Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.
Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.
Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
L = √H2 + R2
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Sбок.пов = πRL
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Sосн = πR2
Формула площади конуса
Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:
S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2
Формула объема конуса
Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:
V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR2H
Как найти площадь основания конуса
Площадью основания конуса является круг. Для нахождения его площади надо знать радиус окружности, содержащей этот круг, либо какие-нибудь другие данные, расчеты которых математически связаны с площадью основания конуса.
Площадь круга с радиусом R находится по формуле S=πR^2. Эту формулу можно сразу использовать, если известен радиус.
Объем конуса имеет формулу V=1/3*S*h, где S – площадь основания конуса (площадь круга, на котором “стоит” конус), h – высота конуса. Если в задаче известен объем конуса V и его высота h, площадь основания конуса легко найти как S=3V/h.
В задачах с конусом полезно помнить формулу площади боковой поверхности конуса S’=πRL, где L – образующая конуса (отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой, лежащей на окружности основания конуса). Могут быть даны какие-либо соотношения между осью конуса и радиусом основания, образующей конуса и радиусом, образующей конуса и осью. Необходимо использовать эти данные в решении задачи, используя тот факт, что ось конуса перпендикулярна основанию конуса.
Конус — это совокупность всех лучей, которые исходят из какой-либо точки пространства и пересекают плоскую поверхность.
Онлайн-калькулятор площади поверхности конуса
Точка, которая является началом этих лучей, называется вершиной конуса. В случае когда в основании конуса лежит многоугольник, конус превращается в пирамиду.
Конус состоит из некоторых элементов, знать которые необходимо для решения задач.
Образующая — отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности круга, который является основанием, и вершину конуса.
Высота — расстояние от плоскости основания до точки вершины конуса.
Виды конуса
Конус может быть нескольких видов:
Прямым, если его основанием является эллипс или круг. Причем вершина должна точно проектироваться в центр основания.
Косым — это тот случай, когда центр фигуры, лежащей в основании, не совпадает с проекцией вершины на это основание.
Круговым — соответственно, если основание — круг.
Усеченным — область конуса, которая будет лежать между основанием и сечением плоскости, параллельной основанию и пересекающей этот конус.
Формула площади поверхности конуса
Для нахождения полной площади поверхности конуса нужно найти сумму площади основания (или оснований, если конус усеченный) конуса и площади его боковой поверхности:
S=Sосн+SбокS=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}
SоснS_{text{осн}} — площадь основания (оснований) конуса;
SбокS_{text{бок}} — площадь боковой поверхности конуса.
Рассмотрим примеры нахождения площади поверхности обычного прямого кругового конуса, а также усеченного этого же конуса.
Формула площади поверхности кругового конуса
Sосн=π⋅r2S_{text{осн}}=picdot r^2
Sбок=π⋅r⋅lS_{text{бок}}=picdot rcdot l
rr — радиус круга (основания) кругового конуса;
ll — длина образующей этого конуса.
Найти площадь поверхности кругового конуса, если радиус основания равен 3 (см.), а высота hh треугольника, путем вращения которого образовался данный конус, равна 4 (см.)
Решение
r=3r=3
h=4h=4
Образующую можно найти, если рассмотреть треугольник, катетами которого являются радиус и высота, а гипотенузой – сама образующая ll. По теореме Пифагора имеем:
l2=r2+h2l^2=r^2+h^2
l2=32+42l^2=3^2+4^2
l2=25l^2=25
l=5l=5
Вычислим площадь основания конуса:
Sосн=π⋅r2=π⋅32≈28.26S_{text{осн}}=picdot r^2=picdot 3^2approx28.26 (см. кв.)
Площадь боковой поверхности:
Sбок=π⋅r⋅l=π⋅3⋅5≈47.10S_{text{бок}}=picdot rcdot l=picdot 3cdot 5approx47.10 (см. кв.)
Полная площадь
S=Sосн+Sбок≈28.26+47.10=75.36S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}approx28.26+47.10=75.36 (см. кв.)
Ответ: 75.36 см. кв.
Формула площади поверхности усеченного кругового конуса
Для усеченного кругового конуса площадь боковой поверхности можно найти по формуле:
Sбок=π⋅l⋅(r+r′)S_{text{бок}}=picdot lcdot (r+r’)
ll — длина образующей конуса;
rr — радиус основания;
r′r’ — радиус круга, получаемый при усечении кругового конуса.
Условие возьмем из предыдущей задачи, добавив к нему только лишь радиус второго основания r′r’. Пусть он будет равен 2 (см.). Требуется вычислить полную площадь поверхности этого усеченного конуса.
Решение
l=5l=5
r=3r=3
r′=2r’=2
Оснований у нас теперь два, поэтому полная площадь оснований будет равна сумме площадей этих оснований с радиусами rr и r′r’:
Sосн=Sосн r+Sосн r’S_{text{осн}}=S_{text{осн r}}+S_{text{осн r’}}
Площадь основания радиуса rr:
Sосн r=π⋅r2=π⋅32≈28.26S_{text{осн r}}=picdot r^2=picdot 3^2approx28.26 (см. кв.)
Площадь основания радиуса r′r’:
Sосн r’=π⋅r′2=π⋅22≈12.56S_{text{осн r’}}=picdot r’^2=picdot 2^2approx12.56 (см. кв.)
Площадь боковой поверхности:
Sбок=π⋅l⋅(r+r′)=π⋅5⋅(3+2)≈78.50S_{text{бок}}=picdot lcdot (r+r’)=picdot 5cdot (3+2)approx78.50 (см. кв.)
Полная площадь:
S=Sосн+Sбок=Sосн r+Sосн r’+Sбок≈28.26+12.56+78.50=119,32S=S_{text{осн}}+S_{text{бок}}=S_{text{осн r}}+S_{text{осн r’}}+S_{text{бок}}approx28.26+12.56+78.50=119,32 (см. кв.)
Ответ: 119,32 см. кв.
Не знаете, как решить задачу по геометрии? Наши эксперты оперативно помогут вам с решением!
Тест по теме «Площадь поверхности конуса»
Площадь поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности конуса и площади основания (круга).
|
Рис. (1). Конус |
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: где (R) — радиус конуса, (l) — образующая конуса. Площадь основания конуса вычисляется по формуле S(круга) = Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле S(полн.) =S(бок.) +S(круга) =πRl+πR2. Объём конуса вычисляют по формуле V = 13⋅H⋅ S(круга) = πR2⋅H3 |
Площадью боковой поверхности конуса является площадь её развёртки.
Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.
|
Рис. (2). Развёртка конуса |
α
— градусная мера центрального угла. Радиус этого сектора — образующая конуса (AK = KB = l)
|
Источники:
Рис. 1. Конус. © Якласс
Рис. 2. Развёртка конуса. © Якласс
Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар
Тела вращения, изучаемые в школе, – это цилиндр, конус и шар.
Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.
Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.
Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.
Например, такой важный факт:
Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем – в 8 раз.
(ведь 
, 
).
Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.
1. Объем конуса равен 
. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Очевидно, что объем меньшего конуса в 
раз меньше объема большого и равен двум.
Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.
Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.
2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в 
раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в 
раза больше.
Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.
Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или 
у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться! Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».
А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
