Как найти площадь объем на векторах

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3; —1;2).

Для определения площади ΔABC с помощью (4.10) найдем координаты векторов AB и AC: AB = {1 — 4; 2 — 4; 3 — 4} = { — 3; —2; —1}, —1 = {3 — 4; —1 — 4; 2 — 4} = { — 1; —5; —2}.

Затем по (3.2) вычислим их векторное произведение:

Модуль этого векторного произведения равен |AB×AC| = √((—1)² + (—5)² + 13²) = √195, и следовательно, S ΔABC = |AB×AC|/2 = √195/2 #

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах AB, AC и AS. Таким образом, объем этой пирамиды равен VSABC = |ABACAS|/6.

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; —1;1), B(5; 5; 4), C(3; 2; —1), S(4;1;3).

Используя (4.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: AB = {5 — 2; 5 — (—1);4 — 1} = {3; 6; 3}, AC = {3 — 2; 2 — (—1); —1 — 1} = {1;3; —2},= AS {4 — 2;1 — (—1); 3 — 1} = {2;2;2}, и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов:

Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела – всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Онлайн калькулятор. Площадь треугольника построенного на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Выберите каким образом задается треугольник:

Введите значения векторов: Введите координаты точек:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника построенного на векторах

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.

Теория. Площадь треугольника построенного на векторах

Определение Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Ориентированные площади и объёмы

Ориентированная площадь параллелограмма

Ориентированной площадью параллелограмма , построенного на неколлинеарных векторах и , называется его площадь , взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов и правая , и со знаком минус, если ориентация — левая

Внешним (косым) произведением неколлинеарных векторов и на плоскости называется число, равное ориентированной площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если векторы и коллинеарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается . Его свойства повторяют алгебраические свойства векторного произведения, т.е. для любых векторов на плоскости и любого числа справедливы равенства:

4) Если векторы и в правом ортонормированием базисе имеют координаты и соответственно, то внешнее произведение этих векторов находится по формуле

Если — координатные столбцы векторов в стандартном базисе на плоскости, то их внешнее произведение находится по формуле

Приведенные свойства внешнего произведения следуют из алгебраических свойств векторного произведения, если векторы на плоскости рассматривать как векторы в пространстве с нулевыми аппликатами.

Рассмотрим задачу разложения вектора по базису на плоскости. Отложим все векторы от произвольной точки . Сначала разберем случаи, когда векторы и коллинеарны: одинаково направлены (рис.1.49,а) или противоположно направлены (рис. 1.49,6). В этих случаях ордината вектора равна нулю, а абсцисса находится как отношение

так как пара в первом случае правая (рис.1.49,а), а во втором случае — левая (рис.1.49,б).

Пусть теперь векторы и не коллинеарны (рис.1.49,в). Построим проекции и на прямые, содержащие базисные векторы: . Из концов векторов и опустим перпендикуляры и соответственно на прямую, содержащую вектор . Учитывая, что векторы и противоположно направлены, а также подобие прямоугольных треугольников с гипотенузами и , находим абсциссу вектора :

так как пара — правая, а пара — левая. Аналогично находится ордината (векторы и одинаково направлены)

Таким образом, вектор имеет следующее разложение по базису на плоскости:

Рассмотрим применение формулы (1.19) для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Эту систему можно записать в виде .Рассматривая полученные столбцы как координатные столбцы векторов в стандартном базисе на плоскости, получаем разложение .

Таким образом, нахождение решения системы уравнений свелось к задаче разложения вектора по векторам и . Предполагая, что коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. (векторы и не коллинеарны), по формуле (1.19), полагая , получаем:

Ориентированный объем параллелепипеда

Ориентированным объемом параллелепипеда , построенного на некомпланарных векторах , называется его объем , взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов правая и со знаком минус, если ориентация — левая .

Внешним (косым) произведением некомпланарных векторов называется число, равное ориентированному объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если векторы компланарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается .

Внешнее произведение трех векторов совпадает с их смешанным произведением (в силу первого геометрического свойства смешанного произведения), т.е. . В ортонормированием базисе

так как определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

При помощи ориентированных объемов задача разложения вектора по базису в пространстве решается так же как и на плоскости с использованием ориентированных площадей. В результате получаем

Формула (1.21) соответствует правилу Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1.23. Заданы координатные столбцы

векторов в стандартном базисе. Разложить вектор по векторам .

Решение. По формуле (1.20) находим смешанные произведения

Коэффициенты разложения определяем по формуле (1.21):

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/triangle_area/

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=orientirovannye-ploshchadi-i-obemy

[/spoiler]

Векторным
произведением
[a

b]
векторов a
и b
называется вектор c,
который равен определителю, в первой
строке которого стоят стандартные
базисные орты, а во второй и третьей
строке координаты векторов-сомножителей

(57)

Векторное
произведение обозначается также [ab]
или a

b.

Свойства векторного
произведения:

1.
[a

b]
= [b

a]
в отличие от скалярного произведения,
векторное произведение антикоммутативно.

2.
[a

b]
= [a

b]
= [ab]
числовой множитель можно выносить за
знак векторного произведения.

3.
[a

(b
+
с)]
= [a

b]
+
[a

с]
для векторного произведения справедлив
распределительный (дистрибутивный)
закон

4
.
[a

b]
= 0
тогда и только тогда, когда векторы a
и b
параллельны.
В частности, [a

0]
= 0
a
(т. о., нуль-вектор параллелен любому
вектору).

С
войства
14
векторного произведения есть очевидные
следствия свойств определителей,
приведенных в пункте 3.3. Так свойство 1
следует из свойства 4 п. 3.3, свойство 2 
из свойства 2 п. 3.3 и т. д.

Можно
показать, что модуль векторного
произведения не изменяется при переходах
от одного ортонормированного базиса к
другому. Направление векторного
произведения изменится на противоположное,
если один из векторов базиса изменит
направление на противоположное.

Подобно
скалярному, векторному произведению
можно дать геометрическое,
то есть, не зависящее от выбора системы
координат, определение.
Векторным
произведением
[a

b]
векторов a
и b
называется вектор c,
который:

1)
перпендикулярен плоскости векторов a
и b;

2)
направлен так, что если смотреть из его
конца, то для совмещения сомножителей
первый сомножитель ко второму следует
поворачивать против часовой стрелки;

3)
модуль векторного произведения равен
площади параллелограмма, построенного
на векторах-сомножителях, т. е. произведению
длин векторов-сомножителей на синус
угла между ними:

|[a

b]|=
|a|
|b|sin, (58)

в
частности, модуль векторного произведения
взаимно перпендикулярных векторов
равен произведению длин векторов-сомножителей.

Легко
убедиться, что орты стандартного базиса
связаны соотношением

[i

j]
= k.
Такие системы координат (базисы), третий
орт которых есть векторное произведение
первого орта на второй, называются
левоориентированными или просто левыми,
если же [i

j]
= 
k,
то такие системы координат (базисы)
называются правоориентированными или
же правыми. При переходах между базисами
различной ориентации векторное
произведение меняет направление на
противоположное (меняет знак).

Векторное
произведение естественно использовать
в задачах, связанных с вычислением
площадей. Как следует из (57) и (58), площадь
параллелограмма, построенного на
векторах a
и b
равна:

|[ab]|=

. (60)

6.6.1. Смешанное произведение и вычисление объемов

Умножим
векторное произведение векторов a
и b
скалярно на некоторый третий вектор с:
(с
[a

b])

такое произведение трех векторов
называется скалярно-векторным или
смешанным
произведением

. (61)

Сумма,
стоящая в правой части (61), получилась
как сумма попарных произведений
координат сомножителей, с учетом того,
что координаты [a

b]
есть коэффициенты при i,
j,
k
в выражении
(57). Правая часть (61) есть правая часть
(57), в которой векторы i,
j,
k
заменили
координатами вектора с:
c_x,
c_y,
c_z.
Значит правая часть выражения (61)
представляет собой разложение по
элементам первой строки определителя

. (62)

Смешанное
произведение трех векторов равно
определителю, по строкам которого стоят
координаты векторов в том порядке, как
они записаны в смешанном произведении.

Смешанное
произведение наследует общие свойства
векторного и скалярного произведения,
а именно:

 множитель,
стоящий перед любым из сомножителей,
можно выносить за знак смешанного
произведения;

 смешанное
произведение дистрибутивно: «произведение
суммы равно сумме произведений», т. е.
если один из сомножителей представлен
в виде суммы, то смешанное произведение
равно сумме соответствующих смешанных
произведений, например: (с
[a
+
d

b])
= (с
[a

b])
+ (с
[d

b])

 модуль
смешанного произведения трех взаимно
ортогональных векторов равен произведению
их длин (проверьте!);

 если
поменять местами любые два сомножителя,
смешанное произведение сменит знак
(очевидное следствие свойств определителей).

В
ыясним
вопрос о геометрическом смысле смешанного
произведения. Пусть для наглядности
сомножители a
и b,
входящие в векторное произведение,
расположены в плоскости xOу,
а вектор c
расположен под некоторым углом к
плоскости xOу
(см. рис.12).
Тогда векторное произведение [a

b]
параллельно оси z,
а величина смешанного произведения
равна произведению |[a

b]|
на проекцию вектора с
на вектор [a

b],
т. е. на ось z:
|(с[a

b])|
= |[a

b]|Пр_zс.
Если построить на векторах a,b,c
параллелепипед, то Пр_zс
будет его высотой, а |[a

b]|

площадью параллелограмма, лежащего в
основании. Но произведение площади
основания на высоту есть объем
параллелепипеда. Таким образом, модуль
смешанного произведения равен объему
параллелепипеда, построенного на
векторах-сомножителях.

Полученный
нами результат допускает обобщение. В
самом деле, если векторы a
и b
расположены в плоскости xOу,
то, учитывая, что a_z
=
b_z
= 0,
площадь параллелограмма, построенного
на этих векторах, равна⁸⁰:

|[ab]|
=

.

Значит,
объем трехмерного параллелепипеда,
построенного на трех векторах, равен
модулю определителя, по строкам которого
стоят координаты трех образующих
векторов, а объем (площадь) двумерного
параллелепипеда (параллелограмма),
построенного на двух векторах, равен
модулю аналогично сконструированного
определителя второго порядка. Естественное
обобщение: геометрический
смысл модуля определителя n-го
порядка 
это объем n-мерного
параллелепипеда, построенного на строках
(столбцах) определителя.
Знак определителя позволяет различать
«левые» и «правые» ориентации систем
векторов⁸¹.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Объём параллелепипеда
равен
смешанному произведению векторов
на которых он построен:

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела – всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Объем параллелепипеда в трехмерном пространстве, построенного на трех векторах равен модулю определителя размера 3х3, в первой строке которого записаны координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора, в третьей строке – координаты третьего вектора.

Объем трехгранной пирамиды в трехмерном пространстве, построенной на трех векторах равен 1/6* модуль определителя размера 3х3, в первой строке которого записаны координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора, в третьей строке – координаты третьего вектора.

Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равен модулю векторного произведения этих векторов.

На плоскости: Пусть известны координаты вершин многоугольника: А (a,b), B(c,d), C(e,f), ..Q(y,z). Тогда площадь многоугольника равна модулю суммы определителей (см. рисунок). В том числе формула верна для треугольника.