Содержание:
- § 1 Формула площади круга
- § 2 Применение формулы площади круга
§ 1 Формула площади круга
В этом уроке познакомимся с формулой площади круга и научимся применять ее.
Одной из древнейших практических задач является определение площадей геометрических фигур.
Площадь фигуры – это величина части плоскости, ограниченной многоугольником или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигурой.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью, фигура замкнутая, значит, можно говорить о площади круга.
Вспомним свойства площади фигур.
Первое свойство: равные фигуры имеют равную площадь.
Второе свойство: если фигура разбивается на части, то площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.
Выведем формулу площади круга. Рассмотрим рисунок.
На рисунке изображены окружности, проходящие через вершины правильных многоугольников.
Площади многоугольников очень незначительно отличаются от площади соответствующего круга.
Если увеличивать количество сторон многоугольника, то он практически сольется с окружностью.
Используем этот факт для получения формулы.
Пусть n – число сторон правильного многоугольника. Так как у него n равных сторон, то данный многоугольник можно разделить на n – равных треугольников с общей вершиной, которая является центром круга.
Площадь одного треугольника равна половине произведения стороны а и проведенной к ней высоты h.
Поскольку многоугольник разделен на n равных треугольников, следовательно, площадь многоугольника равна сумме площадей n равных треугольников.
Подставим формулу площади треугольника в данную формулу и получим: площадь многоугольника равна половине произведения стороны, высоты, проведенной к данной стороне треугольника и количества сторон многоугольника.
При увеличении количества сторон правильного многоугольника n произведение стороны a и количества сторон n – это практически длина окружности. А высота h – практически радиус окружности.
§ 2 Применение формулы площади круга
Вспомним формулу длины окружности:
C = 2πR, где R – радиус, и подставим вместо h (высоты) R (радиус).
Получим, что площадь равна половине удвоенного произведения πR и R.
Упростим выражение:
Значит, площадь равна произведению π R2.
Таким образом, мы получили формулу нахождения площади круга, так как уже говорилось, что если увеличивать количество сторон правильного многоугольника n, то он практически сольется с окружностью.
В математике говорят, что площадь многоугольника в рассмотренном случае стремится к площади круга, т.е. почти равна площади круга.
Перейдем к практической части.
На цирковой арене цирка «Шапито» нужно заменить половое покрытие. Чтобы закупить необходимое количество материла, необходимо знать площадь арены. Диаметр арены – 13м. Найдите ее площадь.
Выпишем необходимые данные.
Нужно найти площадь круга.
Если диаметр равен 13 м, то радиус 13:2 = 6,5 м.
Подставим данные в формулу: S = 3,14 ∙ 6,52.
Такую площадь имеет арена цирка.
Таким образом, в этом уроке мы вывели формулу площади круга и научились ее применять.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./ под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования, М.: Просвещение, 2010.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 кл.: учебник/Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014.
Представим
себе такую историю…
–
Паша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Саша.
–
Решил обновить шины на моём велосипеде, – ответил Паша. – Чтобы купить новые,
мне нужно знать размер колеса.
–
И как же ты узнаешь этот размер? – решил уточнить Саша.
–
Для этого мне нужно измерить длину шины велосипедного колеса, – ответил Паша.
–
А как измерить эту длину? – удивился Саша. – Ты же не будешь для этого резать
шину?
–
Да это же совсем просто! – улыбнулся Паша. – Я взял сантиметровую ленту у мамы
и ей измерил длину шины.
–
И точно, всё просто! – согласился Саша. – И что же у тебя вышло?
–
Длина шины моего колеса равна 189 сантиметрам.
–
Это значит, размер твоего велосипедного колеса 189 сантиметров? – решил
уточнить Саша.
–
Нет, – ответил Паша, – а вот чтобы выяснить размер велосипедного колеса, нужно
как-то из длины шины выразить диаметр. А как это сделать, я не знаю.
–
Ну чего же ты расстраиваешься?! – воскликнул Саша. – Давай спросим у Мудряша.
Он точно сможет нам помочь.
–
Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и
выполним устные задания, – предложил Мудряш.
–
Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было
получиться!
–
Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Всё правильно. Чтобы
выяснить, какой размер у велосипедного колеса, нужно знать его диаметр. Но для
начала давайте определим, какую форму имеет велосипедное колесо.
–
Велосипедное колесо имеет форму окружности, – ответили мальчишки.
–
Верно! – согласился Мудряш. – Зная длину окружности, можно вычислить её
диаметр.
–
А как измерить длину окружности? – решили спросить мальчишки. – Ведь длину окружности
не измеряешь сантиметровой лентой. Да и разрезать её не получится, чтобы
измерить линейкой.
–
Изобретательный ум человека придумал много способов решения этой задачи, –
начал Мудряш. – Обозначим длину окружности буквой l.
Несложно догадаться, что длина l
окружности зависит от длины её диаметра d,
а именно: чем больше диаметр, тем больше будет длина окружности. Другими
словами, длина окружности прямо пропорциональна её диаметру.
Но,
оказывается, для всех окружностей отношение длины окружности к её диаметру
является одним и тем же числом .
Это
число обозначают греческой буквой. Читают эту букву .
Это начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает
«окружность». Запомните! Отношение длины окружности к её диаметру
равно числу .
Отсюда можем записать, что длину окружности можно вычислить по формуле .
Вы уже знаете, что диаметр в 2 раза больше радиуса, следовательно, можно
получить ещё одну формулу для вычисления длины окружности: .
–
Тогда получается, чтобы выразить диаметр окружности, а в моём случае — диаметр
велосипедного колеса, – начал Паша, – нужно длину окружности разделить на это
число ?
–
Правильно! – ответил Мудряш.
–
Но разве можно разделить число на букву? – спросил Паша. – Или это загадочное
число имеет
какое-то значение?
–
Давайте немного коснёмся истории, – предложил Мудряш. – Ещё в Древнем Египте
было замечено, что длина окружности примерно в 3 раза больше её диаметра, то
есть древние египтяне считали, что число .
Затем древние учёные установили, что число .
Позднее выяснилось, что –
это достаточно точное, но всё-таки приблизительное значение числа .
Со временем великий древнегреческий учёный Архимед доказал, что число .
Французский математик Франсуа Виет вычислил значение числа с
девятью правильными знаками после запятой ().
А вот уже в 18 веке математики установили, что число относится
к таким числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью
обыкновенных, ни с помощью десятичных дробей, то есть число нельзя
представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической
десятичной дроби. Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью.
Учёные до сих пор проявляют большой интерес к числу .
С появлением современных компьютеров можно вычислить число с
огромной точностью. Так, например, в 1987 году благодаря расчётам на компьютере
братья Чудновские вывели число с
миллионом символов после запятой. В 2009 году учёные из Японии рассчитали на
суперкомпьютере значение числа с
двумя с половиной миллионами знаков после запятой. В этом же году программист
из Франции Фабрис Беллар с помощью компьютера получил 2 699 999 990 000
символов после запятой. Только представьте себе, его расчёты длились 131 день.
–
Ого! – воскликнули ребята. – Это число такое
большущее!
–
Не пугайтесь числа ,
– продолжил Мудряш. – При вычислениях мы чаще всего будем использовать
приближённое значение числа с
точностью до сотых, то есть .
–
Тогда получается, что диаметр моего велосипедного колеса равен 189 разделить на
3,14, – начал считать Паша, – и приближённо равен 60 сантиметрам.
–
Молодец! – похвалил Пашу Мудряш. – Кстати, с помощью нашего интересного числа можно
вычислить ещё и площадь круга. Запомните! Площадь круга радиуса
вычисляется
по формуле: .
Для вывода этой формулы наших математических знаний пока ещё недостаточно. Как
получают эту формулу, вы узнаете в старших классах. Поэтому пока для решения
задач мы будем использовать готовую формулу.
–
А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько
заданий.
Задание
первое: найдите длину окружности, если известно, что: её
радиус равен 24 сантиметрам; её диаметр равен 9,5 дециметра. Число округлите
до сотых.
Решение: мы
знаем, что длина окружности вычисляется по формуле .
Подставим наши значения в формулу. Посчитаем. Получим, что длина окружности приближённо
равна 150,72 сантиметра.
Перейдём
к следующему условию. Нам известен диаметр окружности. Мы знаем, что длину
окружности можно вычислить по формуле .
Подставим наши значения. Посчитаем. И получим, что длина окружности приближённо
равна 29,83 дециметра.
Задание
второе: найдите диаметр колеса велосипеда, если известно, что
на расстоянии 450 метров оно сделало 150 оборотов. Число округлите
до сотых. Результат округлите до сотых метра.
Решение: для
начала вычислим, чему равна длина окружности колеса. Так как на расстоянии 450
метров колесо сделало 150 оборотов, то 1 оборот колеса равен 3 метрам. Полный
оборот колеса – это и есть длина окружности. А теперь вычислим диаметр колеса.
Из формулы длины окружности выразим диаметр .
Подставим наши значения. Получим, что диаметр колеса примерно равен 0,955
метра. В условии задачи сказано, что ответ нужно округлить со сотых. Так как
после округляемого разряда стоит цифра 5, то к разряду сотых добавим 1.
Получим, что диаметр колеса приближённо равен 0,96 метра. Запишем ответ.
Задание
третье: вычислите площадь круга, если его диаметр равен 6
сантиметрам. Число округлите
до сотых.
Решение: мы
знаем, что площадь круга можно вычислить по формуле .
Диаметр круга в 2 раза больше его радиуса. Следовательно, радиус нашего круга
равен 3 сантиметрам. Подставим наши значения в формулу площади круга.
Посчитаем. Получим, что площадь круга приближённо равна 28,26 см2.
И
последнее задание: Сторона квадрата равна 8 сантиметрам. Найдите
площадь закрашенной части круга. Число округлите
до целых.
Решение: по
рисунку видно, что сторона квадрата является диаметром круга. Значит, диаметр
круга равен 8 сантиметрам. Мы знаем, что площадь круга можно вычислить по
формуле .
Так как диаметр круга в 2 раза больше его радиуса, то радиус нашего круга равен
4 сантиметрам. Подставим наши значения в формулу площади круга. Посчитаем.
Получим, что площадь всего круга приближённо равна 48 см2. По
условию задачи нам нужно выяснить, чему равна площадь закрашенной части круга.
Нетрудно заметить, что эта закрашенная часть составляет половину круга. Значит,
площадь закрашенной части круга приближённо равна 24 см2. Не забудем
записать ответ.
Как найти площадь круга видеоурок
Площадь круга. Математика 6 класс.
6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь круга
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.
Цифровая библиотека
Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Например: формулы сокращенного умножения
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?
Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!
Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку
персональных данных
Видеоурок: Длина окружности и площадь круга
Окружность
-
Видеоурок 12. Длина окружности и площадь круга. Геометрия 9 класс
Предыдущий урок
Правильные многоугольники
Окружность
Следующий урок
Начальные сведения из стереометрии. Многогранники
Общие сведения из стереометрии
Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока
Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.
