Как найти площадь окружности описанной около цилиндра
Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс (рис. 145) или его некоторая часть (рис. 146, 147). Это следует из того, что параллельной проекцией окружности на плоскость, не параллельную плоскости окружности, является эллипс. ( Вспомните : наклонив цилиндрический стеклянный сосуд с водой, вы видите на поверхности воды эллипс или его часть. )
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением цилиндра. Так как поворот пространства вокруг прямой на угол 180 ° является осевой симметрией относительно оси вращения, то ось прямого кругового цилиндра является его осью симметрии. Значит, осевым сечением цилиндра вращения является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра (рис. 148). При этом все осевые сечения цилиндра — равные между собой прямоугольники .
Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, называют равносторонним цилиндром (рис. 149).
Так как все образующие цилиндра равны и параллельны друг другу, то любое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник, высота которого равна образующей цилиндра (рис. 150).
б) Изображение цилиндра. Чтобы построить изображение цилиндра, достаточно построить: 1) прямоугольник AВB 1 A 1 и его ось OO 1 (рис. 151); 2) два равных эллипса, центрами которых являются точки O и O 1 и осями — отрезки АВ и A 1 В 1 . Выделив штрихами невидимые линии, получаем искомое изображение цилиндра.
в) Касательная плоскость к цилиндру.
Определение. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно плоскости осевого сечения, проведённой через эту образующую, называется касательной плоскостью к цилиндру (рис. 152).
Говорят, что плоскость α касается цилиндра ( цилиндрической поверхности ) по образующей DD 1 , каждая точка образующей DD 1 является точкой касания плоскости α и данного цилиндра.
Через любую точку боковой поверхности цилиндра проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности цилиндра можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному цилиндру в этой точке.
17.3. Развёртка и площадь поверхности цилиндра
Следует заметить, что развёртка поверхности вращения — понятие в определённой мере интуитивное. К тому же не для каждой поверхности тела вращения можно построить её развёртку. Иными словами, не каждую поверхность можно «развернуть» на плоскости. Например, не существует развёртки сферы (см. раздел «Дифференциальная геометрия» в конце этой книги).
Развёртку цилиндра мы также введём на интуитивном уровне.
Пусть R — радиус основания, h — высота цилиндра.
Полная поверхность цилиндра состоит из его боковой поверхности и двух оснований — равных кругов. Если эту поверхность «разрезать» по образующей DD 1 (рис. 153) и по окружностям оснований, затем боковую поверхность развернуть на плоскости, то получим развёртку полной поверхности цилиндра (рис. 154), состоящую из прямоугольника и двух равных кругов, касающихся противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 155).
Попробуйте изготовить развёртку цилиндра и склеить из неё цилиндр.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки , т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, у которого одна сторона равна длине окружности основания цилиндра, а другая сторона — высоте цилиндра:
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. ▼
Площадь круга радиуса R равна π R 2 , поэтому S осн = π R 2 . Тогда для нахождения площади полной поверхность цилиндра справедливо:
S полн = S бок + 2 S осн = 2 π Rh + 2 π R 2 = 2 π R ( R + h ) .
Следствие. Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCD вокруг его высоты AD (рис. 156) . Тогда
S бок = 2 π DC • BC . (1)
Если EF — серединный перпендикуляр к образующей BC, проведённый из точки F оси l цилиндра, то EF = CD. Учитывая, что ВС = AD, получаем: S бок = 2 π EF • AD, т. е. боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра его образующей, проведённого из точки оcu цилиндра.
Это следствие найдёт своё применение в п. 19.7.
17 . 4 . Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра
Нам предстоит решать задачи, в которых рассматриваются многогранники, вписанные в фигуры вращения и описанные около них.
Для правильного и наглядного изображения конфигураций из таких многогранников и фигур вращения необходимо верно изображать правильные многоугольники, вписанные в окружность (круг) или описанные около неё.
Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис. 157).
Цилиндр в этом случае называют описанным около призмы.
Боковые рёбра призмы соединяют соответственные вершины её оснований, вписанных в основания цилиндра. Эти вершины лежат на окружностях оснований цилиндра. Образующие цилиндра соединяют соответственные точки окружностей его оснований и параллельны боковым рёбрам призмы. Следовательно, боковые рёбра вписанной в цилиндр призмы — образующие цилиндра.
Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра.
Цилиндр при этом называют вписанным в призму (рис. 158).
Так как соответственные стороны оснований призмы параллельны друг другу и перпендикулярны радиусам оснований цилиндра, проведённым в точки касания, то плоскости боковых граней призмы являются касательными плоскостями к цилиндру: эти плоскости касаются поверхности цилиндра по образующим , соединяющим точки, в которых стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра.
При изображении правильных призм, вписанных в цилиндр, следует руководствоваться алгоритмами построений изображений правильных многоугольников, вписанных в окружность.
Итак, для построения изображения правильной призмы, вписанной в цилиндр: 1) строим изображение цилиндра; 2) строим изображение правильного многоугольника, вписанного в верхнее основание цилиндра; 3) через вершины построенного вписанного многоугольника проводим образующие цилиндра; 4) в нижнем основании цилиндра последовательно соединяем концы этих образующих; 5) выделяем видимые и невидимые линии (отрезки) изображаемых фигур.
На рисунке 159 изображены вписанные в цилиндр: призма, в основании которой прямоугольный треугольник (рис. 159, а ); правильная четырёхугольная призма (рис. 159, б ); правильная треугольная призма (рис. 159, в ); правильная шестиугольная призма (рис. 159, г ).
ЗАДАЧА (3.029). Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна a . Найти площади боковой и полной поверхностей правильной призмы, вписанной в этот цилиндр, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.
Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть в равносторонний цилиндр вписана правильная призма ABCA 1 B 1 C 1 (рис. 160); CDD 1 C 1 — осевое сечение; OO 1 = h — высота цилиндра; ОС = R — радиус основания цилиндра.
Так как цилиндр — равносторонний, то CDD 1 C 1 — квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания. Тогда в квадрате СDD 1 С 1 находим CD = = a = h.
Далее, △ АВС — правильный, вписанный в основание, радиус которого R = = . Значит, сторона АВ и высота СЕ этого треугольника равны: АВ = R = , СЕ = R = a. Откуда
S осн = = ;
S бок = 3 S ABB 1 A 1 = 3 AB • BB 1 = 3 • • a = .
S полн = S бок + 2 S осн = + 2 • = .
Ответ: a) ; .
ЗАДАЧА (3.032). В равносторонний цилиндр, высота которого равна a, вписана правильная призма. Найти расстояние и угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.
Решени е. Рассмотрим случай б). Пусть ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — вписанная в цилиндр правильная призма (рис. 161). Найдём расстояние и угол между осью OO 1 цилиндра и скрещивающейся с ней (почему?) диагональю АB 1 боковой грани ABB 1 A 1 данной призмы.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведёнными через эти прямые.
Если точка Е — середина отрезка AD, то расстояние между скрещивающимися прямыми AB 1 и OO 1 равно расстоянию между плоскостью грани ABB 1 A 1 и параллельной ей (почему?) плоскостью сечения EFF 1 E 1 . Это расстояние равно длине отрезка ОK (где точка K — середина АВ ), так как OK ⟂ ( ABB 1 ) и ( ABB 1 ) || ( EFF 1 ) .
Поскольку данный цилиндр — равносторонний, то BDD 1 B 1 — квадрат со стороной BD = ВВ 1 = a. Тогда АВ = = . Значит, ОK = АЕ = = — искомое расстояние между прямыми ОО 1 и АВ 1 .
Обозначим ∠ ( OO 1 ; AB 1 ) = ϕ , M = AB 1 ∩ A 1 B. Для нахождения угла ϕ проведём в грани ABB 1 A 1 прямую KK 1 || OO 1 . Тогда ϕ = ∠ ( OO 1 ; AB 1 ) = ∠ ( KK 1 ; AB 1 ) . Так как KK 1 || OO 1 , OO 1 ⟂ ( ABC ) , то MK ⟂ AB. Поэтому △ АKМ — прямоугольный. В этом треугольнике АK = , KМ = . Значит, tg ϕ = = , откуда ϕ = arctg .
Ответ: б) , arctg .
Во многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) n- угольных призм при n → + ∞ .
Действительно, S бок. пов. призм = h • P осн. призм , где Р осн. призм — периметр основания призмы, h — длина её высоты. Для правильных вписанных в цилиндр призм h — постоянная величина, равная длине высоты цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность (основание цилиндра), равен длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: S бок = 2 π Rh.
17.5. Объём цилиндра
Напомним принятое нами соглашение, основанное на принципе Кавальери.
«Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причём площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как m : n, то и объёмы этих тел относятся как m : n ».
Расположим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания R, и прямоугольный параллелепипед с рёбрами h, R, R так, чтобы их основания находились на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно h (рис. 162). Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая цилиндр, пересекает также прямоугольный параллелепипед, причём площади образованных при пересечении обоих тел сечений относятся как π • R 2 : R 2 = π : 1. Тогда и для объёмов этих тел справедливо: V цил : V парал = π : 1 или V цил : ( R 2 • h ) = π : 1, откуда
V цил = π • R 2 • h.
Если цилиндр высотой h пересечь плоскостью, параллельной его оси, то этот цилиндр разобьётся на два тела (рис. 163). Объёмы этих тел относятся как площади сегментов, образовавшихся в основании цилиндра (докажите это на основании принципа Кавальери). Следовательно, объём каждого из этих тел может быть вычислен по формуле
Любая плоскость, проведённая через середину оси цилиндра, разбивает этот цилиндр на два равновеликих тела (рис. 164), объём V каждого из которых равен половине объёма данного цилиндра, т. е. V = π • R 2 • h.
Попробуйте, исходя из этой формулы, доказать, что в таком случае объём каждой части цилиндра (см. рис. 164) может быть вычислен по формуле:
V= π • R 2 • ( a + b ),
где a и b — длины отрезков, на которые образующая цилиндра делится секущей плоскостью.
Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Формула вычисления площади цилиндра
1. Боковая поверхность
Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту.
Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом:
S = 2 π R h
Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.
2. Основание
В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна:
S = π R 2
Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:
3. Полная площадь
Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:
S = 2 π R h + 2 π R 2 или S = 2 π R (h + R)
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.
Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .
Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .
Площадь круга: как найти, формулы
О чем эта статья:
площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Определение основных понятий
Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.
Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.
Формула вычисления площади круга
Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!
Площадь круга через радиус
S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Площадь круга через диаметр
S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.
Площадь круга через длину окружности
S = L 2 : (4 × π), где L — это длина окружности.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Задачи. Определить площадь круга
Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!
Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.
Диаметр окружности равен двум радиусам.
Используем формулу: S = π × d 2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.
Ответ: 113,04 см 2 .
Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.
Используем формулу: S = π × d 2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.
Ответ: 6358,5 мм 2 .
Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.
Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.
Получается: L = d × π.
Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.
Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.
Ответ: 18,84 см 2 .
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-kruga
[/spoiler]
В данной публикации мы рассмотрим, как найти радиус описанной вокруг прямого цилиндра сферы, а также площадь ее поверхности и объем шара, ограниченного этой сферой.
Нахождение радиуса сферы/шара
Около любого цилиндра можно описать сферу (или другими словами, вписать цилиндр в шар) – но только одну.
- Центром такой сферы будет являться центр цилиндра, в нашем случае – это точка O.
- O1 и O2 – центры оснований цилиндра.
- O1O2 – высота цилиндра (h).
- OO1 = OO2 = h/2.
Можно заметить, что радиус описанной сферы (OE), половина высоты цилиндра (OO1) и радиус его основания (O1E) образовывают прямоугольный треугольник OO1E.
Воспользовавшись теоремой Пифагора мы можем найти гипотенузу этого треугольника, которая одновременно является радиусом сферы, описанной около заданного цилиндра:
Зная радиус сферы можно вычислить площадь (S) ее поверхности и объем (V) ограниченного сферой шара:
- S = 4 ⋅ π ⋅ R2
- S = 4/3 ⋅ π ⋅ R3
Примечание: π округленно равняется 3,14.
Цилиндр называется описанным около призмы, если многоугольники оснований призмы вписаны в окружности оснований цилиндра, а образующие цилиндра являются боковыми рёбрами призмы.
Цилиндр можно описать только около такой прямой призмы, около основания которой можно описать окружность.
Например, цилиндр всегда можно описать около прямой треугольной призмы, около правильной призмы.
Рисунок составляется в зависимости от содержания задания, часто достаточно рисунка основания комбинаций этих тел, т. к. высота призмы равна высоте цилиндра.
Окружность основания цилиндра описана около многоугольника основания призмы.
Радиус цилиндра — это радиус окружности, описанной около многоугольника основания призмы.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр окружности, описанной около четырёхугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность, если суммы противоположных углов равны
180°
.
Формулы вычисления радиуса (R) описанной окружности
(a, b, c) — стороны, (h) — высота, (d) — диагональ.
| Правильный треугольник | (R =) 23h; (R=) a33 |
| Прямоугольный треугольник | (R=) 12 гипотенузы |
| Произвольный треугольник | R=abc4S;R=a2sinα |
| Квадрат |
(R =) a22 |
|
Прямоугольник |
(R =) d2 |
|
Правильный шестиугольник |
(R = a) |
Цилиндр вписан в призму, если окружности оснований цилиндра вписаны в многоугольники оснований призмы.
Цилиндр можно вписать только в такую прямую призму, в многоугольник основания которой можно вписать окружность.
Например, цилиндр всегда можно вписать в прямую треугольную призму, в правильную призму.
Рисунок создаётся в зависимости от содержания задачи, часто достаточно нарисовать основание комбинаций этих тел, т. к. высота цилиндра равна высоте призмы.
Окружность основания цилиндра вписана в многоугольник основания призмы.
Радиус цилиндра — радиус окружности, вписанной в многоугольник основания призмы.
Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника.
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, находится в точке пересечения биссектрис четырёхугольника. В четырёхугольник можно вписать окружность, если равны суммы длин противоположных сторон.
Формулы вычисления радиуса (r) вписанной окружности
Где (h) — высота, (S) — площадь, (p) — полупериметр, (a) — сторона.
| Правильный треугольник | r=13h;r=a36 |
| Произвольный (и прямоугольный) треугольник | (r =) Sp |
| Квадрат | |
| Ромб |
или |
| Правильный шестиугольник | (r =) a32 |
Чтобы найти площадь поверхности цилиндра необходимо знать радиус его основания и высоту. Очень важно понимать, что существует две поверхности – боковая и полная. Площадь боковой поверхности включает в себя площадь поверхности цилиндра без учета площади его оснований. Полная же площадь основания цилиндра включает как площадь боковой поверхности, так и обоих оснований цилиндра.
На нашем сайте вы можете рассчитать и объем цилиндра
Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые её пересекают.
Содержание:
- калькулятор площади поверхности цилиндра
- формула площади поверхности цилиндра
- формула площади боковой поверхности цилиндра
- примеры задач
Формула площади поверхности цилиндра
{S_{полн} = 2pi R(h+R)}
R – радиус основания цилиндра
h – высота цилиндра
Формула площади боковой поверхности цилиндра
{S_{бок} = 2pi Rh}
R – радиус основания цилиндра
h – высота цилиндра
Примеры задач на нахождение площади поверхности цилиндра
Задача 1
Найдите площадь поверхности цилиндра если его высота равна 5см а радиус 6см.
Решение
Так как необходимо найти площадь полной поверхности цилиндра, воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения из условия и произведем вычисления.
S_{полн} = 2pi R(h+R) = 2pi cdot 6(5+6) = 12pi cdot 11 = 132 pi : см^2 approx 414.69023 : см^2
Ответ: 132 pi : см^2 approx 414.69023 : см^2
Чтобы проверить правильность ответа можно использовать калькулятор .
Задача 2
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен 2см а высота 7см.
Решение
Для решения этой задачи нам потребуется вторая формула.
S_{бок} = 2pi Rh = 2pi cdot 2 cdot 7 = 28 pi : см^2 approx 87.96459 : см^2
Ответ: 28 pi : см^2 approx 87.96459 : см^2
Осталось убедиться, что задача решена верно, для этого используем калькулятор .
Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Учитесь решать простые и сложные задачи.
Содержание
- Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач
- Формула нахождения площади круга через радиус:
- Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:
- Нахождение S круга, если известна длина окружности:
- Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач
- Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.
- Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.
- Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач
- Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач
- Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач
- Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач
- Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач
- Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей
Круг — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — это плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади просто. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат, и описанного около этих фигур.
Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач
Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.
Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности. Длины всех R-радиусов одной окружности будут равными.
Диаметр D — это линия между двумя любыми точками окружности, которая проходит через центральную точку. Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.
Число π — это неизменная величина, которая равна 3,1415926. В математике обычно это число округляется до 3,14.
Формула нахождения площади круга через радиус:
Примеры решения заданий по нахождению S-площади круга через R-радиус:
————————————————————————————————————————
Задача: Найдите площадь окружности, если ее радиус равен 7 см.
Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².
Ответ: Площадь окружности равна 153,86 см².
Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:
Примеры решения заданий по нахождению S, если известен D:
————————————————————————————————————————-
Задача: Найдите S круга, если его D равен 10 см.
Решение: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².
Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².
Нахождение S круга, если известна длина окружности:
Сначала находим, чему равен радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через R.
Рассмотрим решение на примере задачи:
———————————————————————————————————————-
Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.
Решение: Сначала находим радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.
Теперь находим площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².
Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².
Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач
Найти площадь круга, вписанного в квадрат просто. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно сторону разделить на 2.
Формула нахождения площади круга, вписанного в квадрат:
Примеры решения задач по нахождению площади круга, вписанного в квадрат:
———————————————————————————————————————
Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.
Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².
Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².
————————————————————————————————————————
Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.
Решайте так: Сначала найдем R=a/2=4/2=2 см.
Теперь найдем площадь окружности S=3,14*2²=3,14*4=12,56 см².
Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².
Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач
Немного сложнее находить площадь круглой фигуры, описанной около квадрата. Но, зная формулу, можно быстро подсчитать данное значение.
Формула нахождения S круга, описанного около квадратной фигуры:
Примеры решения заданий по нахождению площади окружности, описанной около квадратной фигуры:
Задача
Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач
Окружность, которая вписана в треугольную фигуру — это круг, который касается всех трех сторон треугольника. В любую треугольную фигуру можно вписать круг, но только один. Центром круга будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.
Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:
Когда будет известен радиус, площадь можно вычислить по формуле: S=πR².
Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:
Примеры решения заданий:
Задача №1
Если в этой задаче нужно найти еще и площадь круга с радиусом 4 см, то сделать это можно по формуле: S=πR²
Задача №2
Решение:
Теперь, когда известен радиус, можно найти площадь круга через радиус. Формулу смотрите выше по тексту.
Задача №3
Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач
Все формулы по нахождению площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как было описано выше.
Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника находится по такой формуле:
Примеры решения задач:
Вот еще пример решения задачи с использованием формулы Герона.
Решать подобные задачи сложно, но их можно осилить, если знать все формулы. Такие задачи школьники решают в 9 классе.
Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач
У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию на примере решения задач.
Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.
Для решения этой задачи нужно использовать такие формулы:
Нахождение площади окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, производится по следующей формуле:
Если известна боковая сторона, то можно найти радиус через это значение. Высота боковой стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус — это половина диаметра. Соответственно, радиус равен R=d/2.
Примеры решения задач:
Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач
Трапецию можно вписать в окружность, когда сумма ее противолежащих углов равна 180º. Поэтому вписать можно только равнобокую трапецию. Радиус для вычисления площадь круга, описанного около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по таким формулам:
Примеры решения задач:
Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция. Центр делит это основание ровно пополам. Если основание АВ равно 12, тогда радиус R можно найти так: R=12/2=6.
Ответ: Радиус равен 6.
В геометрии важно знать формулы. Но все их невозможно запомнить, поэтому даже на многих экзаменах разрешается пользоваться специальным формуляром. Однако важно уметь находить правильную формулу для решения той или иной задачи. Тренируйтесь в решении разных задач на нахождение радиуса и площади окружности, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.
