Как найти площадь ограниченную двумя кривыми

Площадь фигуры между двумя кривыми в прямоугольных координатах определяется интегралом
от разницы кривых, где одна из них всегда принимает не меньшие значения чем другая , а также кривые непрерывны.
Пределы интегрирования – прямые x₁=a, x₂=b – ограничивают фигуру (a<b чаще всего это точки пересечения заданных кривых).
Данный цикл задач в первую очередь подойдет студентам мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко для прохождения практикума из математического анализа.
Студенты других Вузов могут набираться практики на подобных интегралах, и изучать методику вычисления.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. “Практикум из математического анализа” (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича). 

Пример 2.81 (2397). Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах ax=y², ay=x²,(a>0).

Вычисление: Построим графики функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

На графике они будут иметь следующий вид

Площадь между кривыми и нужно найти. Как правило, Вам редко будет известно сам график, поэтому в заданиях где не заданы области на которой находить площадь в первую очередь необходимо найти точки пересечения кривых.
Найдем пределы интегрирования, то есть точки абсцисс пересечения заданных функций y₁(x)=y₂(x):

Как видите таким условием есть условие равенства функций.
Из последнего уравнения получим две точки x₁=0, x₂=a.
Дальше, когда Вы не видите графика функций необходимо установить какая из кривых принимает большие значения. Это нужно лишь для того, чтобы с первого раза получить положительное значение площади фигуры. Поскольку площадь всегда больше нуля, а интеграл может принимать произвольные значения, то без проверки следующего условия для нахождения площади интеграл нужно брать за модулем.
Выбираем произвольную точку из отрезка интегрирования [0;a] и убеждаемся в правильности неравенства , то есть проверяем которая из кривых принимает большее значения .
Как отмечалось выше, это нужно для того, чтобы после интегрирования получить положительную площадь фигуры между кривыми.
Вычисляем площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми интегрированиям:

Здесь мы имели достаточно простые функции, поэтому возведя их к табличным интегралам найти площадь достаточно легко. Следующие примеры будут содержать все более тяжелые функции, для интегрирования которых нужно применять знание практически всех формул интегрирования.
Следует заметить: значения площадей (во всех заданиях) измеряются в квадратных единицах (кв. од.), об этом Вы должны помнить, однако для экономии места и времени здесь будут приведены лишь значения определенных интегралов.

Пример 2.82 (2398) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x², x+y=2.
Вычисление: По методике записываем уравнение кривых, которые ограничивают площадь фигуры:
y₁(x)=x², y₂(x)=2-x.
Здесь функции выразить достаточно просто.
Вычислим пределы интегрирования, приравняв между собой функции y₁(x)=y₂(x):
x²=2-x.
Переносим переменные по одну сторону от знака равенства и решаем квадратное уравнение
x²+x-2=0;
(x+2)(x-1)=0.
Следовательно, корни уравнения x₁=-2, x₂=1.
Сам график кривых и фигуры, площадь которой ищем, приведен на рисунку

Подстановкой любой точки из промежутка [-2;1], например x=0 в функции убеждаемся, что выполняется неравенство
, поэтому .
Площадь фигуры вычисляем интегрированием разницы кривых в найденных пределах:

Площадь равна S=4,5 квадратных единиц.
По физическому содержанию площадь фигуры равна разнице площадей двух криволинейных трапеций. Первая отвечает за верхний график y₂(x), нижняя криволинейная трапеция за функцию, которая принимает меньшие значения y₂(x). Разница заключается в том, что здесь еще нужно определять пределы интегрирования.

Пример 2.83 (2399) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x², x+y=0.
Вычисление: Запишем уравнение кривых, которые ограничивают искомую фигуру:
y₁(x)=-x, y₂(x)=2x-x².
Из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x) найдем пределы интегрирования:
2x-x²=-x;
x²-3x=0;
x (x-3) =0.
Следовательно, x₁=0, x₂=3.
Подстановкой единицы видим, что на промежутке [0;3] исполняется неравенство
, то есть .

Находим площадь фигуры ограниченной заданными кривыми:

Под интегралом простая квадратичная функция, поэтому само интегрирование не сложно.
Следующие функции будут более сложными в плане интегрирования, однако используя табличные интегралы площадь найти удается.

Пример 2.84 (2400) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2^x, y=2, x=0.
Вычисление: Запишем подынтегральные функции:
y₁(x)=2^x, y₂(x)=2, а также прямую x₁=0 (ограничивает фигуру по оси абсцисс).
Найдем вторую границу интегрирования из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x):
2^x=2, 2^x=2¹, отсюда имеем вторую точку x₁=1.
На промежутке [0;1] исполняется неравенство , поэтому .
График  степенной функции и прямой приведен ниже.

Площадь фигуры, которая ограничена кривыми равна интегралу:

При интегрировании получим логарифм.
На калькуляторах можете проверить, что площадь положительна.

Пример 2.85 (2401) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x, y=x+sin²x, .

Вычисление: Запишем уравнение кривых, которые ограничивают площадь фигуры:
y₁(x)=x, y₂(x)=x+sin²x.
Дальше пределы интегрирования:
x₁=0, x₂=Pi (это известно нам по условию).
На промежутке справедливо неравенство
, поэтому .

Если бы существовала дополнительная точка пересечения, то площадь была бы равна сумме двух интегралов.
Площадь фигуры вычисляем интегрированием: квадрат синуса под интегралом понижаем и выражаем с помощью косинуса двойного угла, а дальше за классической формулой интегрирования

Площадь равна Pi/2, что приблизительно равно 1,5708.

Пример 2.86 (2402) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Переписываем функции

Найдем пределы интегрирования, то есть точки абсцисс пересечения заданных функций из условия y₁(x)=y₂(x):
Поскольку функция парная

то найдем половину площади и результат умножим на двойку.
Из условия находим

что пределы равны плюс, минус бесконечности.
Чтобы легко представить, что мы интегрируем наведем график подынтегральных функций

Учитывая четность функции интегрировать будем от 0 к бесконечности , а полученное значение умножим на двойку.
Получим несвойственный интеграл первого рода (детальнее о нем в части ІІІ).
Площадь фигуры вычисляем через предел интеграла:

В результате интегрирования получим арктангенс, который в предельном случае стремится к Pi/2.
Конечная формула достаточно компактна и удобна для расчетов, хотя с таким типом интегралов Вы знакомитесь впервые.

Пример 2.87 (2403) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Вычисление: Все Вы должны знать, что такой формулой задается уравнение эллипса.
Так как оси эллипса в канонической системе координат являются его осями симметрии, то эти оси делят эллипс на 4 равные части. Поэтому будем рассматривать часть эллипса, который находится в первом квадранте канонической (прямоугольной) системы координат.
Выражаем уравнение функции, которая ограничивает искомую площадь (четверть эллипса):

Запишем пределы интегрирования: из аналитической геометрии известно, что четверть эллипса ограничена прямыми x₁=0, x₂=a.

Для вычисления площади эллипса в самом интеграле необходимо выполнить замену переменных, что в свою очередь ведет к изменению пределов интегрирование. При этом придем к квадрату косинуса, который понижаем через косинус двойного угла.
В конце манипуляций приходим к табличным интегралам, которые легко интегрируем и подставляем пределы:

Получили классическую формулу площади эллипса S=Pi*a*b .
Видим, если эллипс вырождается в круг при (a=b=R), тогда формула площади круга S=Pi*R².

Пример 2.88 (2404) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y²=x²(a²-x²).
Вычисление: Так как все переменные в заданном уравнении входят в квадратах, то оси прямоугольной системы координат являются осями симметрии фигуры, которая ограничена этой линией, потому эти оси делят заданную фигуру на 4 равных части. Достаточно рассмотреть часть фигуры, которая заходиться в первом квадранте прямоугольной системы координат.
Построим график функции, которая ограничивает искомую площадь четвертины фигуры:

График неизвестной фигуры подобен на крылья бабочки.

При y=0 имеем два корня уравнения x₁=0 и x₂=a.
Площадь фигуры равна 4 умножить на интеграл с найденными пределами.
Во время интегрирования выполняем замену переменных и пределов интегрирования

Это позволяет перейти к показательной функции, которая легко интегрируется.
Всегда помните, что замена переменных под интегралом ведет к изменению пределов интегрирования.

Пример 2.89 Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

Вычисление: Запишем графику функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

Определим пределы интегрирования из условия y₁(x)=y₂(x):
 отсюда x₁=0 и x₂=1.
Между функциями справедлива зависимость на [0;1], поэтому .
График функций, что анализируем следующий

Площадь фигуры через определенный интеграл равна 1/3 (сравните 2.81 при a=1) :

Пример 2.90 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Вычислим пределы интегрирования из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x):

Из биквадратного уравнения получим значение точек пересечения:
 x₁=-1 и x₂=1.
Сами же функции в прямоугольных координатах будут иметь вид

Интегрированием находим площадь фигуры (смотри рисунок и образец 2.89) :

Первый интеграл даст арктангенс, запомните хорошо эту формулу.

Пример 2.91 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=e^x, y=e^-x,x=1.
Вычисление: Из условия, которое Вы из-за повторяемости должны выучить y₁(x)=y₂(x) находим точки пересечения кривых:
e^x=e^-x,x=-x, 2x=0, следовательно, x₁=0.
x₂=1 (известно за условием).
График функций следующий

Экспоненту интегрировать не трудно, а площадь фигуры выражается формулой (смотри рисунок и образец 2.84) :

Пример 2.92 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=ln(x), y=ln²(x).
Вычисление: Пределы интегрирования из условия равенства функций y=ln(x), y=ln²(x) равны x₁=1 и x₂=e.

Интегрированием логарифмов находим площадь фигуры (смотри рисунок):

Здесь надо проинтегрировать по частям, положив ln(x) =u, (ln²(x)=u) и dx=dv. Попробуйте промежуточные действия провести самостоятельно.

Пример 2.93 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
y=ln(x), y=ln(a), y=ln(b), x=0, где 0<a<b.
Вычисление: Построим графики функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:
x (y) =e^y (то есть обратная функция к заданной функции y(x)=ln(x)) .
Такой прием применяют, когда пределы интегрирования параллельны оси Оx, то есть y=const.
Запишем пределы интегрирования:
y₁=ln(a), y₂=ln(b) (берем из начального условия).
График искомой фигуры следующий

Площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми:

Пример 2.94 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Пределы интегрирования в формуле площади находим из условия y₁(x)=y₂(x):
ln(x)/(4x)=x*ln(x).
Упростив на логарифм (если он больше нуля), получим
1=4x²; 4x²-1=0, x₁=1/2.
Из условия на логарифм (=0) получим
ln(x) =0; x₂=1.
ОДЗ: x>0.
График фигуры в прямоугольных координатах следующий

Площадь фигуры между кривыми (на [0,5;1]) находим интегрированием:
для вычисления интегралов используем метод замены переменных

Вычисление не так просты, поэтому с превращениями попробуйте разобраться самостоятельно.

Пример 2.95 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=arcsin(x), y=arccos(x), y=0.
Вычисление: Находим точки пересечения кривых из равенства x₁(y)=x₂(y):
sin(x)=cos(y), отсюда y₁=0 (известно за условием) и y₁=Pi/4 (образец 2.93).
На графике это выглядит следующим образом

Учитывая справедливость неравенства вычисляем площадь фигуры:

Думаю, что с такими заданиями на экзамене или модулях Вы справитесь.

Пример 2.96 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=tg(x), y=2/3*cos(x), x=0.
Вычисление: Найдем пределы интегрирования, то есть абсциссы точек  пересечения заданных функций y₁(x)=y₂(x):
tg(x)=2/3*cos(x), отсюда
(вторая точка известна за условием).
Кривые на плоскости имеют вид

Площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми () равна интегралу:

Пример 2.97 (2400) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=|ln(x)|, y=0, x=0,1; x=10.
Вычисление: Выписываем пределы интегрирования x₁=0,1; x₂=10 из начального условия.
Как строить модуль от логарифма Вы, по-видимому, еще не забыли

Площадь фигуры равна сумме двух интегралов, причем первый берем со знаком минус ():

Во время интегрирования использовали интегрирование частями.

Пример 2.98 (2400) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=(x+1)², x=sin(Pi*y), y=0 .
Вычисление: Построим график функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:
(здесь взяли обратную функцию к заданной y₁(x)=(x+1)²), x₂=sin(Pi*y).
Выпишем пределы интегрирования:
y₁=0; y₂=1 (известно за условием).
График функций приведен ниже

Неизвестную площадь фигуры вычисляем интегрированием ():

Пример 2407 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (циссоида Диокла) x=2a (a>0).
Вычисление: Поскольку график функции симметричен относительно оси Ox, то будем рассматривать половину площади фигуры (над осью Ox) и результат умножим на 2.
В точке x=2a функция не определена, поэтому будем иметь интеграл второго рода (детальнее смотрите часть ІІІ), он совпадает и, следовательно, площадь будет выражена числом.
Запишем пределы интегрирования:
x₁=0 (потому что ) x₂=2a (за условием).
График функций следующий

Площадь фигуры, что ограниченна заданной кривой находится достаточно непростым интегрированием



Здесь пришлось трижды выполнять замену переменных, чтобы прийти к правильному ответу.
Еще раз внимательно разберите интеграл.

Пример 2408 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (трактриса), y=0.
Вычисление: Трактриса – кривая, по которой двигается объект, когда его тянуть по горизонтальной плоскости за бечевку фиксированной длины, если направление движения тягача является ортогональным к начальному положению бечевки и скорость тягача бесконечно малая величина.
Очевидно, что (смотри рисунок).

Принимая к сведению, что положительному приросту x отвечает отрицательный прирост y, и что фигура не квадрируема (в общем понимании), допускаем

где дифференциал за x находим через производную

Площадь фигуры через определенный интеграл равна

Следующим идет материал из которого Вы научитесь находить площадь фигуры, ограниченной кривыми заданными параметрически.

1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

.

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Как мы пытались ее решить:

Первый способ.

Разбили отрезок на  одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили  в пределе и

получили искомую площадь S. Ввели обозначение .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2. Функция S (x)

Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому  соответствует единственное значение .

Мы доказали, что производная этой же функции  и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функциии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке  и отнять первообразную в точке  И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

 .

2. Методика нахождения площади на примере

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Вот искомая площадь:

Рис. 3. Площадь

Вот формула:

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

Пределы интегрирования .

=.

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

Ответ:

В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью  А именно:

3. Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).

Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями

Формула та же самая:

В нашем случае . Итак, надо найти определенный интеграл

=-(-1)+1=1+1=2.

Искомая площадь найдена, и ответ получен.

Ответ: 2

4. Пример 3

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Формула для площади та же самая:

В нашем случае .

Ответ:

В следующем примере ищется площадь под параболой.

5. Пример 4

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Схематически изобразим параболу  Корни

Рис. 6. Парабола

Применим известную формулу

И применим ее для данной функции  и пределов интегрирования

 

Искомая площадь найдена.

Ответ:

В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.

6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение.

Посмотрим, что это за фигура. График в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).

Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π

Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.

Вычисляем.

1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции

Надо найти первообразную.

По таблице первообразных: .

=-1-1=-2.

2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль =2.

Ответ: 2.

7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы

Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.

А именно:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 8)

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .

Каким образом мы будем решать эту задачу?

Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное , что площадь находится над осью . Рис. 9.

Рис. 9. Сдвиг фигуры

Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.

Площадь под верхней кривой  минус площадь под нижней кривой .

Каждую из площадей мы умеем находить.

Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.

Ответ:

Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.

Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 .

Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это  Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:

Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями  непрерывных на отрезке  и таких, что для всех  из отрезка  вычисляется по формуле, которую мы вывели:

Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.

8. Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

 .

Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График

 – биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Рис. 10. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: .

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

Теперь стандартное действие:

2. =  =()

Искомая площадь равна 4,5

Ответ: 4,5

9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью

Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.

Пример 6.

Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.

Пределы интегрирования найдем из системы.

То есть, пределы интегрирования найдены.

= ()

Ответ:

Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ru.scribd.com (Источник).
2. Math4you.ru (Источник).
3. Dok.opredelim.com (Источник).

Домашнее задание

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.



1.3. Как найти площадь плоской фигуры
с помощью двойного интеграла?

Двойной интеграл  численно

равен площади плоской фигуры  (области интегрирования). Сначала рассмотрим задачу в общем

виде.

А именно вычислим площадь фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что  на отрезке .

Площадь заштрихованной фигуры численно равна , и сейчас мы «раскрутим» тему.

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом:
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний

интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую «чайникам», да и не только им. Потому что это

удобно.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь

разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную

функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат первого пункта нужно подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула  – это в

точности рабочая формула для вычисления площади плоской

фигуры с помощью обычного определённого интеграла!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с

помощью определённого интеграла!

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: изобразим область  на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем следующий порядок  обхода области (1-й способ):

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход, т.к. выше были приведены очень подробные

разъяснения.
Таким образом:

Как уже отмечалось, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду

придерживаться и я:

1) Сначала разбираемся с внутренним интегралом:

Здесь мы ВМЕСТО «игрек» сначала подставили верхний предел интегрирования , а затем – нижний: . Если вы запамятовали формулу  Ньютона-Лейбница, обязательно

найдите её в приложениях! На всякий случай я приложил к данному курсу Справку по интегралам и

Справку по производным.

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – это фактически нахождение площади плоской фигуры с

помощью определённого интеграла. Обо всех тонкостях решения этой задачи (а их немало) можно ознакомиться по ссылке

выше либо в курсе Определённые и несобственные интегралы.

Это китайское напоминание.

Ответ:

Несмотря на то, что эту задачу мы неоднократно решали ранее, здесь ещё есть о чём поговорить.

Любопытное задание для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.

В двух предыдущих примерах значительно выгоднее использовать первый способ

обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если

не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в

заключение курса молодого «ботана» рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые «лежат на боку». Улыбаться не нужно, похожие вещи в

кратных интегралах встречаются частенько.

Представим параболу  в

виде двух функций:
 – верхняя ветвь и  – нижняя ветвь.
Аналогично, представим параболу  в виде верхней  и нижней  ветвей.

Графики строим поточечно, причём, по причине симметрии, вычислений у нас в два раза меньше. В результате получается вот

такая причудливая фигура:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых,

данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину:  (следим по чертежу!!!).  Интегралы, конечно,

не «убийственные», но… есть старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:

Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без

всяких там веток, корней и прочего дерева.

И, согласно второму способу, обход области будет следующим:

Таким образом:

Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

2)

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней.

Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция  является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно

нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Что добавить…. Всё!

Ответ:

Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.

Пример 12

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода

области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных

интегралов. Бывает и такое.

Итак, начальный мастер-класс подошёл к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень. Обязательно с хорошим

настроением! – оранжевым настроением – прямо как сейчас у меня, а почему оно такое, я объясню чуть позже:

1.4. Как вычислить произвольный двойной интеграл?

1.2.1. Как изменить порядок обхода области?

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычисление площадей плоских фигур является одним из приложений определенного интеграла.

Для того, чтобы получить площадь фигуры изображенной на рисунке, необходимо
вычислить определенный интеграл
вида:

Функции

и

как правило, известны из условия задачи, а вот абсциссы их точек пересечения

и

придется дополнительно найти. Для этого необходимо решить уравнение:

Описанным выше способом, можно также найти площадь криволинейной трапеции в случае, если графики функций

и

не пересекаются, но точки

и

заданы по условию задачи:

В этом случае криволинейная трапеция (фигура площадь которой мы вычисляем) образована графиками функций
,

и прямыми
,
.

Онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, автоматически вычислит площадь фигуры, образованной пересечением двух графиков функций.