Зная площадь основания конуса, можно рассчитать радиус, диаметр и периметр основания конуса, преобразовав стандартные формулы.
r=√(S_(осн.)/π)
d=2√(S_(осн.)/π)
P=2πr=2√(πS_(осн.) )
Высота, образующая и радиус конуса соединяются в прямоугольный треугольник, из которого по теореме Пифагора можно найти любое значение, зная остальные два. Угол наклона конуса можно найти из этого же треугольника через отношение тангенса, а уже через него во втором, равнобедренном треугольнике вычислить угол раствора конуса. (рис.40.1,40.2)
l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+S_(осн.)/π)
tanβ=h/r
α=180°-2β
Вычислить площадь боковой поверхности конуса через площадь основания и высоту можно, заменив радиус и образующую конуса в формуле на соответствующие выражения. Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, следует поступить аналогично.
S_(б.п.)=πrl=√(πS_(осн.) (h^2+S_(осн.)/π) )
S_(п.п.)=S_(осн.)+√(πS_(осн.) (h^2+S_(осн.)/π) )
Объем конуса в стандартном виде представляет собой отношение произведения высоты и площади основания к трем, поэтому его можно вычислить сразу через площадь основания и высоту, заданные в условии.
V=1/3 hS_(осн.)
Чтобы найти радиус сферы, вписанной в конус, нужно умножить высоту на выражение, найденное для радиуса, и разделить это на сумму образующей и радиуса. Радиус сферы, описанной около конуса, будет равен образующей во второй степени, деленной на удвоенную высоту. (рис. 40.3, 40.4)
r_1=hr/(l+r)=(h√(S_(осн.)/π))/(√(h^2+S_(осн.)/π)+√(S_(осн.)/π))
R=(h^2+r^2)/2h=(h^2+S_(осн.)/π)/2h
Как найти площадь основания конуса
Площадью основания конуса является круг. Для нахождения его площади надо знать радиус окружности, содержащей этот круг, либо какие-нибудь другие данные, расчеты которых математически связаны с площадью основания конуса.
Инструкция
Площадь круга с радиусом R находится по формуле S=πR^2. Эту формулу можно сразу использовать, если известен радиус.
Объем конуса имеет формулу V=1/3*S*h, где S – площадь основания конуса (площадь круга, на котором “стоит” конус), h – высота конуса. Если в задаче известен объем конуса V и его высота h, площадь основания конуса легко найти как S=3V/h.
В задачах с конусом полезно помнить формулу площади боковой поверхности конуса S’=πRL, где L – образующая конуса (отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой, лежащей на окружности основания конуса). Могут быть даны какие-либо соотношения между осью конуса и радиусом основания, образующей конуса и радиусом, образующей конуса и осью. Необходимо использовать эти данные в решении задачи, используя тот факт, что ось конуса перпендикулярна основанию конуса.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Формула вычисления площади конуса
1. Боковая поверхность
Площадь (S) боковой поверхности конуса равняется произведению числа π на радиус основания и на длину образующей.
Образующая ( l ) соединяет вершину конуса и границу основания, другими словами, точку на окружности.
Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.
2. Основание
Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется так:
Учитывая то, что диаметр круга равняется двум его радиусам ( d = 2R ), данную формулу можно представить в виде:
3. Полная площадь
Для вычисления суммарной площади конуса следует сложить площади боковой поверхности и основания:
Примеры задач
Задание 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.
Решение:
Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см 2 .
Задание 2
Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):
l 2 = (4 см) 2 + (3 см) 2 = 25 см 2 .
l = 5 см.
Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см) = 75,36 см 2 .
Радиус и образующая конуса
Свойства
Поскольку радиус конуса характеризует размер его основания, то зная его, можно найти диаметр, длину окружности и площадь круга, лежащего в основании. Диаметр представляет собой удвоенный радиус, длина окружности – удвоенный радиус, умноженный на число π, а площадь круга – квадрат радиуса, умноженный на число π. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2
Зная радиус и образующую конуса, можно уже найти его высоту, угол между образующей и основанием, угол раствора конуса. Высота конуса через радиус и образующую ищется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, оттуда же можно вычислить и угол β через тригонометрические отношения сторон. Угол α можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя образующими и диаметром, отняв из 180 градусов два угла β. (рис.40.1, 40.2) h=√(l^2-r^2 ) cosβ=r/l α=180°-2β
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую или произведению числа π на радиус и образующую. Чтобы найти площадь полной поверхности, зная радиус и образующую конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности произведение числа π на квадрат радиуса, что является площадью основания конуса. S_(б.п.)=πrl S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)
Объем конуса, также как и объем пирамиды рассчитывается как одна треть основания, умноженная на высоту. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3
Радиус сферы, вписанной в конус, вычисляется как произведение высоты на радиус конуса, деленное на сумму радиуса и образующей. Радиус сферы, описанной вокруг конуса, представляет собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2 ))/(l+r) R=l^2/2h
Формулы конуса
Для расчёта всех основных параметров конуса воспользуйтесь калькулятором.
Прямой конус – это конус, у которого ось перпендикулярна основанию. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой
Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса.
Длина образующей, L
Площадь основания, SО
Площадь боковой поверхности, SБ
Общая площадь поверхности, S
$$ S = pi * R * L + pi * R^2 = S_О + S_Б $$
[spoiler title=”источники:”]
http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/cone/radius_and_forming
http://calc-online24.ru/formula/conys
[/spoiler]
Площадь поверхности конуса
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Площадь поверхности конуса
Для того чтобы посчитать площадь поверхности конуса, просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Площадь боковой поверхности конуса
=
=
Sб.пов =
0
Округление числа π: Округление ответа:
Площадь полной поверхности конуса
=
=
Sп.пов =
0
Округление числа π: Округление ответа:
Просто введите данные, и получите ответ.
Теория
Площадь боковой поверхности конуса через образующую
Чему равна площадь боковой поверхности конуса Sб.пов, если образующая l, а радиус основания r:
Формула
Sб.пов = π ⋅ r ⋅ l
через диаметр:
Sб.пов = π ⋅ l ⋅ d⁄2
Пример
Для примера посчитаем чему равна площадь боковой поверхности конуса, образующая которого l = 6 см, а радиус основания r = 3 см:
Sб.пов ≈ 3.14 ⋅ 6 ⋅ 3 ≈ 56.52 см²
Площадь боковой поверхности конуса через высоту
Чему равна площадь боковой поверхности конуса Sб.пов, если высота h, а радиус основания r:
Формула
Sб.пов = π ⋅ r ⋅ √r² + h²
через диаметр:
Sб.пов = π ⋅ d⁄2 ⋅ √(d/2)² + h²
Пример
Для примера посчитаем чему равна площадь боковой поверхности конуса, высота у которого h = 5 см, а радиус основания r = 2 см:
Sб.пов ≈ 3.14 ⋅ 2 ⋅ √2² + 5² ≈ 6.28 ⋅ √29 ≈ 33.82 см²
Площадь полной поверхности конуса через образующую
Чему равна площадь полной поверхности конуса Sп.пов, если образующая l, а радиус основания r:
Формула
Sп.пов = π ⋅ r ⋅ (r + l)
через диаметр:
Sп.пов = π ⋅ d⁄2 ⋅ (d⁄2 + l)
Пример
Для примера посчитаем чему равна площадь полной поверхности конуса, образующая которого l = 6 см, а радиус основания r = 3 см:
Sп.пов ≈ 3.14 ⋅ 3 ⋅ (3 + 6) ≈ 84.78 см²
Площадь полной поверхности конуса через высоту
Чему равна площадь полной поверхности конуса Sп.пов, если высота h, а радиус основания r:
Формула
Sп.пов = π ⋅ r ⋅ (r + √r² + h²)
через диаметр:
Sп.пов = π ⋅ d⁄2 ⋅ (d⁄2 + √(d/2)² + h²)
Пример
Для примера посчитаем чему равна площадь полной поверхности конуса, высота у которого h = 5 см, а радиус основания r = 2 см:
Sп.пов ≈ 3.14 ⋅ 2 ⋅ (2 + √2² + 5²) ≈ 6.28 ⋅ (2 + √29) ≈ 46.38 см²
См. также
Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.
Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.
Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
L = √H2 + R2
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Sбок.пов = πRL
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Sосн = πR2
Формула площади конуса
Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:
S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2
Формула объема конуса
Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:
V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR2H
