Как найти площадь окружности если известна дуга

Как рассчитать площадь круга

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь круга онлайн. Для расчета задайте радиус, диаметр или длину окружности.

Круг – множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круг) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга).

Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Площадь круга: как найти, формулы

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

[spoiler title=”источники:”]

http://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-kruga

[/spoiler]

Площадь круга с радиусом r равна . Здесь (греческая буква «пи») обозначает отношение длины окружности к её диаметру: π

Связанные понятия[править | править код]

• 

  Сектор круга (закрашен зелёным)

• 

  Сегмент круга (закрашен жёлтым)

Площадь сектора круга равна , где — угловая величина дуги сектора в радианах^[1].

Площадь сегмента круга равна , где — угол в радианах^[1]

История[править | править код]

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Гиппократ Хиосский (в своих попытках квадрирования гиппократовых луночек) первым сформулировал утверждение: площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение^[2][3]. Однако они не установили значения коэффициента пропорциональности.

Античные математики также безуспешно пытались решить задачу «квадратуры круга», то есть построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед и другие; неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа , которая была доказана в 1882 году Линдеманом^[4].

Архимед в III веке до н. э. использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать в своей книге «Измерение круга^[en]», что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу окружности. В современных обозначениях, длина окружности равна , а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, что даёт Архимед уточнил значение числа :

Для доказательства Архимед построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон (см. ниже).

Средневековые европейские математики использовали для обоснования формулы площади круга метод неделимых. Представим себе разворачивание концентричных кругов бесконечно малой толщины в отрезки, получим прямоугольный треугольник с высотой r и основанием (основание получается из внешней окружности круга). Вычисление площади треугольника даст площадь круга:

Площадь = основание высота = .

Доказательства[править | править код]

Предельный переход[править | править код]

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к кругу, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус^[5], то есть .

Доказательство Архимеда[править | править код]

Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.

Не больше[править | править код]

Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = ¹⁄₂cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем^[en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G₄ больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G₈. Продолжаем деление, пока общий зазор G_n не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника P_n = C − G_n должна быть больше площади треугольника.

Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт ¹⁄₂nhs. Но h < r и ns < c, так что площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника ¹⁄₂cr, получили противоречие.

Не меньше[править | править код]

Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G₄ больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника P_n должна быть меньше T.

Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.

Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.

Доказательство перегруппировкой[править | править код]

Следуя Сато Мошуну ^[6] и Леонардо да Винчи ^[7], мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной πr и высотой r.

Приближения площади круга единичного радиуса перегруппировкой треугольников.

многоугольник	параллелограмм
n		сторона		основание		высота		площадь
4		1,4142136		2,8284271		0,7071068		2,0000000
6		1,0000000		3,0000000		0,8660254		2,5980762
8		0,7653669		3,0614675		0,9238795		2,8284271
10		0,6180340		3,0901699		0,9510565		2,9389263
12		0,5176381		3,1058285		0,9659258		3,0000000
14		0,4450419		3,1152931		0,9749279		3,0371862
16		0,3901806		3,1214452		0,9807853		3,0614675
96		0,0654382		3,1410320		0,9994646		3,1393502
∞		1/∞		π		1		π

Интегрирование[править | править код]

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2πt dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

Быстрая аппроксимация[править | править код]

Для применения формулы площади круга необходимо знать с нужной точностью значение числа . Вычисления, проведённые Архимедом, были трудоёмкими, и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Снелла (1621), позднее развитые Гюйгенсом (1654) ^[8].

Метод удвоения Архимеда[править | править код]

Если задан круг, пусть u_n будет периметром вписанного правильного n-угольника, а U_n — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда u_n и U_n являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (u_n + U_n)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить u_n и U_n для больших n, Архимед вывел следующие формулы:

   (среднее геометрическое)

   (среднее гармоническое).

Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.

В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше).
Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u₆ = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U₆ = 4√3.
Удваиваем семь раз, получаем

Удвоения Архимеда семь раз; n = 6×2^k.

k		n		un		Un		(un + Un)/4
0		6		6,0000000		6,9282032		3,2320508
1		12		6,2116571		6,4307806		3,1606094
2		24		6,2652572		6,3193199		3,1461443
3		48		6,2787004		6,2921724		3,1427182
4		96		6,2820639		6,2854292		3,1418733
5		192		6,2829049		6,2837461		3,1416628
6		384		6,2831152		6,2833255		3,1416102
7		768		6,2831678		6,2832204		3,1415970

(здесь (u_n + U_n)/2 аппроксимирует длину единичной окружности, которая равна 2π, так что (u_n + U_n)/4 аппроксимирует π)

Последняя строка таблицы содержит число, близкое к ³⁵⁵⁄₁₁₃ — отличному рациональному приближению числа π; лучшие приближения имеют знаменатели на несколько порядков больше^[9].

Улучшение Снелла-Гюйгенса[править | править код]

Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:

Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Развитие формулы удваивания Архимеда[править | править код]

Пусть одна сторона вписанного правильного n-угольника имеет длину s_n и пусть точки A и B — её концы. Пусть A′ — противоположная A точка на окружности, так что A′A является диаметром, а A′AB является вписанным треугольником, опирающимся на этот диаметр. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным (угол B прямой). Пусть длина A′B равна c_n и эту длину будем называть дополнением s_n. Тогда c_n²+s_n² = (2r)². Пусть точка C делит дугу AB пополам, и пусть C′ является противоположной C точкой окружности. Тогда длина CA равна s_2n, длина C′A равна c_2n, а C′CA снова является прямоугольным треугольником, опирающимся на диаметр C′C. Поскольку C делит дугу AB пополам, диаметр C′C перпендикулярен хорде AB, которую он пересекает, скажем, в точке P. Треугольник C′AP тогда прямоуголен и подобен C′CA, поскольку у них общий угол C′. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. В частности, мы имеем C′A : C′C = C′P : C′A и AP : C′A = CA : C′C. Центр окружности O делит A′A пополам, так что треугольник OAP подобен A′AB и длина OP равна половине длины A′B. В результате получаем

В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+¹⁄₂c_n, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена

Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону S_n, тогда отношение превращается в S_n : s_n = 1 : ¹⁄₂c_n. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем

Обозначим периметр вписанного многоугольника через u_n = ns_n, а описанного через U_n = nS_n. Комбинируя равенства, получим

так что

Получили среднее геометрическое.

Можно также вывести

или

Получили среднее гармоническое.

Аппроксимация случайными бросаниями[править | править код]

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно распространяются по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10⁻ⁿ необходимо около 100ⁿ случайных испытаний ^[10].

Конечная перегруппировка[править | править код]

Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем ^[11], что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Сам вопрос о таком конечном разбиении носит название «Квадратура круга Тарского».

Обобщения[править | править код]

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Archimedes в переводе Томаса Хита. The Works of Archimedes. — Dover, c. 260 BCE, год публикации 2002. — С. 91–93. — ISBN 978-0-486-42084-4.
• Petr Beckmann. A History of Pi. — St. Martin’s Griffin, 1976. — ISBN 978-0-312-38185-1.
• J. Gerretsen, P. Verdenduin. Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. — MIT Press, 1983. — С. 243–250. — ISBN 978-0-262-52094-2.
• Serge Lang. Math! : Encounters with High School Students. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 978-0-387-96129-3.
• Miklós Laczkovich. Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski’s circle squaring problem // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1990. — Т. 404. — С. 77–117.
• David Eugene Smith, Yoshio Mikami. A history of Japanese mathematics. — Chicago: Open Court Publishing, 1914. — С. 130–132. — ISBN 978-0-87548-170-8.
• J. M.Thijsse. Computational Physics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 273. — ISBN 978-0-521-57588-1.

Ссылки[править | править код]

• Area of a Circle Calculator
• Area enclosed by a circle Архивная копия от 4 декабря 2008 на Wayback Machine (with interactive animation)
• Science News on Tarski problem Архивная копия от 13 апреля 2008 на Wayback Machine

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

 

Площадь круга: формула, определение и примеры

• Автор Асит Баранкар
• Последнее изменение 27-09-2022

• Автор
  Асит Баранкар
• Последнее изменение 27-09-2022

Площадь круга:   Площадь круга — это пространство, занимаемое кругом на двумерной плоскости. Круг — это важная геометрическая фигура, которая присутствует во многих областях, таких как строительство, машиностроение и многие другие. Решение задач, связанных с кругами в геометрии, требует, чтобы мы могли вычислить площадь круга.

Формула площади круга: A = πr2, где r — радиус круга. Единицей площади является квадратная единица, например, м2, см2, дюйм2 и т. д. В этой статье мы изучим термины, связанные с кругами, такие как радиус, диаметр, периметр, площадь круга и т. д. Продолжайте читать, чтобы узнать больше. .

Определение Круга : Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, расстояние до которых от фиксированной точки всегда одинаково. Неподвижная точка называется центром окружности, а граница окружности называется окружностью окружности.

Радиус круга

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр и любую точку на окружности.

Диаметр круга

Диаметр окружности — это отрезок, начинающийся из любой точки на окружности, проходящий через центр и заканчивающийся в точке на противоположной стороне окружности. Длина диаметра в два раза больше длины радиуса окружности.

Полукруг

Полукруг — это половина круга. Диаметр делит окружность на две полуокружности.

Практические экзаменационные вопросы

Хорда круга

Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется хордой окружности.

Сегменты круга

Если хорда представляет собой длину окружности, она делит площадь на две равные части. Однако, если хорда не является окружностью круга, она делит площадь на две неравные части. Аккорд расположен в центре круга, который является основным сегментом. Аккорд, помещенный в минорную область круга, называется минорным сегментом.

Дуга окружности

Любая часть окружности называется дугой окружности. Если длина дуги больше полуокружности, она называется Большой дугой , а если длина дуги меньше полуокружности, она называется Малой дугой . Сумма длин большой дуги и малой дуги всегда дает длину окружности.

Сектор круга

Площадь, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром, называется сектором окружности. Когда большая дуга образует сектор, она называется Большим сектором, а когда меньшая дуга образует сектор, она называется Малым сектором.

Концентрические круги

Если два или более круга имеют один и тот же центр, такие круги называются концентрическими кругами.

Какова площадь круга?

Площадь круга определяется пространством или областью, занимаемой кругом на двумерной плоскости.

Значение пи(слева( пи справа))

В формуле площади круга используется постоянный член (pi ) (pi). (pi ) — постоянный член, также известный как постоянная Архимеда. Один из способов определить (pi ) состоит в том, что это отношение длины окружности к ее диаметру. Это иррациональное число, значение которого равно (3,141592}.)

Формула площади круга: вывод

Существует несколько методов вывода формулы площади круга. Среди них наиболее популярными являются следующие методы: (а) использование площади прямоугольника и (б) использование площади треугольника. Исчисление также используется для получения площади круга.

Здесь будет обсуждаться техника использования площадей прямоугольника и треугольника:

Площадь круга с использованием площади прямоугольника

В этом методе круг разделен на множество маленьких секторов, а расположение секторов выполнено в виде параллелограмма, как показано на рисунке ниже. Ясно, что параллелограмм превратится в прямоугольник, если круг разделить на большее количество секторов.

Как видно на рисунке, круг разбит на (16) секторов, (8) из которых окрашены в синий цвет, а остальные (8) — в желтый.
Синие и желтые сектора расположены попеременно, как показано на рисунке выше. 92}.)

Площадь круга с использованием площади треугольника

В этом методе вся площадь круга считается состоящей из бесконечного числа концентрических окружностей. Если окружность разрезать по радиусу так, как показано на рисунке, и если все эти бесконечно много прямых (окружностей концентрических окружностей) расположить в виде прямоугольного треугольника или в виде равнобедренного треугольника, то прямоугольный получается равнобедренный или равнобедренный треугольник с основанием (2,pi r) и высотой (r.) 92})

Другие формулы, относящиеся к площади круга

Мы выведем еще несколько формул, основанных на основной формуле площади круга, выведенной выше, и приведем их ниже, которые широко используются для многих целей, например:

Площадь полукруга

Длина диаметра в два раза больше длины радиуса. Итак, если (r) радиус и (d) диаметр окружности, то (d = 2r) или (r = frac{d}{2})
Следовательно, площадь полукруга равна (frac{1}{2} times pi {r^2} = frac{1}{2} times pi times {(r)^2} = frac {1} {2} раз пи раз { влево ( { гидроразрыва {d} {2}} справа) ^ 2} = гидроразрыва {1} {2} раз пи раз гидроразрыва { {{d^2}}}{4} = frac{{pi {d^2}}}{8}) 92}. )

Интересные факты

1. Среди всех фигур, имеющих одинаковую площадь, периметр круга будет наименьшим.
2. Площадь круга увеличивается в четыре раза, если его радиус удваивается.
3. Площадь круга увеличивается в четыре раза, если его диаметр увеличивается вдвое.
4. Площадь круга увеличивается в четыре раза, если его периметр удваивается.
5. Если круг диаметром (1) единица катится по числовой прямой один раз, начиная с нуля, то он приземляется примерно на (3.14.) 92})

   Q. 5. Окружность круглого экрана радара составляет (176,{rm{cm}}.) Эффективна только (90% ) его площади. Рассчитайте эффективную площадь экрана.
   Ans : Пусть (r,{rm{см}}) — радиус круглого экрана радара. Тогда его длина окружности ( = 2pi r,{rm{см}})
   Согласно приведенной информации, (2pi r = 176)
   (Rightarrow 2 times frac{{22 }}{7} times r = 176) 92})

   Q. 2}.) 92}}})

   Часто задаваемые вопросы о площади круга

   Ниже приведены часто задаваемые вопросы о площади круга:

   Q.1. Как найти площадь с диаметром?
   Ответ :  Диаметр в два раза больше радиуса. Итак, разделите диаметр на 22 и получите радиус. Затем используйте этот радиус, чтобы найти нужную площадь по формуле πr2πr2 Или иначе используйте формулу площади =πd24=πd24 непосредственно, где dd – диаметр окружности.

   Q.2. Что такое площадь круга?
   Ответ: Площадь круга – это пространство, занимаемое кругом в двумерной плоскости. Круг — это важная геометрическая фигура, которая присутствует во многих областях, таких как строительство, машиностроение и многие другие. Решение задач, связанных с кругами в геометрии, требует, чтобы мы могли вычислить площадь круга. Формула площади круга: A = πr2, где r — радиус круга. Единицей площади является квадратная единица, например, м2, см2, дюйм2 и т. д.

   Q.3. Если квадрат вписан в круг, каково будет отношение площади квадрата к площади круга?
   Ответ : Пусть радиус круга равен r.r.
   Следовательно, площадь круга =πr2=πr2
   Длина диагонали квадрата =2r=2r
   Значит, длина стороны квадрата =2–√r=2r
   Следовательно, площадь квадрата =2r2=2r2
   Следовательно , требуемое соотношение 2:π

   Q.4. Какая формула площади круга? 92}) и для длины окружности используйте длину окружности ( = 2pi r,), где (r) — радиус окружности.

   Q.6. Если радиус круга дан в метрах, какова будет единица площади круга?
   Ответ : ({rm{sq}}{rm{.}},{rm{метр}}{rm{.}})

   Q.7. В чем разница между сектором и сегментом круга?
   Ответ :  Сектор круга – это часть площади круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, заключенной между ними, круга. Сегмент окружности – это площадь окружности, ограниченная хордой и дугой окружности.

   В.8. Как изменится площадь круга, если диаметр круга увеличить вдвое?
   Ответ :  Площадь круга увеличивается в четыре раза, если его диаметр увеличивается вдвое.

   Q.9. В чем разница между площадью и периметром круга?
   Ответ :  Площадь круга — это пространство, занимаемое кругом в двумерной плоскости. Периметр – это длина границы окружности.

   Q.10. В чем разница между большим и малым сегментами окружности?
   Ответ :  Если сегмент круга меньше полукруга, то он называется малым сегментом, а если он больше полукруга, то он называется большим сегментом. Сумма площадей малого и большого сегментов равна площади круга.

   УЗНАТЬ ОБ ОКРУЖНОСТИ КРУГА

   Мы надеемся, что эта статья о площади круга помогла вам.