Как найти площадь области ограниченной кривой - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Площадь фигуры между двумя кривыми в прямоугольных координатах определяется интегралом
от разницы кривых, где одна из них всегда принимает не меньшие значения чем другая , а также кривые непрерывны.
Пределы интегрирования – прямые x₁=a, x₂=b – ограничивают фигуру (a<b чаще всего это точки пересечения заданных кривых).
Данный цикл задач в первую очередь подойдет студентам мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко для прохождения практикума из математического анализа.
Студенты других Вузов могут набираться практики на подобных интегралах, и изучать методику вычисления.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. “Практикум из математического анализа” (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).

Пример 2.81 (2397). Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах ax=y², ay=x²,(a>0).

Вычисление: Построим графики функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

На графике они будут иметь следующий вид

Площадь между кривыми и нужно найти. Как правило, Вам редко будет известно сам график, поэтому в заданиях где не заданы области на которой находить площадь в первую очередь необходимо найти точки пересечения кривых.
Найдем пределы интегрирования, то есть точки абсцисс пересечения заданных функций y₁(x)=y₂(x):

Как видите таким условием есть условие равенства функций.
Из последнего уравнения получим две точки x₁=0, x₂=a.
Дальше, когда Вы не видите графика функций необходимо установить какая из кривых принимает большие значения. Это нужно лишь для того, чтобы с первого раза получить положительное значение площади фигуры. Поскольку площадь всегда больше нуля, а интеграл может принимать произвольные значения, то без проверки следующего условия для нахождения площади интеграл нужно брать за модулем.
Выбираем произвольную точку из отрезка интегрирования [0;a] и убеждаемся в правильности неравенства , то есть проверяем которая из кривых принимает большее значения .
Как отмечалось выше, это нужно для того, чтобы после интегрирования получить положительную площадь фигуры между кривыми.
Вычисляем площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми интегрированиям:

Здесь мы имели достаточно простые функции, поэтому возведя их к табличным интегралам найти площадь достаточно легко. Следующие примеры будут содержать все более тяжелые функции, для интегрирования которых нужно применять знание практически всех формул интегрирования.
Следует заметить: значения площадей (во всех заданиях) измеряются в квадратных единицах (кв. од.), об этом Вы должны помнить, однако для экономии места и времени здесь будут приведены лишь значения определенных интегралов.

Пример 2.82 (2398) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x², x+y=2.
Вычисление: По методике записываем уравнение кривых, которые ограничивают площадь фигуры:
y₁(x)=x², y₂(x)=2-x.
Здесь функции выразить достаточно просто.
Вычислим пределы интегрирования, приравняв между собой функции y₁(x)=y₂(x):
x²=2-x.
Переносим переменные по одну сторону от знака равенства и решаем квадратное уравнение
x²+x-2=0;
(x+2)(x-1)=0.
Следовательно, корни уравнения x₁=-2, x₂=1.
Сам график кривых и фигуры, площадь которой ищем, приведен на рисунку

Подстановкой любой точки из промежутка [-2;1], например x=0 в функции убеждаемся, что выполняется неравенство
, поэтому .
Площадь фигуры вычисляем интегрированием разницы кривых в найденных пределах:

Площадь равна S=4,5 квадратных единиц.
По физическому содержанию площадь фигуры равна разнице площадей двух криволинейных трапеций. Первая отвечает за верхний график y₂(x), нижняя криволинейная трапеция за функцию, которая принимает меньшие значения y₂(x). Разница заключается в том, что здесь еще нужно определять пределы интегрирования.

Пример 2.83 (2399) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x², x+y=0.
Вычисление: Запишем уравнение кривых, которые ограничивают искомую фигуру:
y₁(x)=-x, y₂(x)=2x-x².
Из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x) найдем пределы интегрирования:
2x-x²=-x;
x²-3x=0;
x (x-3) =0.
Следовательно, x₁=0, x₂=3.
Подстановкой единицы видим, что на промежутке [0;3] исполняется неравенство
, то есть .

Находим площадь фигуры ограниченной заданными кривыми:

Под интегралом простая квадратичная функция, поэтому само интегрирование не сложно.
Следующие функции будут более сложными в плане интегрирования, однако используя табличные интегралы площадь найти удается.

Пример 2.84 (2400) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2^x, y=2, x=0.
Вычисление: Запишем подынтегральные функции:
y₁(x)=2^x, y₂(x)=2, а также прямую x₁=0 (ограничивает фигуру по оси абсцисс).
Найдем вторую границу интегрирования из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x):
2^x=2, 2^x=2¹, отсюда имеем вторую точку x₁=1.
На промежутке [0;1] исполняется неравенство , поэтому .
График степенной функции и прямой приведен ниже.

Площадь фигуры, которая ограничена кривыми равна интегралу:

При интегрировании получим логарифм.
На калькуляторах можете проверить, что площадь положительна.

Пример 2.85 (2401) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x, y=x+sin²x, .

Вычисление: Запишем уравнение кривых, которые ограничивают площадь фигуры:
y₁(x)=x, y₂(x)=x+sin²x.
Дальше пределы интегрирования:
x₁=0, x₂=Pi (это известно нам по условию).
На промежутке справедливо неравенство
, поэтому .

Если бы существовала дополнительная точка пересечения, то площадь была бы равна сумме двух интегралов.
Площадь фигуры вычисляем интегрированием: квадрат синуса под интегралом понижаем и выражаем с помощью косинуса двойного угла, а дальше за классической формулой интегрирования

Площадь равна Pi/2, что приблизительно равно 1,5708.

Пример 2.86 (2402) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Переписываем функции

Найдем пределы интегрирования, то есть точки абсцисс пересечения заданных функций из условия y₁(x)=y₂(x):
Поскольку функция парная

то найдем половину площади и результат умножим на двойку.
Из условия находим

что пределы равны плюс, минус бесконечности.
Чтобы легко представить, что мы интегрируем наведем график подынтегральных функций

Учитывая четность функции интегрировать будем от 0 к бесконечности , а полученное значение умножим на двойку.
Получим несвойственный интеграл первого рода (детальнее о нем в части ІІІ).
Площадь фигуры вычисляем через предел интеграла:

В результате интегрирования получим арктангенс, который в предельном случае стремится к Pi/2.
Конечная формула достаточно компактна и удобна для расчетов, хотя с таким типом интегралов Вы знакомитесь впервые.

Пример 2.87 (2403) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Вычисление: Все Вы должны знать, что такой формулой задается уравнение эллипса.
Так как оси эллипса в канонической системе координат являются его осями симметрии, то эти оси делят эллипс на 4 равные части. Поэтому будем рассматривать часть эллипса, который находится в первом квадранте канонической (прямоугольной) системы координат.
Выражаем уравнение функции, которая ограничивает искомую площадь (четверть эллипса):

Запишем пределы интегрирования: из аналитической геометрии известно, что четверть эллипса ограничена прямыми x₁=0, x₂=a.

Для вычисления площади эллипса в самом интеграле необходимо выполнить замену переменных, что в свою очередь ведет к изменению пределов интегрирование. При этом придем к квадрату косинуса, который понижаем через косинус двойного угла.
В конце манипуляций приходим к табличным интегралам, которые легко интегрируем и подставляем пределы:

Получили классическую формулу площади эллипса S=Pi*a*b .
Видим, если эллипс вырождается в круг при (a=b=R), тогда формула площади круга S=Pi*R².

Пример 2.88 (2404) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y²=x²(a²-x²).
Вычисление: Так как все переменные в заданном уравнении входят в квадратах, то оси прямоугольной системы координат являются осями симметрии фигуры, которая ограничена этой линией, потому эти оси делят заданную фигуру на 4 равных части. Достаточно рассмотреть часть фигуры, которая заходиться в первом квадранте прямоугольной системы координат.
Построим график функции, которая ограничивает искомую площадь четвертины фигуры:

График неизвестной фигуры подобен на крылья бабочки.

При y=0 имеем два корня уравнения x₁=0 и x₂=a.
Площадь фигуры равна 4 умножить на интеграл с найденными пределами.
Во время интегрирования выполняем замену переменных и пределов интегрирования

Это позволяет перейти к показательной функции, которая легко интегрируется.
Всегда помните, что замена переменных под интегралом ведет к изменению пределов интегрирования.

Пример 2.89 Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

Вычисление: Запишем графику функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

Определим пределы интегрирования из условия y₁(x)=y₂(x):
отсюда x₁=0 и x₂=1.
Между функциями справедлива зависимость на [0;1], поэтому .
График функций, что анализируем следующий

Площадь фигуры через определенный интеграл равна 1/3 (сравните 2.81 при a=1) :

Пример 2.90 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Вычислим пределы интегрирования из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x):

Из биквадратного уравнения получим значение точек пересечения:
x₁=-1 и x₂=1.
Сами же функции в прямоугольных координатах будут иметь вид

Интегрированием находим площадь фигуры (смотри рисунок и образец 2.89) :

Первый интеграл даст арктангенс, запомните хорошо эту формулу.

Пример 2.91 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=e^x, y=e^-x,x=1.
Вычисление: Из условия, которое Вы из-за повторяемости должны выучить y₁(x)=y₂(x) находим точки пересечения кривых:
e^x=e^-x,x=-x, 2x=0, следовательно, x₁=0.
x₂=1 (известно за условием).
График функций следующий

Экспоненту интегрировать не трудно, а площадь фигуры выражается формулой (смотри рисунок и образец 2.84) :

Пример 2.92 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=ln(x), y=ln²(x).
Вычисление: Пределы интегрирования из условия равенства функций y=ln(x), y=ln²(x) равны x₁=1 и x₂=e.

Интегрированием логарифмов находим площадь фигуры (смотри рисунок):

Здесь надо проинтегрировать по частям, положив ln(x) =u, (ln²(x)=u) и dx=dv. Попробуйте промежуточные действия провести самостоятельно.

Пример 2.93 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
y=ln(x), y=ln(a), y=ln(b), x=0, где 0<a<b.
Вычисление: Построим графики функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:
x (y) =e^y (то есть обратная функция к заданной функции y(x)=ln(x)) .
Такой прием применяют, когда пределы интегрирования параллельны оси Оx, то есть y=const.
Запишем пределы интегрирования:
y₁=ln(a), y₂=ln(b) (берем из начального условия).
График искомой фигуры следующий

Площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми:

Пример 2.94 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Пределы интегрирования в формуле площади находим из условия y₁(x)=y₂(x):
ln(x)/(4x)=x*ln(x).
Упростив на логарифм (если он больше нуля), получим
1=4x²; 4x²-1=0, x₁=1/2.
Из условия на логарифм (=0) получим
ln(x) =0; x₂=1.
ОДЗ: x>0.
График фигуры в прямоугольных координатах следующий

Площадь фигуры между кривыми (на [0,5;1]) находим интегрированием:
для вычисления интегралов используем метод замены переменных

Вычисление не так просты, поэтому с превращениями попробуйте разобраться самостоятельно.

Пример 2.95 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=arcsin(x), y=arccos(x), y=0.
Вычисление: Находим точки пересечения кривых из равенства x₁(y)=x₂(y):
sin(x)=cos(y), отсюда y₁=0 (известно за условием) и y₁=Pi/4 (образец 2.93).
На графике это выглядит следующим образом

Учитывая справедливость неравенства вычисляем площадь фигуры:

Думаю, что с такими заданиями на экзамене или модулях Вы справитесь.

Пример 2.96 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=tg(x), y=2/3*cos(x), x=0.
Вычисление: Найдем пределы интегрирования, то есть абсциссы точек пересечения заданных функций y₁(x)=y₂(x):
tg(x)=2/3*cos(x), отсюда
(вторая точка известна за условием).
Кривые на плоскости имеют вид

Площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми () равна интегралу:

Пример 2.97 (2400) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=|ln(x)|, y=0, x=0,1; x=10.
Вычисление: Выписываем пределы интегрирования x₁=0,1; x₂=10 из начального условия.
Как строить модуль от логарифма Вы, по-видимому, еще не забыли

Площадь фигуры равна сумме двух интегралов, причем первый берем со знаком минус ():

Во время интегрирования использовали интегрирование частями.

Пример 2.98 (2400) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=(x+1)², x=sin(Pi*y), y=0 .
Вычисление: Построим график функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:
(здесь взяли обратную функцию к заданной y₁(x)=(x+1)²), x₂=sin(Pi*y).
Выпишем пределы интегрирования:
y₁=0; y₂=1 (известно за условием).
График функций приведен ниже

Неизвестную площадь фигуры вычисляем интегрированием ():

Пример 2.99 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=sin(x), y=cos(x), y=0
Вычисление: Из рисунку видно, что площадь S лучше разбить на две части: S=S₁+S₂.

Запишем уравнение функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

Интегрируем синус и косинус функции и находим площадь.

Второй вариант заключается в интегрировании разницы обратных функций по y.

Пример 2407 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (циссоида Диокла) x=2a (a>0).
Вычисление: Поскольку график функции симметричен относительно оси Ox, то будем рассматривать половину площади фигуры (над осью Ox) и результат умножим на 2.
В точке x=2a функция не определена, поэтому будем иметь интеграл второго рода (детальнее смотрите часть ІІІ), он совпадает и, следовательно, площадь будет выражена числом.
Запишем пределы интегрирования:
x₁=0 (потому что ) x₂=2a (за условием).
График функций следующий

Площадь фигуры, что ограниченна заданной кривой находится достаточно непростым интегрированием

Здесь пришлось трижды выполнять замену переменных, чтобы прийти к правильному ответу.
Еще раз внимательно разберите интеграл.

Пример 2408 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (трактриса), y=0.
Вычисление: Трактриса – кривая, по которой двигается объект, когда его тянуть по горизонтальной плоскости за бечевку фиксированной длины, если направление движения тягача является ортогональным к начальному положению бечевки и скорость тягача бесконечно малая величина.
Очевидно, что (смотри рисунок).

Принимая к сведению, что положительному приросту x отвечает отрицательный прирост y, и что фигура не квадрируема (в общем понимании), допускаем

где дифференциал за x находим через производную

Площадь фигуры через определенный интеграл равна

Следующим идет материал из которого Вы научитесь находить площадь фигуры, ограниченной кривыми заданными параметрически.

Источник

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S(G)=∫abf(x)dx для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],

S(G)=-∫abf(x)dx для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y=f(x) или x=g(y).

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Теорема

Пусть функции y=f1(x) и y=f2(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем f1(x)≤f2(x) для любого значения x из [a;b]. Тогда формула для вычисления площади фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f1(x) и y=f2(x) будет иметь вид S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx.

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, x=g1(y) и x=g2(y): S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y)dy.

Доказательство

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G1 равна площади фигуры G2. Это значит, что

Поэтому, S(G)=S(G2)-S(G1)=∫abf2(x)dx-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx.

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S(G)=S(G2)+S(G1)=∫abf2(x)dx+-∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S(G)=S(G2)-S(G1)=-∫abf2(x)dx–∫abf1(x)dx=∫ab(f2(x)-f1(x))dx . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y=f1(x) и y=f2(x) пересекают ось Ox.

Точки пересечения мы обозначим как xi, i=1, 2,…, n-1. Эти точки разбивают отрезок [a; b] на n частей xi-1; xi, i=1, 2,…, n, где α=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. Фигуру G можно представить объединением фигур Gi, i=1, 2,…, n. Очевидно, что на своем интервале Gi попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S(Gi)=∫xi-1xi(f2(x)-f1(x))dx, i=1, 2,…, n

Следовательно,

S(G)=∑i=1nS(Gi)=∑i=1n∫xixif2(x)-f1(x))dx==∫x0xn(f2(x)-f(x))dx=∫abf2(x)-f1(x)dx

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S(G)=∫abf2(x)-f1(x)dx можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y=f(x) и x=g(y).

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Пример 1

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y=-x2+6x-5 и прямыми линиями y=-13x-12, x=1, x=4.

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [1;4] график параболы y=-x2+6x-5 расположен выше прямой y=-13x-12. В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S(G)=∫14-x2+6x-5–13x-12dx==∫14-x2+193x-92dx=-13×3+196×2-92×14==-13·43+196·42-92·4–13·13+196·12-92·1==-643+1523-18+13-196+92=13

Ответ: S(G)=13

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x+2, y=x, x=7.

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x=7. Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы y=x+2. Для нахождения абсциссы используем равенства:

y=x+2ОДЗ: x≥-2×2=x+22×2-x-2=0D=(-1)2-4·1·(-2)=9×1=1+92=2∈ОДЗx2=1-92=-1∉ОДЗ

Получается, что абсциссой точки пересечения является x=2.

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y=x+2 , y=x пересекаются в точке (2;2), поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [2;7] график функции y=x расположен выше графика функции y=x+2 . Применим формулу для вычисления площади:

S(G)=∫27(x-x+2)dx=x22-23·(x+2)3227==722-23·(7+2)32-222-23·2+232==492-18-2+163=596

Ответ: S(G)=596

Пример 3

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y=1x и y=-x2+4x-2.

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1x и -x2+4x-2. При условии, что x не равно нулю, равенство 1x=-x2+4x-2становится эквивалентным уравнению третьей степени -x3+4×2-2x-1=0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х=1: -13+4·12-2·1-1=0.

Разделив выражение -x3+4×2-2x-1 на двучлен x-1, получаем: -x3+4×2-2x-1⇔-(x-1)(x2-3x-1)=0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x2-3x-1=0:

x2-3x-1=0D=(-3)2-4·1·(-1)=13×1=3+132≈3.3 ; x2=3-132≈-0.3

Мы нашли интервал x∈1; 3+132, на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S(G)=∫13+132-x2+4x-2-1xdx=-x33+2×2-2x-ln x13+132==-3+13233+2·3+1322-2·3+132-ln3+132—133+2·12-2·1-ln 1=7+133-ln3+132

Ответ: S(G)=7+133-ln3+132

Пример 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y=x3, y=-log2x+1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y=-log2x+1 из графика y=log2x, если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у=0.

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y=x3 и y=0 пересекаются в точке (0;0). Так получается потому, что х=0 является единственным действительным корнем уравнения x3=0.

x=2 является единственным корнем уравнения -log2x+1=0, поэтому графики функций y=-log2x+1 и y=0 пересекаются в точке (2;0).

x=1 является единственным корнем уравнения x3=-log2x+1. В связи с этим графики функций y=x3 и y=-log2x+1 пересекаются в точке (1;1). Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x3=-log2x+1 не может иметь более одного корня, так как функция y=x3 является строго возрастающей, а функция y=-log2x+1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x∈0; 1, а вторая ниже красной линии на отрезке x∈1;2. Это значит, что площадь будет равна S(G)=∫01x3dx+∫12(-log2x+1)dx.

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x∈0; 2, а вторая между красной и синей линиями на отрезке x∈1; 2. Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S(G)=∫02x3dx-∫12×3-(-log2x+1)dx

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S(G)=∫cd(g2(y)-g1(y))dy. Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y.

Разрешим уравнения y=x3 и -log2x+1 относительно x:

y=x3⇒x=y3y=-log2x+1⇒log2x=1-y⇒x=21-y

Получим искомую площадь:

S(G)=∫01(21-y-y3)dy=-21-yln 2-y4401==-21-1ln 2-144–21-0ln 2-044=-1ln 2-14+2ln 2=1ln 2-14

Ответ: S(G)=1ln 2-14

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x, y=23x-3, y=-12x+4.

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y=x. Синим цветом нанесем линию y=-12x+4, черным цветом обозначим линию y=23x-3.

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y=x и y=-12x+4 :

x=-12x+4ОДЗ: x≥0x=-12x+42⇒x=14×2-4x+16⇔x2-20x+64=0D=(-20)2-4·1·64=144×1=20+1442=16; x2=20-1442=4Проверка:x1=16=4, -12×1+4=-12·16+4=-4⇒x1=16 не является решением уравненияx2=4=2, -12×2+4=-12·4+4=2⇒x2=4 является решением уравниния ⇒(4; 2) точка пересечения y=x и y=-12x+4

Найдем точку пересечения графиков функций y=x и y=23x-3:

x=23x-3ОДЗ: x≥0x=23x-32⇔x=49×2-4x+9⇔4×2-45x+81=0D=(-45)2-4·4·81=729×1=45+7298=9, x245-7298=94Проверка:x1=9=3, 23×1-3=23·9-3=3⇒x1=9 является решением уравнения ⇒(9; 3) точка пересечания y=x и y=23x-3×2=94=32, 23×1-3=23·94-3=-32⇒x2=94 не является решением уравнения

Найдем точку пересечения линий y=-12x+4 и y=23x-3:

-12x+4=23x-3⇔-3x+24=4x-18⇔7x=42⇔x=6-12·6+4=23·6-3=1⇒(6; 1) точка пересечения y=-12x+4 и y=23x-3

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S(G)=∫46x–12x+4dx+∫69x-23x-3dx==23×32+x24-4×46+23×32-x23+3×69==23·632+624-4·6-23·432+424-4·4++23·932-923+3·9-23·632-623+3·6==-253+46+-46+12=113

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x, а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y=x⇒x=y2 красная линияy=23x-3⇒x=32y+92 черная линияy=-12x+4⇒x=-2y+8 синяя линия

Таким образом, площадь равна:

S(G)=∫1232y+92–2y+8dy+∫2332y+92-y2dy==∫1272y-72dy+∫2332y+92-y2dy==74y2-74y12+-y33+3y24+92y23=74·22-74·2-74·12-74·1++-333+3·324+92·3–233+3·224+92·2==74+2312=113

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S(G)=113

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Площадь фигуры ограниченной линиями

Что умеет?

Находит точки пересечения указанных кривых линий
Умный робот определяет области, где лежат фигуры, чтобы вычислить их площади. Она делает это, находя точки, где графики пересекаются.
Помогает находить площади под графиками, вычисляя интегралы.

Примеры кривых

С осями ординат x и y
```
y = x^2 + 1
y = 0
x = -1
x = 2
```
Графики, заданные неявным образом
```
y = 3
xy = 2
y^2 - x^2 = 3
```
Две окружности
```
x^2 + y^2 = 4
x^2 + y^2 = 9
```
В полярных координатах
```
r = 2(1 - cos(p))
r = 2
```
Парабола и прямая линия
```
y = (x + 2)^2
y = 4
```
```
y = (x + 2)^2
y = 1 - x
```
```
y = x^2
x + y = 2
```
Корень квадратный
```
y = x^2
y = sqrt(x)
```
С экспонентой и численным решением
```
y = (2x+3)*e^(-x)
x^2 = y
```
Параметрически-заданная функция
```
x = 2(t - sint)
y = 3(1 - cost)
```

Указанные выше примеры содержат также:

модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x)
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
показательные функции и экспоненты exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x)
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
знак числа:
sign(x)
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x)
Факториал от x:
x! или factorial(x)
Гамма-функция gamma(x)
Функция Ламберта LambertW(x)
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x: – умножение
3/x: – деление
x^2: – возведение в квадрат
x^3: – возведение в куб
x^5: – возведение в степень
x + 7: – сложение
x – 6: – вычитание
Действительные числа: вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi: – число Пи
e: – основание натурального логарифма
i: – комплексное число
oo: – символ бесконечности

Источник

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Данный калькулятор поможет найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла. Это свойство аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функции.

Аддитивность означает, что площадь замкнутой области, составленных из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур. Интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций. Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.
Калькулятор поможет вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн.

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

In Mathematics, we have learned formulas to calculate the area of various figures such as circles, squares, rectangles, spheres, etc. but apart from these figures we also come across non-linear figures or curves that do not have a direct formula to calculate the area under them. The integration method aids in determining the area of such figures. The antiderivative techniques are highly useful for locating the regions of irregular plane surfaces. In this article, we shall learn how to find the area under a curve.

Area under the Curve

The area under a curve can be calculated with respect to different axes such as the Y- axis and X- axis. By performing a definite integral between the two locations, one may determine the area under a curve between two points. Integrate y = f(x) between the limits of a and b to determine the area under the curve y = f(x) between x = a & x = b. With the specified restrictions, integration may be used to compute this area.

Area with Respect to X-Axis

The curve shown in the image below is represented using y = f(x). We need to calculate the area under the curve with respect to X-axis. The boundary values for the curve on the X-axis are a and b respectively. The area A under this curve with respect to X-axis is calculated between the points x = a and x = b. Consider the following curve:

Formula

$A = int_{a}^{b}y.dx$

or

$A = int_{a}^{b}f(x)dx$

where,

A is the area under the curve

y or f(x) is the equation of the curve

a, b are the x-intercepts

Area with Respect to Y-Axis

The curve shown in the image above is represented using x = f(y). We need to calculate the area under the curve with respect to Y-axis. The boundary values for the curve on the Y-axis are a and b respectively. The area A under this curve with respect to Y-axis between the points y = a and y = b. Consider the following curve:

Formula

$A = int_{a}^{b}x.dy$

or

$A = int_{a}^{b}f(y)dy$

where,

A is the area under the curve

x or f(y) is the equation of the curve

a, b are the y-intercepts

Solved Examples on Area Under The Curve

Example 1: Find the area under the curve y² = 12x and the X-axis.

Solution:

The given curve equation is y² = 12x.

This is an equation of parabola with a = 3 so, y² = 4(3)(x)

The graph for the required area is shown below:

The X-axis divides the above parabola into 2 equal parts. So, we can find the area in the first quadrant and then multiply it by 2 to get the required area.

So, we can find the required area as:

$A = 2int_{a}^{b}ydx$

$A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx$

$A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3$

$A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3$

$A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}$

A = 24 sq. units

Example 2: Calculate the area under the curve x = y³ – 9 between the points y = 3 and y = 4.

Solution:

Given, the equation of curve is x = y³ – 9.

The boundary points are (0, 3) and (0, 4) .

As the equation of curve is of the form x = f(y) and the points are also on the Y-axis, we will use the formula,

$A = int_{a}^{b}x.dy$

$A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy$

$A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3$

$A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)$

$A = 28+frac{27}{4}$

A = 139/4 sq. units

Example 3: Calculate the area under the curve y = x² – 7 between the points x = 5 and x = 10.

Solution:

Given, the curve is y = x²−7 and the boundary points are and

Thus, the area under the curve is given by:

$A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx$

$A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}$

$A = (frac{1000}{3}-70)-(frac{125}{3}-35)$

$A= frac{790}{3}-frac{20}{3}$

A = 770/3 sq. units

Example 4: Find the area enclosed by the parabola y² = 4ax and the line x = a in the first quadrant.

Solution:

The curve and the line given can be drawn as follows:

Now, the equation of curve is y² = 4ax.

The boundary points come out to be (0,0) and (a,0).

So the area with respect to X-axis can be calculated as:

$A=int_{0}^{a}ydx$

$A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx$

$A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a$

$A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a$

$A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}$

$A=frac{4a^2}{3} sq. units$

Example 5: Find the area covered by the circle x² + y² = 25 in the first quadrant.

Solution:

Given, x² + y² = 25.

The curve can be drawn as:

The required area has been shaded in the above figure. From the equation we can see that radius of the circle is 5 units.

As, x²+ y²= 25

$y = sqrt{25-x^2}$

To find the area, we shall use:

$A = int_{a}^{b}ydx$

$A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx$

$A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5$

$A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]$

$A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}$

A = 25 π/4 sq. units

FAQs on Area Under The Curve

Question 1: Explain the meaning of the area under the curve.

Solution:

The region enclosed by the curve, the axis, and the boundary points is referred to as the area under the curve. Using the coordinate axes and the integration formula, the area under the curve has been determined as a two-dimensional area.

Question 2: Explain the three methods to find the area under the curve.

Solution:

Three methods to find the area under the curve are:

The first method is to break up the space into multiple tiny rectangles of the area under the curve. The areas are then summed to get the overall area.

The second technique involves cutting the space into a few rectangles, which are then joined together to create the desired area.

Utilizing integration to locate the region is the third approach.

Question 3: Can the area under the curve be negative? If yes, explain.

Solution:

If the curve is below the axis or lies in the coordinate axis’s negative quadrants, the area under the curve is negative. In this case as well, the area under the curve is computed using the conventional approach, and the solution is then modulated. Even in cases when the answer is negative, just the area’s value is taken into account, not the answer’s negative sign.

Question 4: How is the area under the curve approximated?

Solution:

By segmenting the region into tiny rectangles, the area under the curve may be roughly estimated. And by adding the areas of these rectangles, one may get the area under the curve. A collection of a few large rectangles may be drawn, and their areas can then be added to determine the approximate area under the curve. Additionally, with the use of definite integrals, we can easily determine the precise area under the curve.

Related Resources

Area of Triangle

Area of Square

Area of Sphere

Last Updated :
02 Jan, 2023

Like Article

Save Article

Источник

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Итоги

Площадь фигуры ограниченной линиями

Что умеет?

Примеры кривых

Правила ввода

Постоянные

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Area under the Curve

Area with Respect to X-Axis

Formula

Area with Respect to Y-Axis

Formula

Solved Examples on Area Under The Curve

FAQs on Area Under The Curve

Related Resources

Вам также может понравиться

Как составить деловой туризм

Как найти предназначение с помощью ведической астрологии

Как найти основу предложения если нет подлежащего

Добавить комментарий Отменить ответ