Так как площадь основания конуса зависит только от радиуса, следовательно, зная ее, можно сразу вычислить радиус конуса и диаметр и периметр основания.
r=√(S_(осн.)/π)
d=2√(S_(осн.)/π)
P=2πr=2√(πS_(осн.) )
Если построить прямоугольный треугольник, соединяющий образующую конуса с высотой через радиус, то, зная образующую и радиус, можно вычислить высоту по теореме Пифагора, а также угол наклона конуса между образующей и основанием. Далее, через равнобедренный треугольник с образующими и диаметром, можно найти угол раствора конуса, как разность двух углов наклона от 180 градусов. (рис.40.1,40.2)
h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-S_(осн.)/π)
cosβ=r/l
α=180°-2β
Чтобы найти площадь боковой поверхности понадобится радиус и образующая конуса, а если затем прибавить к полученному выражению данную по условию площадь основания, то получится площадь полной поверхности конуса.
S_(б.п.)=πrl=l√(πS_(осн.) )
S_(п.п.)=S_(осн.)+l√(πS_(осн.) )
Объем конуса рассчитывается через площадь основания и высоту, заменив высоту на квадратный корень из квадрата образующей за вычетом площади основания, деленной на число π, получим формулу объема через площадь основания и образующую.
V=1/3 hS_(осн.)=S_(осн.)/3 √(l^2-S_(осн.)/π)
Вычислить радиусы сфер вписанной и описанной около конуса через площадь основания и образующую, можно используя нижеприведенные формулы. (рис. 40.3, 40.4)
r_1=hr/(l+r)=√((l^2-S_(осн.)/π)(S_(осн.)/π) )/(l+√(S_(осн.)/π))
R=l^2/2h=l^2/(2√(l^2-S_(осн.)/π))
Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.
Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.
Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
L = √H2 + R2
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Sбок.пов = πRL
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Sосн = πR2
Формула площади конуса
Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:
S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2
Формула объема конуса
Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:
V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR2H
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Формула вычисления площади конуса
1. Боковая поверхность
Площадь (S) боковой поверхности конуса равняется произведению числа π на радиус основания и на длину образующей.
Образующая ( l ) соединяет вершину конуса и границу основания, другими словами, точку на окружности.
Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.
2. Основание
Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется так:
Учитывая то, что диаметр круга равняется двум его радиусам ( d = 2R ), данную формулу можно представить в виде:
3. Полная площадь
Для вычисления суммарной площади конуса следует сложить площади боковой поверхности и основания:
Примеры задач
Задание 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.
Решение:
Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см 2 .
Задание 2
Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):
l 2 = (4 см) 2 + (3 см) 2 = 25 см 2 .
l = 5 см.
Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см) = 75,36 см 2 .
Радиус и образующая конуса
Свойства
Поскольку радиус конуса характеризует размер его основания, то зная его, можно найти диаметр, длину окружности и площадь круга, лежащего в основании. Диаметр представляет собой удвоенный радиус, длина окружности – удвоенный радиус, умноженный на число π, а площадь круга – квадрат радиуса, умноженный на число π. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2
Зная радиус и образующую конуса, можно уже найти его высоту, угол между образующей и основанием, угол раствора конуса. Высота конуса через радиус и образующую ищется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, оттуда же можно вычислить и угол β через тригонометрические отношения сторон. Угол α можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя образующими и диаметром, отняв из 180 градусов два угла β. (рис.40.1, 40.2) h=√(l^2-r^2 ) cosβ=r/l α=180°-2β
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую или произведению числа π на радиус и образующую. Чтобы найти площадь полной поверхности, зная радиус и образующую конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности произведение числа π на квадрат радиуса, что является площадью основания конуса. S_(б.п.)=πrl S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)
Объем конуса, также как и объем пирамиды рассчитывается как одна треть основания, умноженная на высоту. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3
Радиус сферы, вписанной в конус, вычисляется как произведение высоты на радиус конуса, деленное на сумму радиуса и образующей. Радиус сферы, описанной вокруг конуса, представляет собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2 ))/(l+r) R=l^2/2h
Формулы конуса
Для расчёта всех основных параметров конуса воспользуйтесь калькулятором.
Прямой конус – это конус, у которого ось перпендикулярна основанию. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой
Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса.
Длина образующей, L
Площадь основания, SО
Площадь боковой поверхности, SБ
Общая площадь поверхности, S
$$ S = pi * R * L + pi * R^2 = S_О + S_Б $$
[spoiler title=”источники:”]
http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/cone/radius_and_forming
http://calc-online24.ru/formula/conys
[/spoiler]
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формула вычисления площади конуса
- 1. Боковая поверхность
- 2. Основание
- 3. Полная площадь
- Примеры задач
Формула вычисления площади конуса
1. Боковая поверхность
Площадь (S) боковой поверхности конуса равняется произведению числа π на радиус основания и на длину образующей.
Sбок. = πRl
Образующая (l) соединяет вершину конуса и границу основания, другими словами, точку на окружности.
Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.
2. Основание
Основанием конуса является круг, площадь которого вычисляется так:
Sосн. = πR2
Учитывая то, что диаметр круга равняется двум его радиусам (d = 2R), данную формулу можно представить в виде:
Sосн. = π(d/2)2
3. Полная площадь
Для вычисления суммарной площади конуса следует сложить площади боковой поверхности и основания:
Sполн. = πRl + πR2 = πR(l + R)
Примеры задач
Задание 1
Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его радиус равен 16 см, а длина образующей – 5 см.
Решение:
Используем соответствующую формулу с известными нам величинами:
S = 3,14 ⋅ 16 см ⋅ 5 см = 251,2 см2.
Задание 2
Высота конуса равна 4 см, а его радиус – 3 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Если рассмотреть конус в сечении, то можно заметить, что его высота, радиус и образующая представляют собой прямоугольный треугольник. Следовательно, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно найти длину образующей (является гипотенузой):
l2 = (4 см)2 + (3 см)2 = 25 см2.
l = 5 см.
Осталось только использовать найденное и известные по условиям задачи значения, чтобы рассчитать площадь:
S = 3,14 ⋅ 3 см ⋅ (5 см + 3 см) = 75,36 см2.
Как найти площадь основания конуса
Площадью основания конуса является круг. Для нахождения его площади надо знать радиус окружности, содержащей этот круг, либо какие-нибудь другие данные, расчеты которых математически связаны с площадью основания конуса.
Инструкция
Площадь круга с радиусом R находится по формуле S=πR^2. Эту формулу можно сразу использовать, если известен радиус.
Объем конуса имеет формулу V=1/3*S*h, где S – площадь основания конуса (площадь круга, на котором “стоит” конус), h – высота конуса. Если в задаче известен объем конуса V и его высота h, площадь основания конуса легко найти как S=3V/h.
В задачах с конусом полезно помнить формулу площади боковой поверхности конуса S’=πRL, где L – образующая конуса (отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой, лежащей на окружности основания конуса). Могут быть даны какие-либо соотношения между осью конуса и радиусом основания, образующей конуса и радиусом, образующей конуса и осью. Необходимо использовать эти данные в решении задачи, используя тот факт, что ось конуса перпендикулярна основанию конуса.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
