta)}}$ .

Если угол при основании равен 90 градусов (для прямоугольной трапеции) (пусть это угол ) то получим

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha}}{sin{(alpha+frac{pi}{2})}}$ .

По формулам приведения $sin{(alpha}+frac{pi}{2})}=cos{alpha}$

Тогда формула примет вид:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha}}{cos{alpha}}$ , так как $displaystyle frac{sin alpha}{cos{alpha}}=tg alpha$ , то окончательно получается:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot tg alpha$

Если вам известны эти величины, то можно быстро найти площадь, используя наш калькулятор онлайн:

Сторона :

Введите угол (в градусах) :

Площадь трапеции $S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2} tg alpha=$

Площадь равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по любой из вышеприведенных формул, кроме формулы для прямоугольной трапеции, если ввести одинаковые значения для боковых сторон.

Например, формула нахождения площади по известным сторонам, упростится и будет иметь вид:

$displaystyle S=frac{1}{2}(a+b) cdot sqrt{c^2-left( frac{a-b}{2}right)^2}$

Сторона :

Площадь трапеции $displaystyle S=frac{1}{2}(a+b) cdot sqrt{c^2-left( frac{a-b}{2}right)^2}=$

Таблица формул для определения площади трапеции

Сведем для удобства все формулы в таблицу. Если вам дана прямоугольная или равнобедренная трапеция, вы всегда можете определить ее площадь по любой из формул для неравнобедренной (произвольной) трапеции, просто введите одинаковые значения для боковой стороны.

Известные величины для расчета	Рисунок	Формула
Высота и основания		$S_{ABCD}=frac{1}{2}h(AD+BC)$
Высота и средняя линия
Все стороны		$S=displaystyle frac{a+b}{2}sqrt{c^2-left(frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}right)^2}$
Основания и углы при основании		$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha} cdot sin{beta}}{sin{(alpha+beta)}}$
Две диагонали и угол между ними		$S=displaystyle frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdot sin{alpha}$
Угол при основании 90° (случай прямоугольной трапеции), известен другой угол при основании и основания		$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2} tg alpha$
Боковые стороны равны (случай равнобедренной трапеции), известны стороны		$displaystyle S=frac{1}{2}(a+b) cdot sqrt{c^2-left( frac{a-b}{2}right)^2}$

Источник

Формула площади трапеции

Похожие калькуляторы:

Площадь трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию

Площадь трапеции через 4 стороны

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через основания и углы при основании

Площадь трапеции через площади треугольников

Площадь трапеции через диагонали и высоту

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту

Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию

Примеры задач на нахождение площади трапеции

Как найти площадь произвольной трапеции

Доказательство 1

Доказательство 2

Примеры решения задач

Задача 1

Задача 2

Формулы площади трапеции для всех трапеций

По высоте и основаниям

По высоте и средней линии

По известным четырем сторонам

По известным основаниям и углам при основании

По двум диагоналям и углу между ними

Площадь прямоугольной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции

Таблица формул для определения площади трапеции

Вам также может понравиться

Код c80003fa windows 7 как исправить

Как на телефоне найти приложение play market

Как найти деревню долгое

Добавить комментарий Отменить ответ