Как найти площадь неравностороннего шестиугольника

Оглавление:

1. Площадь правильного шестиугольника
2. Площадь неправильного шестиугольника
3. Площадь равностороннего шестиугольника

Умение определять площадь различных фигур играет немалую
роль в жизни каждого человека. Рано или поздно приходится иметь дело с этими
знаниями. К примеру, в процессе ремонта помещения для определения необходимого
количества рулонов обоев, линолеума, паркета, плитки в ванную или на кухню
нужно уметь рассчитывать необходимую площадь.

Знаниями в области геометрии пользовались еще в древнем
Вавилоне и других странах. На первых шагах к культуре всегда возникала
необходимость измерить участок, расстояние. При строительстве первых
значительных сооружений требовались умения выдерживать вертикаль,
спроектировать план.

Роль эстетических потребностей людей также имела немалое
значение. Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу
формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён
добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение.

Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю,
и архитектору и каждому простому человеку в быту.

Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных
фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на
практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника. Шестиугольником называется
такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести.

Площадь правильного шестиугольника

Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру,
которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между
собой равны.

В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы,
имеющие форму правильного шестиугольника. Это и металлическая гайка, и ячейки
пчелиных сот, и структура снежинки. Шестиугольными фигурами отлично заполняются
плоскости. Так, например, при мощении тротуарной плитки мы можем наблюдать, как
плитка укладывается одна возле другой, не оставляя пустых мест.

Свойства
правильного шестиугольника

• Правильный шестиугольник всегда будет иметь равные углы,
  каждый из которых составляет 120˚.
• Сторона фигуры равняется радиусу описанной окружности.
• Все стороны в правильном шестиугольнике равны.
• Правильный шестиугольник плотно заполняет плоскость.

Как посчитать
площадь правильного шестиугольника?

Площадь правильного шестиугольника можно рассчитать,
разбив его на шесть треугольников, каждый из которых будет иметь равные
стороны.

Для расчета площади правильного треугольника используется
следующая формула:

Зная площадь одного из треугольников, можно легко
рассчитать площадь шестиугольника. Формула для ее расчета проста: поскольку
правильный шестиугольник — это шесть равных треугольников, следует площадь
нашего треугольника умножить на 6.

Если провести от центра фигуры к любой из ее сторон
перпендикуляр, получим отрезок, который называется апофема. Рассмотрим, как
найти площадь шестиугольника при известной апофеме:

1. Площадь = 1/2*периметр*апофему.
2. Предположим, наша апофема равняется 5√3 см.

1. Используя апофему, находим периметр: Поскольку апофема
   расположена перпендикулярно к стороне шестиугольника, то углы треугольника,
   созданного при помощи апофемы, будут равняться 30˚—60˚—90˚. Каждая сторона
   полученного треугольника будет соответствовать: x-x√3-2x,
   где короткая сторона, которая расположена напротив угла в 30˚— это x, длинная сторона,
   расположенная напротив угла в 60˚ — это x√3,
   а гипотенуза — 2x.
2. Поскольку апофема представлена, как x√3, можно подставить ее в формулу a = x√3 и решить. Если, к примеру,
   апофема = 5√3, тогда подставим эту
   величину в формулу и получим: 5√3 см = x√3, или x = 5
   см.
3. Итак, короткая сторона треугольника равняется 5 см.
   поскольку эта величина является половиной длины стороны шестиугольника,
   умножаем 5 на 2 и получим 10 см, которая является длиной стороны.
4. Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр
   шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
5. Подставим полученные результаты в нашу формулу:

  Площадь =
1/2*периметр*апофему

  Площадь = ½*60см*5√3

Решаем:

Теперь осталось упростить
ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в
квадратных сантиметрах:

½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3
см =150 √3 см =259.8 см²

Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника

Площадь неправильного шестиугольника

Существует несколько вариантов определения площади
неправильного шестиугольника:

• Метод трапеции.
• Метод расчета площади неправильных многоугольников при
  помощи оси координат.
• Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут
известны, подбирается подходящий метод.

Метод трапеции

Площадь шестиугольника, имеющего произвольную
(неправильную) форму, рассчитывается методом трапеции, суть которого состоит в
разделении шестиугольника на отдельные трапеции и последующим вычислением
площади каждой из них.

Метод с осями
координат

Кроме этого, площадь неправильного шестиугольника можно рассчитать
при помощи метода расчета площади неправильных многоугольников. Рассмотрим его
на следующем примере:

Вычисление будем выполнять методом использования
координат вершин многоугольника:

1. На этом этапе следует сделать таблицу и записать
   координаты вершин x и y. Выбираем вершины в
   последовательном порядке по направлению против часовой стрелки, завершив конец
   списка повторной записью координаты первой вершины:

1. Теперь следует умножить значения координаты х 1-й вершины
   на y 2-й
   вершины и продолжить таким образом умножение далее. Затем необходимо сложить
   полученные результаты. В нашем случае получилось 82:

1. Последовательно умножаем значения координат y1-й
   вершины на значения координат х 2-й вершины. Суммируем полученные результаты. В
   нашем случае получилось 38:

1. Вычитаем сумму, которую получили на четвертом этапе из
   суммы, которая получилась на третьем этапе: 82 – (-38) = 120

1. Теперь необходимо разделить результат, который был
   получен на предыдущем этапе и найдем площадь нашей фигуры: S= 120/2 = 60
   см²

Метод разбивания
шестиугольника на другие фигуры

Каждый многоугольник можно разделить на несколько других
фигур. Это могут быть треугольники, трапеции, прямоугольники. Исходя из
известных данных, пользуясь формулами определения площадей перечисленных фигур,
последовательно вычисляются их площади и затем суммируются.

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух
параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его
длину на ширину и затем сложить две уже известные площади.

Видео о том, как найти площадь многоугольника

Площадь равностороннего шестиугольника

Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и
является правильным шестиугольником.

Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6
площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура.

Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны,
поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать
площадь хотя бы одного треугольника.

Для нахождения площади равностороннего шестиугольника
используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная
выше.

А Вы знали, как найти площадь шестиугольника? Как думаете, где эти знания пригодятся Вам в жизни? Поделитесь своим мнением в комментариях.

Как найти площадь неправильной фигуры

В школьном курсе геометрии ученики в основном считают площади правильных многоугольников. Между тем, для решения множества практических задач нередко приходится иметь дело с неправильными геометрическими фигурами. С этой проблемой человек сталкивается и при определении размеров дачного участка или придомовой территории, и при расчете количества ткани для шитья, и еще во многих случаях. Высчитать площадь неправильной фигуры можно несколькими способами.

Вам понадобится

• – неправильная геометрическая фигура;
• – измерительные инструменты;
• – прозрачный пластик;
• – линейка;
• – угольник;
• – шариковая ручка.

Инструкция

Рассмотрите геометрическую фигуру и определите, какие ее параметры вам известны. Это могут быть длины сторон или углы. В зависимости от заданных параметров и выберите способ определения площади. Например, разделите ее на несколько фигур, формулы вычисления площади которых вы знаете. Один из самых распространенных методов — провести диагонали из одного угла ко всем остальным вершинам. В этом случае вам нужно знать формулу вычисления площади произвольного треугольника. Но никто не запрещает разделить заданную фигуру и на другие многоугольники. Например, при расчете площади пола в комнате с нишей удобнее разделить неправильную фигуру на два прямоугольника или квадрата.

Для определения площади не слишком большой детали можно воспользуйтесь палеткой. Ее можно сделать самому. Отрежьте прямоугольный кусок любого прозрачного пластика. Разделите его на квадраты, площадь которых вам известна — например, 1х1 или 0,5х0,5 см. Линейка и угольник должны быть точными. Наложите палетку на деталь. Сосчитайте полные квадратики, затем — неполные. Количество неполных квадратов разделите на 2 и приплюсуйте результат к числу целых. Чем мельче деления на палетке — тем точнее будет результат. Аналогично можно посчитать и площадь участка. Роль палетки будет выполнять сетка из квадратов со стороной 1х1 м, начерченная на земле или отмеченная колышками с протянутыми между ними шнурами. Можно ограничиться и разметкой территории на полосы. .

С крупными площадями можно поступить и иначе. Возьмите максимально точный план участка или придомовой территории. Определите масштаб. Воспользуйтесь одним из предложенных способов. Затем полученное количество квадратных сантиметров переведите в нужный масштаб.

Полезный совет

При изготовлении плоских деталей из металла можно вычислить их площадь по эталону с помощью взвешивания. Вырежьте саму деталь и эталон — квадратик, площадь которого удобно рассчитать. Делать их необходимо из одного и того же материала, причем толщина листа должна быть одинаковой и при этом незначительной. Вычислите соотношение масс, а по ней — неизвестную площадь. Однако это не очень точный способ и применять его можно только в крайних случаях.

Любую неправильную фигуру можно представить в виде графика. Каждая точка имеет свои координаты. Представьте каждый отрезок как график функции. Площадь участка от абсциссы до него являет собой определенный интеграл. Высчитайте все интегралы. Площадь фигуры определите с помощью разности интегралов с большим и меньшим значением. Это довольно трудоемкий метод, но он дает наибольшую точность.

Источники:

• http://matemonline.com/rubrika/%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB/

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Данный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку — площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE. Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте — длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры. Для проверки также выводятся площади обсчитанных им треугольников. В поле «Ошибка» выводится вершина, которую не удалось сопоставить ни одному треугольнику (если, например, введены еще не все диагонали).

По умолчанию в таблицу введены стороны и диагонали многоугольника на картинке, что легко исправить, нажав кнопку «Очистить таблицу».