Как найти площадь описанного четырехугольника формула

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.

Специальные случаи[править | править код]

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными ^[1]. Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется бицентральным^[en].

Свойства[править | править код]

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности^[2].

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным. ^[3][4][2]

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющемся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда ^[2]

или

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта^[en]. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга^[5].

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда ^[6]

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда

,

где R_a, R_b, R_c, R_d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны ^[7].

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки[править | править код]

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь[править | править код]

Нетригонометрические формулы[править | править код]

Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой

,

где p — полупериметр и r — радиус вписанной окружности. Ещё одна формула^[8]

,

дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь ^[1]

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h^[9]

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, ^[10] получаем, что максимальная площадь может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы[править | править код]

Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных сторон ^{[8][11][12][13]}

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае , поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ^[14].

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла^[12]

,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов ^[8]

Есть ещё одна формула^[8]

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства[править | править код]

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным^[en].

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр p описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

,

где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. ^[15] Это означает, что для площади S = pr, выполняется неравенство

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.

Свойства частей четырёхугольника[править | править код]

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентр^[2].

Радиус вписанной окружности[править | править код]

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой ^[8]

,

где S — площадь четырёхугольника, а p — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности ^[16][17].

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то

,

где ^[18].

Формулы для углов[править | править код]

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам^[1]

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой^[1](см. рисунок)

Диагонали[править | править код]

Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равны^[19]

Хорды точек касания[править | править код]

Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны^[1]

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению ^[1]

Две хорды

• перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан ^[20].
• имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидом^[21].

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA^[22].

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных равно отношению отрезков диагонали BD.^[23]

Коллинеарные точки[править | править код]

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M₃ — середина отрезка EF, тогда точки M₃, M₁, O, и M₂ лежат на одной прямой^[24] Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямой^[25]

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если T_M, T_K, T_N, T_L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ_M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T_NT_M и T_KT_L. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, “центроид площади” G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника^[26].

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть H_M, H_K, H_N, H_L являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, H_M, H_K, H_N и H_L лежат на одной прямой.^[12]

Конкурентные и перпендикулярные прямые[править | править код]

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке).^[13] Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.^[12]

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружности^[27].

Свойства вписанной окружности[править | править код]

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих вершин^[12]

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению^[28]

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то^[12]

Центр вписанной окружности O совпадает с “центроидом вершин” четырёхугольника в том и только в том случае, когда^[12]

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то^[12][29]

где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C
и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что “центроид вершин” описанного четырёхугольника совпадает с центром вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым^[30][31] (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса , где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Свойства четырёх внутренних треугольников[править | править код]

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r₁, r₂, r₃ и r₄ означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда^[32]

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном^[33][34].
В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h_M, h_K, h_N и h_L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда ^[6][34]

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r_M, r_K, r_N и r_L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда ^[35]

Если R_M, R_K, R_N и R_L — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда ^[36]

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах^[37]. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник ^[38]. Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника^[39].

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности^[40] (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R_m, R_n, R_k и R_l — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет ^[41]

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда ^[6]

где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p_a и PC = p_c. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p_b и PD = p_d. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:^[42]

или ^[38]

или^[43]

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника[править | править код]

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны^[44].

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда^[20][25]

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон^[45].

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:^[46]

• Площадь равна половине произведения диагоналей
• Диагонали перпендикулярны
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
• Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
• Средние линии имеют одинаковые длины
• Произведения противоположных сторон равны
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

См. также[править | править код]

• Описанная окружность
• Внекасательный четырёхугольник^[en]
• Описанная трапеция^[en]
• Вписанная в треугольник окружность

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.
• Helen. On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly. — 1926. — Т. 33, вып. 9. — JSTOR 2299611.
• Alexander Bogomolny. When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
• C.V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.
• Victor Bryant, John Duncan. Wheels within wheels // Mathematical Gazette. — 2010. — Вып. 94, November.
• Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14.
• Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вып. 7. — doi:10.2307/2589133.
• Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.

Larry Hoehn. A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11.

• John P. Hoyt. Quickies, Q694 // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57, вып. 4.
• John P. Hoyt. Maximizing the Area of a Trapezium // American Mathematical Monthly. — 1986. — Т. 93, вып. 1. — doi:10.2307/2322549.

• Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10.

Martin Josefsson. On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10.

• Martin Josefsson. Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010c. — Т. 10.
• Martin Josefsson. When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11.
• Martin Josefsson. More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11.
• Martin Josefsson. The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11.
• Martin Josefsson. Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.
• Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12.
• Nicusor Minculete. Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9.
• Alexei Myakishev. On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.
• A.W. Siddons, R.T. Hughes. Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.
• И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров. (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6.
• Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вып. 95, March.

Внешние ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Tangential Quadrilateral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	диагональ и угол между ними
2	стороны и углы между этими сторонами
3	стороны (по Формуле Брахмагупты)
4	стороны и радиус вписанной окружности
5	стороны и углы между ними

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab
Параллелограмм
Квадрат		S = a 2
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
	S = m h
Дельтоид		S = ab sin φ
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

[spoiler title=”источники:”]

http://doza.pro/art/math/geometry/area-tetragon

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm

[/spoiler]

Глава
I

1.1.Четырехугольники.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из
четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков
(сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые
четырёхугольники.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

┌─────────────┼────────────┐

     Невыпуклый             
              выпуклый                 самопересекающийся

                         

               ┌─────────────┼─────────────┐

                    

 описанная окружность              трапеция               
       касательный

                  |   ┌───────────┤                                 
|

                  

равнобедренная трапеция       параллелограмм      
  выпуклый ромб  

1.    
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все
противоположные стороны попарно параллельны;

o    Прямоугольник —
четырёхугольник, у которого все углы прямые;

o    Ромб —
четырёхугольник, у которого все стороны равны;

o    Квадрат —
четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

2.    
Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные
стороны параллельны;

3.    
Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных
сторон равны.

4.    
Выпуклый и невыпуклый четырёхугольники.

Четырёхугольник
называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей
через любые две его смежные вершины. В противном случае четырёхугольник
называется невыпуклым. Диагонали выпуклого четырёхугольника лежат внутри него и
пересекаются. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника лежит снаружи, а
другая внутри него, и эти диагонали не пересекаются.

1.2.Площадь
четырехугольников.

Можно
найти площадь четырехугольника по этой формуле по диагоналям.

1.3. Основные
формулы площадей.

Через диагонали и
угол между ними.

Формула для
нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Формула
для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

)

d1, d2 –
диагонали; α – угол между диагоналями

Через
стороны и противолежащие углы.

Формула
для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

p=

p – полупериметр четырехугольника; a,
b, c, d – стороны четырехугольника; α, β –
противолежащие углы.

Площадь описанного четырехугольника около
окружности через радиус

Формула для
нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

S=pr

p – полупериметр четырехугольника; r –
радиус вписанной окружности; a, b, c, d – стороны
четырехугольника.

Формула площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны
   Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²

1. Формула
   площади квадрата по длине диагонали
   Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

1. 
   где S – Площадь квадрата,
   a –
   длина стороны квадрата,
   d –
   длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

где S – Площадь прямоугольника,
a, b – длины сторон прямоугольника.

Формулы
площади параллелограмм

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны
   и высоте
   Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и
   длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h

1. Формула
   площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
   Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон
   умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α

1. Формула
   площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
   Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его
   диагоналей умноженному на синус угла между ними.

1. 
   где S – Площадь параллелограмма,
   a, b –
   длины сторон параллелограмма,
   h –
   длина высоты параллелограмма,
   d₁, d₂ –
   длины диагоналей параллелограмма,
   α –
   угол между сторонами параллелограмма,
   γ –
   угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
   Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины
   опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h

1. Формула
   площади ромба по длине стороны и углу
   Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и
   синуса угла между сторонами ромба.

S = a² · sin α

1. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
   Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

1. 
   где S – Площадь ромба,
   a –
   длина стороны ромба,
   h –
   длина высоты ромба,
   α –
   угол между сторонами ромба,
   d₁, d₂ –
   длины диагоналей.

Формулы трапеции

1. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√(p – a)(p – b)(p – a – c)(p – a – d)
|a – b|

1.  
2. Формула
   площади трапеции по длине основ и высоте 
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на
   высоту 

1. где S
   – Площадь трапеции,
   a, b –
   длины основ трапеции,
   c, d –
   длины боковых сторон трапеции,

p =	a + b + c + d	– полупериметр трапеции

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине
   диагоналей и углу между ними
   Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его
   диагоналей умноженному на синус угла между ними:

1. 
   где S – площадь четырехугольника,
   d₁, d₂ –
   длины диагоналей четырехугольника,
   α –
   угол между диагоналями четырехугольника.
2. Формула площади описанного четырехугольника (по
   длине периметра и радиусу вписанной окружности) 
   Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению
   полупериметра на радиус вписанной окружности

S = p · r

4.

Формула площади четырехугольника по длине
сторон и значению противоположных углов

S = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d) – abcd cos²θ

где S – площадь четырехугольника,
a, b, c, d –
длины сторон четырехугольника,

p =	a + b + c + d	– полупериметр четырехугольника,
2

θ =	α + β	– полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
2

1. Формула площади четырехугольника, вокруг которого
   можно описать окружность

S = √(p – a)(p – b)(p – c)(p – d)