Как найти площадь описанного треугольника через радиус - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности?

Площадь треугольника равна частному от деления произведения сторон треугольника на четыре радиуса описанной около треугольника окружности.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус описанной окружности:

$[S = frac{{abc}}{{4R}}]$

Дано: ∆ ABC,

окружность (O; R) — описанная,

AB=c, BC=a, AC=b.

Доказать:

$[{S_{Delta ABC}} = frac{{abc}}{{4R}}]$

Доказательство:

1) Обозначим ∠A=α.

Площадь треугольника ABC

по двум сторонам и углу между ними

равна

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AC cdot AB cdot sin angle A = frac{1}{2}bcsin alpha .]$

2) По следствию из теоремы синусов,

$[R = frac{a}{{2sin alpha }}.]$

Выразим из этой формулы синус альфа

$[sin alpha = frac{a}{{2R}}]$

и подставим полученное выражение в первую формулу

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}bcsin alpha = frac{1}{2}bc cdot frac{a}{{2R}} = frac{{abc}}{{4R}}.]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности

Описанной около выпуклого многоугольника окружностью называют такую окружность, которая пересекает каждую из вершин рассматриваемого многоугольника.

Если около некоторого многоугольника описана окружность, то данный многоугольник является вписанным в эту окружность. Существует правило, согласно которому в выпуклый многоугольник можно также вписать какую-либо окружность. Для этого требуется, чтобы все серединные перпендикуляры сторонам многоугольника обладали единственной точкой пересечения. Данную точку называют центром вписанной в многоугольник окружности.

Центр окружности, которая описана около многоугольника, расположен на одинаковом расстоянии от всех вершин рассматриваемого многоугольника. При этом отрезок, один конец которого совпадает с центром окружности, а второй — с любой из вершин многоугольника, равен радиусу описанной окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример

Рассмотрим наглядный пример:

Источник: treugolniki.ru

На рисунке изображен многоугольник с пятью углами ABCDE. Около этого пятиугольника описана окружность, центр которой обозначен О, а радиус равен R. Таким образом, ABCDE представляет собой вписанный пятиугольник, а O является точкой, в которой пересекаются серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам ABCD. Запишем следующие соотношения:

(AP = PE,OP bot AE)

(AM = MB,OM bot AB)

(BN = NC,ON bot BC)

(CL = LD,OL bot CD)

(DK = KE,OK bot DE)

Заметим, что точка O находится на одинаковом расстоянии, то есть равноудалена, от каждой из вершин рассматриваемого многоугольника с каким-то периметром:

Источник: treugolniki.ru

Данное расстояние между точкой О и какой-либо вершиной соответствует радиусу описанной окружности:

OA=OB=OC=OD=OE=R

Примечание

Окружность можно описать около любого треугольника. А, к примеру, около выпуклого четырехугольника имеется возможность описать окружность только в том случае, если противолежащие углы данной геометрической фигуры в сумме дают 180°.

Если имеется некий правильный многоугольник, то есть равносторонний, вокруг него можно описать окружность. Также в какой-либо правильный многоугольник представляется возможным вписать окружность. В данном случае центры вписанной и описанной окружности совпадают с центром правильного многоугольника.

Отсутствует стандартная формула, с помощью которой можно определить радиус окружности, описанной около многоугольника. Подобная формула предусмотрена для вычисления радиуса вписанной окружности. Поэтому радиус описанной окружности соответствует радиусу окружности, которая описана около какого-либо из треугольников с вершинами, являющимися вершинами описанного многоугольника.

К примеру, представим, что имеется некий многоугольник ABCDE с пятью углами, около которого описана окружность. Радиус данной окружности равен радиусу окружности, описанной около какого-либо из перечисленных треугольников:

ABC;
ABD;
ABE;
BCD;
BCE;
ACD;
ADE и так далее.

Частные случаи составления формул для расчета радиуса описанной окружности:

правильные многоугольники;
треугольники;
прямоугольники.

Описанная около треугольника окружность — это окружность, на которой расположены все вершины данного треугольника. В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в эту окружность.

Источник: treugolniki.ru

Заметим, что:

(OA=OB=OC=R)

Расстояние, на которое удалена каждая из вершин треугольника от центральной точки описанной окружности, соответствует радиусу данной окружности. Заметим, что окружность допустимо описать около какого-либо треугольника без ограничений. Описанная около треугольника окружность обладает центром, совпадающим с точкой, в котором пересекаются серединные перпендикуляры, проведенные к граням треугольника. Данные отрезки перпендикулярны относительно сторон треугольника и пересекают середины этих сторон.

Источник: treugolniki.ru

Предположим, что имеется некий треугольник с острыми углами. Если описать окружность около такой геометрической фигуры, то центр окружности будет расположен в ее внутреннем пространстве.

Источник: treugolniki.ru

Представим, что имеется некий прямоугольный треугольник. Если описать около такой геометрической фигуры окружность, то ее центр будет расположен на середине гипотенузы.

Источник: treugolniki.ru

Около треугольника с тупым углом также допустимо описать окружность. При этом центр данной окружности окажется вне геометрической фигуры. В данном случае центральная точка окружности расположена напротив тупого угла треугольника, за большей стороной.

Теорема с доказательством

Теорема

Определить площадь треугольника можно путем деления результата от произведения сторон этого треугольника на четыре радиуса окружности, которая описана около данного треугольника.

Источник: treugolniki.ru

Докажем записанную теорему. Для этого представим, что существует некий треугольник АВС. Опишем около данного треугольника окружность (O; R). Обозначим стороны треугольника таким образом:

(AB=c, BC=a, AC=b.)

Нужно представить доказательство того, что:

({S_{Delta ABC}} = frac{{abc}}{{4R}})

Изобразим данные треугольник и окружность для наглядности:

Источник: treugolniki.ru

Ведем обозначение угла А. Пусть:

(angle A= alpha)

Вспомним, что вычислить площадь треугольника можно по двум сторонам и углу между ними, как половину от результата умножения пары сторон треугольника на синус угла, расположенного между ними.

Формула 1

Формула имеет вид:

(S = frac{1}{2}absin alpha)

Источник: treugolniki.ru

Применительно к нашему случаю, получим:

({S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AC cdot AB cdot sin angle A = frac{1}{2}bcsin alpha.)

Далее требуется воспользоваться теоремой синусов, вернее, ее следствием. Заметим, что стороны треугольника относятся к синусу противолежащего угла, как радиус, описанной окружности около данного треугольника, умноженный на два:

(frac{a}{{sin alpha }} = frac{b}{{sin beta }} = frac{c}{{sin gamma }} = 2R)

Тогда:

(R = frac{a}{{2sin alpha }}.)

С помощью данной формулы можно представить расчет синуса угла (alpha):

(sin alpha = frac{a}{{2R}})

При подстановке полученного выражения в начальную формулу имеем:

({S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}bcsin alpha = frac{1}{2}bc cdot frac{a}{{2R}} = frac{{abc}}{{4R}}.)

Теорема доказана.

Примеры задач

Ранее получилось доказать теорему о площади треугольника, вычисляемой с помощью радиуса описанной окружности. Запишем формулу, отражающую смысл этой теоремы:

(S = frac{{abc}}{{4R}})

Используя данную формулу, можно решать задачи по геометрии. Приведем несколько типичных примеров таких заданий.

Задача 1

Дан равнобедренный треугольник с боковыми гранями, равными 50. Основание фигуры составляет 80. Требуется определить радиус, которым обладает описанная около данного треугольника окружность.

Решение

Найдем радиус окружности через площадь треугольника:

(R=frac{abc}{4S})

С помощью формулы Герона рассчитаем площадь:

(S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{90(90-50)^2(90-80)}=900)

В результате:

(R=frac{90cdot 50cdot 50}{4cdot 900}=62,5)

Ответ: 62,5.

Задача 2

Имеется некий треугольник АВС. Одна из его сторон АВ составляет 28. Угол напротив этой стороны С составляет 150 градусов. Требуется определить радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

Решение

Воспользуемся теоремой синусов и запишем:

(frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{28}{sin150^{circ}}=2R)

(frac{28}{frac{1}{2}}=2R)

В результате:

R=28.

Ответ: 28.

Задача 3

Дан некий треугольник АВС. Градусная мера угла С составляет 90 градусов, а стороны равны:

BC=16;

AC=30.

Нужно вычислить, каким радиусом обладает описанная около данного треугольника окружность.

Решение

Заметим, что в условии задачи речь идет о прямоугольном треугольнике. Тогда диаметр описанной около такого треугольника окружности является гипотенузой. Запишем:

(R=frac{AB}{2})

Согласно теореме Пифагора:

(AB=sqrt{BC^2+AC^2}=sqrt{16^2+30^2}=34)

В результате:

(R=frac{AB}{2}=frac{34}{2}=17)

Ответ: 17.

Задача 4

Около некого правильного треугольника описана окружность с радиусом (17sqrt{3}). Нужно вычислить сторону данного треугольника.

Решение

Согласно теореме косинусов:

( frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{AB}{sin60^{circ}}=2cdot 17sqrt{3})

(frac{AB}{frac{sqrt3}{2}}=34sqrt{3})

В таком случае:

AB=51

Ответ: 51.

Задача 5

Имеется некий правильный треугольник, сторона которого равна (7sqrt3). Требуется вычислить радиус окружности, описанной около этой геометрической фигуры.

Решение

Согласно теореме синусов:

(frac{AB}{sinC}=2R)

(frac{7sqrt3}{sin60^{circ}}=2R)

14=2R

В результате:

R=7

Ответ: 7.

Задача 6

Имеется окружность, на которой расположены точки А, В, С. Эти точки образуют три дуги с градусными мерами в соотношении 1:6:11. Нужно вычислить, какую градусную меру имеет самый большой угол треугольника АВС.

Решение

Обозначим дугу АВ за переменную х. В таком случае:

BC=6x

AC=11x

Далее запишем следующее соотношение:

x+6x+11x=360

18x=360

x=20

В результате:

(breve{AC}=20^{circ}cdot 11=220^{circ})

Вспомним, что вписанный угол соответствует ½ дуги, на которую этот угол опирается. В результате:

(angle ABC=frac{220^{circ}}{2}=110^{circ})

Ответ: (110^{circ}.)

Задача 7

Даны треугольник и описанная около него окружность с радиусом 1. Одна из сторон треугольника равна (sqrt2). Требуется определить градусную меру острого угла треугольника, который расположен напротив этой стороны.

Решение

Согласно теореме синусов:

(frac{a}{sin alpha}=2R)

(frac{sqrt2}{sin alpha}=2cdot 1)

(sinalpha=frac{sqrt2}{2})

(alpha=45^{circ})

Согласно условию задачи, (alpha) является острым углом.

Ответ: (45^{circ}).

Задача 8

Углы некого четырехугольника составляют (56^{circ}) и (99^{circ}). Эта фигура вписана в окружность. Требуется определить самый большой из неизвестных углов.

Решение

Исходя из условия задачи, сделаем вывод о том, что данные углы не противоположны друг другу. В противном случае, эти углы в сумме составляли бы (180^{circ}).

При (angle A=99^{circ}), то (angle C=180^{circ}-99^{circ}=81^{circ})

При (angle B=56^{circ}), то ( angle D=180^{circ}-56^{circ}=124^{circ})

Тогда угол D является самым большим.

Ответ: (124^{circ}.)

Задача 9

Имеется четырехугольник ABCD. Вокруг него описана окружность. Градусная мера угла АВС составляет (38^{circ}), а угла CAD равна —(38^{circ}). Нужно определить угол ABD в градусах.

Решение

По условию задачи:

(angle ABC=38^{circ})

В результате, дуга ADC составит (76^{circ}.)

Также в условии дано:

(angle CAD=33^{circ})

Тогда дуга DC равна (66^{circ}.)

В итоге получим:

(breve{AD}=breve{ADC}-breve{DC}=76^{circ}-66^{circ}=10^{circ})

Таким образом:

(angle ABD=5^{circ})

Ответ: 5.

Задача 10

Имеется квадрат, около которого описана окружность с радиусом (45sqrt2). Требуется вычислить сторону квадрата.

Решение

Диаметр окружности равен диагонали BD квадрата, около которого она описана. Обозначим сторону квадрата за х. Используем теорему Пифагора и запишем:

(x^2+x^2=(90sqrt2)^2)

(2x^2=90^2cdot 2)

(x^2=90^2)

(x=90)

Ответ: 90.

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона
Через основание и высоту
Через две стороны и угол
Через сторону и два прилежащих угла
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

– полупериметр треугольника; a,b,c – стороны треугольника.

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a – основание треугольника; h – высота треугольника.

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b – стороны треугольника; α – угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a– сторона треугольника; α и β – прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b – катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b – стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a – основание равнобедренного треугольника; α – угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a – сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h – высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r – радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r – радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c – стороны треугольника; r – радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p – полупериметр треугольника;a, b, c – стороны треугольника; r – радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника – равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.

Калькулятор площади треугольника
Площадь треугольника
1. через основание и высоту
2. через две стороны и угол между ними
3. через сторону и два прилежащих угла
4. через радиус описанной окружности и 3 стороны
5. через радиус вписанной окружности и 3 стороны
6. по формуле Герона
Площадь прямоугольного треугольника
1. через катеты
2. через гипотенузу и прилежащий угол
3. через катет и прилежащий угол
4. через радиус вписанной окружности и гипотенузу
5. через вписанную окружность
6. по формуле Герона
7. через катет и гипотенузу
Площадь равнобедренного треугольника
1. через основание и сторону
2. через основание, боковую сторону и угол
3. через основание и высоту
4. через боковые стороны и угол между ними
5. через основание и угол между боковыми сторонами
Площадь равностороннего треугольника
1. через сторону
2. через высоту
3. через радиус описанной окружности
4. через радиус вписанной окружности
Примеры задач

Площадь треугольника

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

a – длина основания

h – высота, проведенная к основанию

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}

a и b – стороны треугольника

α – угол между сторонами a и b

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 – (alpha + beta)}

a – сторона треугольника

α и β – прилежащие к стороне a углы

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}

a, b и c – стороны треугольника

R – радиус описанной окружности

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

r – радиус вписанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).

Площадь прямоугольного треугольника через катеты

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}

a и b – стороны треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

α – прилежащий к гипотенузе c угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}

a – катет прямоугольного треугольника

α – прилежащий к катету a угол

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S = r cdot (r+c)}

r – радиус вписанной окружности

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S = c_1 cdot c_2}

с₁ и с₂ – отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c – стороны треугольника

p – полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2}}

a – катет прямоугольного треугольника

c – гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}

a – боковая сторона равнобедренного треугольника

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между основанием и боковой стороной

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}

b – основание равнобедренного треугольника

h – высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}

a – боковые стороны равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}

b – основание равнобедренного треугольника

α – угол между боковыми сторонами

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}

a – сторона равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}

h – высота равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}

R – радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}

r – радиус описанной окружности

Примеры задач на нахождение площади треугольника

Задача 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}

Для начала нам необходимо найти полупериметр p:

p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21

Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2

Ответ: 84 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.

Решение

Воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 – 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 – 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2

Ответ: 1344 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 – a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 – 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 – 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.

Решение

В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 – 4^2} = sqrt{4 cdot 49 – 16} = sqrt{196 – 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2

Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.

Решение

Решим эту задачу по анологии с предыдущей.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 – b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 – 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 – 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2

Ответ: 120 см²

Проверка .

Задача 7

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.

Решение

Используем для решения задачи формулу.

S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Проверка .

Источник

Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус описанной окружности?

Формула для нахождения площади треугольника через радиус описанной окружности:

окружность (O; R) — описанная,

Выразим из этой формулы синус альфа

и подставим полученное выражение в первую формулу

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Как найти площадь треугольника

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

http://mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

[/spoiler]

Источник