Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
Урок математики в 4 -м классе “Площадь треугольника”
- Сформировать понятие площади треугольника.
- Вывести формулу S треугольника.
- Повторить основные математические понятия (катеты, гипотенуза, высота…)
- Тренировать навыки быстрого счета
- Развитие мыслительных операций: (анализ, синтез, сравнение, обобщение)
Ход урока
I этап: Самоопределение к деятельности.
– У нас сегодня большое количество гостей, поздороваемся с ними. (Дети здороваются и садятся).
– Как думаете, какое количество гостей присутствует на нашем уроке? (Дети не считая отвечают и дают примерный результат).
– 1/6 часть всего кол-ва, это учителя нашей школы. Сколько их?
– Что мы сейчас делали? (Считали гостей).
– Всегда ли ваши ответы были точными? (Нет).
– По какой причине? (Не было времени считать, сделали прикидку, на глаз оценили).
– Используем ли мы данный прием на уроках? (Да).
– В каких ситуациях? (Нехватка времени, нет иного способа действия).
– Но математика наука точная, еще древний философ Платон говорил: «Математика приближает разум к истине». А значит ответы все же должны быть верными.
– А вот современное высказывание гласит: «Математику изучить нельзя…».
– Вы согласны с этим утверждением? (Нет, тогда что мы на уроках делаем?)
– Дело в том, что у этой фразы есть продолжение, которое вносит иной смысл , но вот какой и какое же у фразы продолжение мы узнаем в конце урока.
II этап: Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
- Быстрый счет. (Конечный ответ цепочки примеров дети фиксируют на планшете).
- Внимание на экран. Какое из слов может быть лишним и почему?
(Погода ,т.к не имеет к математике отношения).
– Но и не все оставшиеся слова будут иметь отношение к сегодняшнему уроку математики. Определить круг ключевых слов урока нам поможет арифметический диктант.
Арифметический диктант: (1 за доской, остальные работают в тетради)
– третья часть 18 6, 15, 7, 70, 24
– 1/6 часть числа это 4, найди все число
(Проверка числового ряда, на экране исчезают лишние слова и числа).
– Что объединяет оставшиеся числа? (Целые, натуральные).
– На какие две группы можно разбить? (Дети предлагают варианты).
– А вот оставшиеся слова объединены темой сегодняшнего урока. Чтобы нам ее сформулировать как можно точнее, давайте вспомним основные математические понятия и поиграем в математическое лото.
(Детям предлагаются карточки двух цветов, вопросы и ответы).
Основанием треугольника называется
Сторона, на которую опущен перпендикуляр
Сторона треугольника, лежащая против прямого угла называется…
Это место, которое фигура занимает на плоскости
Это равенство, устанавливающее взаимосвязь между величинами
Тупоугольным называется треугольник, у которого
Один из углов тупой
Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются
Перпендикулярные линии это
Линии, которые при пересечении образуют прямой угол
Перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону
Остроугольным называют треугольник
У которого все углы острые
В зависимости от длины сторон треугольники бывают
Равносторонние, разносторонние, равнобедренные
Прямоугольным называют треугольник, у которого
Один из углов прямой
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо
Длину умножить на ширину
Предлагаю поиграть еще в одну игру, которую придумали китайцы, всегда слывшие хорошими математиками. Она называется «Танграм».
Суть ее состоит в собирании фигур из более мелких геометрических фигур. Работать будем в парах. Откройте конверт №1 и выложите все фигуры перед собой. Перечислите все, что перед вами. (4 маленьких и 2 больших прямоугольных треугольника разного цвета).
– Соберите из всех фигур:
1 ряд – квадрат
2 ряд – прямоугольник
3 ряд – треугольник
(Практическая работа в парах, проверка построений с помощью компьютера).
– Что объединяет все получившиеся фигуры? (Многоугольники, состоят из равного кол-ва фигур).
– Сравните их по площади. (Равные, т.к. состоят из одинаковых частей).
– Как называются такие фигуры? (Равновеликие).
– Можете ли вы утверждать, что данные фигуры также равновеликие? (нет, другая ситуация, иной значит способ действия).
– Используете знания свои и сравните фигуры по площади).
(Дети без труда по формуле находят S квадрата и прямоугольника, но возникает проблема при работе с треугольником).
III этап: Постановка проблемы, формулирование темы урока.
– Почему возникло затруднение? (Не знаем как найти S треугольника, можем только найти неточный результат).
– Значит какова цель сегодняшнего урока? ( научиться находить S треугольника).
– На основе поставленной цели и ключевых слов урока, попробуйте как можно точнее сформулировать тему сегодняшнего урока.
(S прямоугольного треугольника).
IV этап: Проектирование и фиксация нового знания.
Расскажите все о треугольнике, который перед вами. (Прямоугольный, разносторонний).
– В группах попробуйте найти способ нахождения S прямоугольного треугольника, создать формулу и прокомментировать свои действия.
(Результаты вывешиваются на доску, в громкой речи проговаривается способ действия).
– Что такое стороны а и в? (Катеты).
– Сформулируйте свои выводы в знаковой и словесной форме.
– S = ( а в ) : 2 , Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов).
– Сверим свою формулировку с предложенной в учебнике (стр. 95).
– Площадь какого треугольника мы находили? (Прямоугольного).
– А для других треугольников эта формула будет верна? (Нет, т.к. нет катетов).
– Тогда давайте составим алгоритм наших действий.
Алгоритм.
- Выдели прямой угол
- Измерь длину катетов
- Найди S по формуле.
V этап: Первичное закрепление во внешней речи.
Выполняется в парах задание из учебника (стр. 95 № 5).
VI этап: Самостоятельная работа с самопроверкой.
– Сравните фигуры по площади.
(Появляются в тетрадях записи:
S = ( 4 * 3 ): 2 = 6 кв.см
S = ( 2 * 6 ): 2 = 6 кв.см
S = S
VII этап: Включение в систему знаний и повторение.
– Вернемся к заданию, вызвавшему затруднение. Выполните расчеты в тетради и сравните площади данных фигур.
S = 2 * 2 = 4 кв.см
S = 1 * 3 = 3 кв.см
S = (3 * 2 ) : 2 = 3 кв.см
– Что можете сказать о S прямоугольника и треугольника? (Она одинаковая, значит фигуры равновеликие).
Что вы можете сказать о данном треугольнике?
– Можем ли мы воспользоваться нашим алгоритмом для нахождения его площади?
(Нет, т.к. должен быть треугольник прямоугольным).
– А нельзя ли с помощью построений сделать из данного треугольника два прямоугольных?
(Можно, надо провести высоту).
Чему будет равна площадь всего треугольника?
(Сумме S двух прямоугольных треугольников, их S мы умеем находить).
S = ( а* h ) : 2
S = ( а * h ) : 2
S = ( ( а + а ) * h ) : 2
( а + а ) -основание , значит
S = ( а * в ) : 2, где а – катет основание; в – катет высота
– Давайте дополним алгоритм.
Алгоритм.
VII этап: Рефлексия деятельности.
– Какова была цель урока?
– Удалось ли нам ее выполнить?
– А теперь узнаем окончание фразы «Математику нельзя изучить, наблюдая как это делает сосед».
– Вы согласны с этим утверждением. (да, на уроке мы делали все сами, а не только наблюдали)
– Что на уроке было главным, а что интересным?
Д/З : (На выбор). – Найди S фигур и сравни фигуры по S.
(Задание в конвертах, на основе демонстрации дети выбирают нужное для себя, определив уровень понимания темы на данном этапе и берут задание из конверта)
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika
http://urok.1sept.ru/articles/520817
[/spoiler]
Как найти площадь любого треугольника
Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.
Как найти площадь любого треугольника
Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.
Зная сторону и высоту
- Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.
Зная две стороны и угол между ними
- Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
- Найдите синус угла между выбранными сторонами.
- Перемножьте полученные числа.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a и b — стороны треугольника.
- α — угол между сторонами a и b.
Зная три стороны (формула Герона)
- Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
- Найдите произведение полученных чисел.
- Умножьте результат на полупериметр.
- Найдите корень из полученного числа.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b, c — стороны треугольника.
- p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).
Зная три стороны и радиус описанной окружности
- Найдите произведение всех сторон треугольника.
- Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
- S — искомая площадь треугольника.
- R — радиус описанной окружности.
- a, b, c — стороны треугольника.
Зная радиус вписанной окружности и полупериметр
Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.
- S — искомая площадь треугольника.
- r — радиус вписанной окружности.
- p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
Как найти площадь прямоугольного треугольника
- Посчитайте произведение катетов треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.
Как найти площадь равнобедренного треугольника
- Умножьте основание на высоту треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.
Как найти площадь равностороннего треугольника
- Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
- Поделите результат на четыре.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.
Читайте также 🧠👨🏻🎓✍🏻
- 7 причин полюбить математику
- ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
- 10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
- Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
- ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?
Вычисли в квадратных сантиметрах площадь треугольника FDK.
Образец. Чтобы найти площадь треугольника ABC, мысленно достроим треугольник ABC до прямоугольника (см. рис. 1). Так как диагональ AB делит прямоугольник на два равных треугольника, то площадь треугольника ABC будет в 2 раза меньше площади полученного прямоугольника, т.е. (3 * 2) : 2 = 3
(
с
м
2
)
.
reshalka.com
ГДЗ учебник по математике 4 класс Дорофеев. Часть 1 страница 97. Номер №7
Решение
1) (3 * 2) : 2 = 6 : 2 = 3
(
с
м
2
)
− площадь треугольника FDH;
2) (2 * 2) : 2 = 4 : 2 = 2
(
с
м
2
)
− площадь треугольника DHK;
3) 3 + 2 = 5
(
с
м
2
)
− площадь треугольника FDK.
Ответ: 5
с
м
2
.
Прежде, чем говорить всяко-разные, не обязательно печатные, выражения и оскорблять представителей вида Capra aegagrus hircus сравнением авторов учебника с этими животными – желательно бы видеть фото этой страницы учебника…
Четвёртый класс… Только вводятся основные понятия геометрии, абсолютно нет никаких сведений по тригонометрии, даже и намёка нет об основных аксиомах и теоремах геометрии, ноль понятия об иррациональных числах (и, соответственно, квадратных корнях) – и посчитай площадь разностороннего треугольника!
Единственный способ, который не использует ни тригонометрии, ни корней – через радиус вписаной окружности: площадь треугольника равна произведению радиуса вписаной окружности на полупериметр.
Если “четвертачкам” уже объяснили смысл биссектрисы и способы её построения, объяснили, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника, объяснили понятие вписаной окружности (в чём я капитально сомневаюсь) – построят и найдут. Но – “плюс-минус убежало”: радиус вписаной окружности можно будет только измерить линейкой.
А это – “не наш метод”: в геометрии построение считается правильным только тогда, когда оно выполнено линейкой без делений и циркулем без шкалы углов. Но зато – математически обосновано.
А математический аппарат таких обоснований излагают школярам далеко не в четвёртом классе…
Кому интересна методика построения вписаной окружности – пожалуйста:
1) Из вершины А любым (в разумных пределах…) раскрывом циркуля делаем засечки на прилегающих сторонах треугольника;
2) Из этих точек тем же раскрывом циркуля рисуем вспомогательные сегменты окружностей внутри угла между сторонами треугольника;
3) Через точку пересечения этих вспомогательных сегментов рисуем луч из точки А – это и будет биссектриса угла а;
4) Повторяем 1), 2) и 3) для остальных двух вершин. Точка пересечения трёх биссектрис и будет центром вписаной окружности;
5) Строим перпендикуляр к стороне треугольника, проходящий через центр вписаной окружности: из точки пересечения биссектрис делаем (подобрав подходящий раскрыв циркуля) две засечки на любой стороне треугольника. Из этих точек тем же раскрывом циркуля строим симметричную относительно стороны треугольника точку и проводим линию, соединяющую полученную точку и центр вписаной окружности. Точка пересечения этой линии со стороной треугольника будет точкой касания вписаной окружности к стороне треугольника. Расстояние от точки касания до центра вписаной окружности – и есть необходимый нам радиус вписаной окружности.
Можно повторить 5) для каждой из сторон треугольника – это ничего не изменит, поскольку вписаная окружность может быть только одна, и радиус её, естественно, тоже один. Единственный плюс: мы получим все три точки касания вписаной окружности к сторонам треугольника…
А теперь измеряйте длину этого радиуса милиметровой линейкой, микрометром, нанометром, … Всё это филькина грамота – до тех пор, пока мы математически не обоснуем формулу нахождения этого самого радиуса.
А это – не по “четвертачку” панамка!
Я могу поизголяться и через ещё тыщонку знаков результат по Герону (три корня из пятнадцати) подтвердить через “Пифагоровы штаны”. Но – снова упираемся в корни…
Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
что эти фигуры совпадут.
Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.
Площадь квадрата
Запомните!
Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.
S = a · a
Пример:
SEKFM = EK · EK
SEKFM = 3 · 3 = 9 см2
Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:
S = a2
Площадь прямоугольника
Запомните!
Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.
S = a · b
Пример:
SABCD = AB · BC
SABCD = 3 · 7 = 21 см2
Запомните!
Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.
Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.
Площадь сложных фигур
Запомните!
Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.
Задача: найти площадь огородного участка.
Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.
Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.
SABCE = AB · BC
SEFKL = 10 · 3 = 30 м2
SCDEF = FC · CD
SCDEF = 7 · 5 = 35 м2
Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 м2
Ответ: S = 65 м2 — площадь огородного участка.
Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.
Запомните!
Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.
Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник:
АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников
ABC и
ACD
Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.
SABCD = AB · BC
SABCD = 5 · 4 = 20 см2
S
ABC = SABCD : 2
S
ABC = 20 : 2 = 10 см2
S
ABC =
S
ACD = 10 см2
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
3 декабря 2015 в 22:54
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
как написать правильно площадь треугольника?
0
Спасибо
Ответить
9 декабря 2015 в 19:41
Ответ для Ирина Петренко
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
S(рисуешь мини треугольник) = ,,,,,
0
Спасибо
Ответить
