Как найти площадь основания четырехугольного параллелепипеда

Как найти площадь основания четырехугольного параллелепипеда

Как найти площадь основания параллелепипеда

Основанием параллелепипеда всегда является параллелограмм. Для того чтобы найти площадь основания, вычислите площадь этого параллелограмма. Как частный случай, это может быть прямоугольник или квадрат. Также можно найти площадь основания параллелепипеда, зная его объем и высоту.

Как найти площадь основания параллелепипеда

Вам понадобится

  • Линейка, транспортир, инженерный калькулятор

Инструкция

В общем случае основание параллелепипеда представляет собой параллелограмм. Чтобы найти его площадь, с помощью линейки произведите измерение длин его сторон, а транспортиром измерьте угол между ними. Площадь основания параллелепипеда будет равна произведению этих сторон на синус угла между ними S=a • b • Sin(α).

Чтобы определить площадь основания параллелепипеда другим способом, измерьте одну из сторон основания, затем опустите на нее высоту из вершины, которая лежит напротив этой стороны. Измерьте длину этой высоты. Для получения площади основания найдите площадь параллелограмма, умножив длину стороны на высоту, которая на нее опущена S=a • h.

Для получения значения площади другим способом измерьте длины его диагоналей (расстояния между противоположными вершинами), и угол между диагоналями. Площадь будет равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними S=0,5•d1•d2•Sin(β).

Для параллелепипеда, в основании которого лежит ромб, достаточно измерить длины его диагоналей и найти половину их произведения S=0,5 • d1 • d2.

В том случае, когда основание параллелепипеда представляет собой прямоугольник, измерьте длину и ширину этой геометрической фигуры, затем перемножьте эти значения S=a • b. Это и будет площадь его основания. В том случае, когда основание – квадрат, измерьте одну его сторон и возведите во вторую степень S=a².

Если известен объем параллелепипеда, измерьте его высоту. Для этого опустите перпендикуляр из любой вершины верхнего основания на плоскость, к которой принадлежит нижнее основание. Измерьте длину этого отрезка, являющегося высотой параллелепипеда. Если параллелепипед прямой (его боковые ребра перпендикулярны основаниям), достаточно измерить длину одного из этих ребер, которое равно высоте параллелепипеда. Для получения площади основания, объем параллелепипеда поделите на его высоту S=V/h.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Как найти площадь поверхности параллелепипеда

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности параллелепипеда онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Через стороны

Площадь поверхности параллелепипеда

a:

b:

c:

Результат

Ответы: 

Формула площади поверхности параллелепипеда через его ребра:

a, b, c – ребра параллелепипеда.

Источник

Площадь поверхности параллелепипеда

Содержание:

  • Что такое площадь поверхности параллелепипеда
  • Формула нахождения полной площади
  • Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
  • Примеры решения задач

Что такое площадь поверхности параллелепипеда

Определение

Параллелепипед — четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Частный случай этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

В общем случае площадь — это численное значение, характеризующее размер двумерной геометрической фигуры.

Параллелепипед может существовать только в трех измерениях, поэтому для него вводится понятие площади поверхности. В геометрическом смысле площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формула нахождения полной площади

В задачах чаще всего имеется дело с прямоугольным параллелепипедом. Для него полная площадь поверхности вычисляется следующим образом:

(S=2cdot(acdot b+acdot c+bcdot c))

где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.

Рассмотрим то, как данная формула выводится. Как уже упоминалось выше, площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней. Для наглядности возьмем параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Параллелепипед

Рисунок 1

Полная площадь его поверхности равняется сумме площадей всех граней: (S_{пар}=S_{AA_1D_1D}+S_{DD_1C_1C}+S_{CC_1B_1B}+S_{BB_1A_1A}+S_{ABCD}+S_{A_1B_1C_1D_1})

Согласно свойствам параллелепипеда, его противоположные грани равны между собой. Следовательно, нет необходимости вычислять площадь всех шести граней, можно ограничиться тремя, а затем их сумму умножить на 2:

(S_{пар}=2cdotleft(S_{AA_1D_1D}+S_{BB_1A_1A}+S_{ABCD}right))

Грани прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Площадь данной фигуры равняется произведению ее сторон:

(S_▭=acdot b)

У выбранных нами для расчета площади граней есть три общие стороны: AB, AD и AA1. Для удобства обозначим их как a, b и c соответственно.

Параллелепипед 2

Рисунок 2

Таким образом:

 (S_{ABCD}=acdot b)

(S_{AA_1D_1D}=acdot c)

(S_{BB_1A_1A}=bcdot c)

Подставим данные значения в обозначенную выше формулу площади параллелепипеда:

(S_{пар}=2cdotleft(acdot b+acdot c+bcdot cright))

Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Кроме полной площади поверхности, в расчетах иногда необходимо вычислить площадь боковой поверхности, то есть совокупность площадей боковых граней, без учета оснований.

Для этого есть три взаимосвязанные формулы:

  1. (S_{бок}=P_{осн}cdot h,) где (P_{осн}) — периметр основания параллелепипеда; h — высота. На рисунке выше она равняется стороне, обозначенной как c.
  2. (S_{бок}=2cdot acdot c+2cdot bcdot c), где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
  3. (S_{бок}=2cdot ccdot(a+b).)

Примеры решения задач

Задача

Вычислить полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Диагональ

Рисунок 3

Дано: AB = 3, A1B = 6, AD = 5.

Решение

Для расчета полной площади необходимо знать длины трех сторон. В данном случае нам понадобится вычислить длину стороны AA1. Так как длина диагонали A1B известна, сделать это нетрудно.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

(A_1B=sqrt{{AA_1}^2+{AB}^2})

Соответственно, ({AA_1}=sqrt{{A_1B}^2-{AB}^2}=sqrt{6^2-3^2}=sqrt{36-9}=sqrt{25}=5)

Подставим известные значения в формулу расчета площади поверхности:

(S=2cdot(acdot b+acdot c+bcdot c))

(S=2cdot(ABcdot AD+ABcdot AA_1+ADcdot AA_1)=2cdot(3cdot5+3cdot5+5cdot5)=2cdot(15+15+25)=2cdot55=110)

Ответ: S=110.

Задача 2

Вычислить длину стороны прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.

Задача 2

Рисунок 4

Дано: Sпов=96, Sбок=60, b=6.

Решение

Так как нам известна одна из сторон основания — b а в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, найти вторую сторону проще всего будет через площадь этого основания:

(S=acdot b)

Отличие площади боковой поверхности от полной в том, что в ней не учитываются нижняя и верхняя грани фигуры. Следовательно, их разность будет равняться двум площадям основания. Вычислим это значение:

(S_{пов}-S_{бок}=2cdot acdot b+2cdot acdot c+2cdot bcdot c-2cdot acdot c-2cdot bcdot c=2cdot acdot b)

Преобразуем выражение так, чтобы вычислить длину неизвестной стороны:

(2cdot acdot b=S_{пов}-S_{бок})

(a=frac{S_{пов}-S_{бок}}{2cdot b}=frac{96-60}{2cdot6}=frac{36}{12}=3)

Ответ: a=3.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.00 (Голосов: 7)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 мая 2022 года; проверки требуют 4 правки.

Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.

Типы параллелепипеда[править | править код]

Прямоугольный параллелепипед

Различается несколько типов параллелепипедов:

  • Наклонный — боковые грани не перпендикулярны основанию.
  • Прямой — боковые грани перпендикулярны основанию.
  • Прямоугольный — все грани являются прямоугольниками.
  • Ромбоэдр — все грани являются равными ромбами.
  • Куб — все грани являются квадратами.

Основные элементы[править | править код]

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства[править | править код]

  • Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
  • Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  • Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
  • Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы[править | править код]

Прямой параллелепипед[править | править код]

Площадь боковой поверхности
Sб=Ро*h, где Ро — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности
Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания

Объём
V=Sо*h

Прямоугольный параллелепипед[править | править код]

Площадь боковой поверхности
Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности
Sп=2(ab+bc+ac)

Объём
V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб[править | править код]

Площадь поверхности: S=6a^{2}

Объём: V=a^{3}, где a — ребро куба.

Произвольный параллелепипед[править | править код]

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения[2]:215.

В математическом анализе[править | править код]

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом B понимают множество точек x=(x_{1},ldots ,x_{n}) вида B={x|a_{1}leqslant x_{1}leqslant b_{1},ldots ,a_{n}leqslant x_{n}leqslant b_{n}}

Сечение параллелепипеда плоскостью[править | править код]

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «παραλληλεπίπεδον»
  2. ↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Ссылки[править | править код]

  • Прямоугольный параллелепипед Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine
Источник

Представление о том, что такое прямоугольный параллелепипед, все имеют еще с детства, когда играли в кубики, держали в руках такие предметы, как коробка из-под сока или из- под конфет, видели аквариум такой формы. В жизни мы постоянно сталкиваемся с предметами, которые представляют собой прямоугольный параллелепипед (рисунок 1).

Рисунок 1

Определение

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью. Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.

Так, на рисунке 2 показан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH. Он имеет 6 граней, основаниями являются грани ABCD и EFGH.

У параллелепипеда есть вершины, их 8. Они обозначены заглавными латинскими буквами. Также у прямоугольного параллелепипеда есть 12 ребер – это стороны граней: AB, BC, CD, AD, EF, FG, HG, EH, AE, BF, CG, HD.

Рисунок 2

Противоположные (не имеющие общих вершин) грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Длина, ширина, высота

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину (а), ширину (b) и высоту (c) – рисунок 3. Зная эти измерения, можно найти не только площадь каждой грани, но и площадь всей поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Рисунок 3

Так как каждая грань параллелепипеда – это прямоугольник, то для нахождения площади любой грани надо умножить длину и ширину этих граней, т.е S=ab, S=bc, S=ac.

Для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда надо сложить площади всех граней, то есть S поверхности = ab+bc+ac+ab+bc+ac. Так как противоположные грани равны, то их площади тоже равны, значит S поверхности = 2ab+2bc+2ac. Это действие можно записать короче, вынося 2 за скобки, как общий множитель, то есть S поверхности = 2(ab+bc+ac). Таким образом, нахождение площади поверхности становится более быстрым.

Куб

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется кубом. Поверхность куба состоит из шести равных квадратов (рисунок 4).

Рисунок 4

Для нахождения площади одной грани достаточно найти площадь квадрата по формуле S=a2. Тогда для нахождения площади поверхности куба надо эту площадь умножить на 6, так как шесть равных граней у куба: S=6a2

Объем прямоугольного параллелепипеда

Рисунок 5

С понятием объема люди встречаются в повседневной жизни ежедневно. Мы наливаем воду в чайник, в ванну, другие жидкости в разные ёмкости – это всё измеряется в определенных единицах и является объемом. Наши шкафы, холодильники и другие подобные предметы – имеют объемы, так как мы их заполняем определенными вещами. На рисунке 5 показаны предметы, которые мы используем и которые имеют определенный объем.

Рассмотрим объемные геометрические фигуры. Так, например, прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим рисунок 6, где показано, что параллелепипед состоит из нескольких одинаковых кубиков. Значит, объем данного параллелепипеда равен сумме объемов его кубиков.

Рисунок 6

 

За единицу измерения объема выбирают куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным.

Объем куба с ребром 1 мм называют кубическим миллиметром и записывают 1 мм3; с ребром 1 см – кубическим сантиметром (см3) и так далее. Измерить объем фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается. Если объем маленького кубика на рисунке 3 принять за единицу, то объем нашего прямоугольного параллелепипеда будет равен 15 кубическим единицам.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо перемножить три его измерения – длину, ширину и высоту. То есть V=abc (рисунок 4). Зная, что произведение длины и ширины – это есть площадь основания, получим, что V=(ab)h=Sh, где h – высота прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, мы получили еще одну формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Рисунок 7

Объем куба

Поскольку у куба все ребра равны (рисунок 7), то его объем вычисляется по формуле:

V=a3

Рисунок 8

Пирамида

Рисунок 9

Прямоугольный параллелепипед является одним из видов многогранников. Также одним из видов многогранника является пирамида, образ которой также известен нам из жизни – из истории и других источников (рисунок 9).

Поверхность пирамиды состоит из боковых граней – треугольников, которые имеют общую вершину, а в её основании могут быть различные многоугольники – треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (рисунок 10).

Рисунок 10

Таким образом, пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания (треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т.д.). Если пирамида треугольная (рисунок 11), то её основанием может служить любая грань.

Рисунок 11

Даниил Романович | Просмотров: 969

Источник

Добавить комментарий