Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник – равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды – это площадь этой плоской фигуры.
Площадь основания правильной пирамиды
Правильная пирамида может быть трех видов:
- треугольная,
- четырехугольная,
- шестиугольная.
Соответственно у правильной треугольной пирамида основание – равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание – квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:
Площадь основания правильной треугольной пирамиды
В основании равносторонний треугольник – находим его площадь:
, где – сторона треугольника.
Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:
, где – сторона квадрата.
Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды
Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:
Площадь основания любой пирамиды
Площадь основания любой пирамиды – это площадь ее основания.
Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье “Площадь треугольника”.
В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.
Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды
Примеры решения задач
Задача 1
Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.
Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда
Ответ:
Задача 2
Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м2. Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?
Решение:
Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: . Подставим в нее значение стороны . Получим: м2.
Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .
Ответ: 108 досок.
Задача 3
Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.
Решение: иными словами – нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой – высотой. Определяем площадь по формуле:
.
Ответ: 8
Правильная шестиугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник.
Обозначения
- $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида
- $O$ — центр основания пирамиды
- $a$ — длина стороны основания пирамиды
- $h$ — длина бокового ребра пирамиды
- $S_{text{осн.}}$ — площадь основания пирамиды
- $V_{text{пирамиды}}$ — объем пирамиды
Площадь основания пирамиды
В основаниях пирамиды находится правильный шестиугольник со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь основания пирамиды равна $$ S_{text{осн.}}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2 $$
Правильный шестиугольник в основании пирамиды
По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a, angle EOA=120^{circ}$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=acdotsqrt{2(1-cos EOA)}=sqrt{3}cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=sqrt{3}cdot a $, $FM=MO=frac{1}{2}cdot a$.
Находим $SO$
Прямая $SO$ является высотой пирамиды, поэтому $angle SOF=90^{circ}$. Треугольник $SOF$ прямоугольный, в нем $FO=a, FS=h$. По свойствам прямоугольного треугольника $$ SO=sqrt{FS^2-FO^2}=sqrt{h^2-a^2} $$
Объем пирамиды
Объем пирамиды вычисляется как треть произведения площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной пирамиды является отрезок $SO$. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{text{пирамиды}}=frac{1}{3}cdot S_{text{осн.}}cdot SO=frac{sqrt{3}}{2}cdot a^2 cdot sqrt{h^2-a^2} $$
Находим $ST$ и $TO$
Пусть точка $T$ является серединой ребра $AF$. Треугольник $AOF$ правильный, поэтому, по свойствам правильного треугольника $$ TO=frac{sqrt{3}}{2}cdot a $$ Треугольник $STO$ прямоугольный, высота $SO$ равна $sqrt{h^2-a^2}$. По теореме Пифагора $$ ST=sqrt{SO^2+TO^2}=sqrt{h^2-frac{1}{4}cdot a^2} $$
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.
Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.
-
Формула площади правильной пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной пирамиды
- 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды
Формула площади правильной пирамиды
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.
Sполн. = Sбок. + Sосн.
Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.
Площадь треугольника вычисляется по формулам:
1. Через длину основания (a) и высоту (h):
2. Через основание (a) и боковую сторону (b):
Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.
2. Площадь правильной треугольной пирамиды
Основание: равносторонний треугольник.
L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.
3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
Основание: квадрат.
Площадь | Формула |
основание | Sосн. = a2 |
боковая поверхность | Sбок. = 2aL |
полная | Sполн. = a2 + 2aL |
microexcel.ru
4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды
Основание: правильный шестиугольник
Пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а боковые стороны образуются правильными треугольниками, называется шестиугольной.
Этот многогранник отличается множеством свойств:
- Все стороны и углы основания равны между собой;
- Все ребра и двугранные угля пирамиды также равны между собой;
- Треугольники, образующие боковые стороны одинаковы, соответственно, у них одинаковые площади, стороны и высоты.
Для расчета площади правильной шестиугольной пирамиды применяется стандартная формула площади боковой поверхности шестиугольной пирамиды:
где P – периметр основания, a – длина апофемы пирамиды. В большинстве случаев можно рассчитать боковую площадь по этой формуле, однако иногда можно воспользоваться и другим методом. Так как боковые грани пирамиды образованы равными треугольниками, можно найти площадь одного треугольника, а потом умножить его на количество боковых сторон. В шестиугольной пирамиде их 6. Но этот способ можно применять и при расчете площади треугольной пирамиды.Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности шестиугольной пирамиды.
Пусть дана правильная шестиугольная пирамида, в которой апофема равна a = 7 см, сторона основания b = 3 см. Рассчитайте площадь боковой поверхности многогранника.
Для начала найдем периметр основания. Так как пирамида правильная – в ее основании лежит правильный шестиугольник. Значит, все его стороны равны, а периметр рассчитывается по формуле:
Подставляем данные в формулу:
Теперь можем легко найти площадь боковой поверхности, подставив найденное значение в основную формулу:
Также немаловажным моментом является поиск площади основания. Формула площади основания шестиугольной пирамиды выводится из свойств правильного шестиугольника:
Рассмотрим пример расчета площади основания шестиугольной пирамиды, взяв за основу условия из прошлого примера.Из них мы знаем, что сторона основания b = 3 см. Подставим данные в формулу:
Формула площади шестиугольной пирамиды представляет собой сумму площади основания и боковой развертки:
Рассмотрим пример расчета площади шестиугольной пирамиды.
Пусть дана пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной b = 4 см. Апофема заданного многогранника равна a = 6 см. Найдите полную площадь.
Мы знаем, что полная площадь состоит из площадей основания и боковой развертки. Поэтому для начала найдем их. Рассчитаем периметр:
Теперь найдем площадь боковой поверхности:
Далее рассчитываем площадь основания, в котором лежит правильный шестиугольник:
Теперь можем сложить получившиеся результаты:
Все что нужно знать о шестиугольной пирамиде
Пирамида – это трехмерная фигура, основание которой представляет собой многоугольник, а боковые стороны являются треугольниками. Шестиугольная пирамида – ее частный вид. Помимо того, существуют другие вариации, когда в основании треугольника (такая фигура называется тетраэдр) находится квадрат, прямоугольник, пятиугольник и так далее по нарастанию. Когда количество точек становится бесконечным, то получается конус.
Шестиугольная пирамида
В целом это одна из последних и самых сложных тем в стереометрии. Изучается где-то в 10-11 классах и рассматривается только вариант, когда в основании находится правильная фигура. Одно из труднейших заданий по ЕГЭ зачастую бывает связано с этим параграфом.
Вам будет интересно:Удивительные факты о лошадях
И-так, в основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Что это значит? У фигуры в основании все стороны равны. Боковые же части состоят из равнобедренных треугольников. Вершины их соприкасаются в одной точке. Данная фигура представлена на фото ниже.
Как найти площадь всей поверхности и объем шестиугольной пирамиды?
В отличие от математики, которую преподают в университетах, школьная наука обучает обходить стороной и упрощать некоторые сложные понятия. Например, если не известно, как найти площадь фигуры, то приходится делить ее на части и уже по известным формулам площадей разделенных фигур находить ответ. Такому принципу нужно последовать и в представленном случае.
То есть, чтобы найти площадь поверхности всей шестиугольной пирамиды, надо найти площадь основания, затем площадь одной из боковых сторон и умножить ее на 6.
Применяются такие формулы:
S (полное) = 6S (боковой стороны) + S (основания) , (1);
S (основания) = 3√3 / 2a2 , (2);
6S (боковой стороны) = 6×1 / 2ab = 3ab , (3);
S (полное) = 3ab + (3√3 / 2a2) = 3(2a2b + √3) / 2a2 , (4).
Где S – площадь, см2;
a – длина основания, см;
b – апофема (высота боковой грани), см.
Для того чтобы найти площадь всей поверхности или какой-либо ее составляющей, требуется всего лишь сторона основания шестиугольной пирамиды и апофема. Если в задаче дано это в условии, то решение не должно составить труда.
С объемом дела обстоят намного легче, но чтобы его найти, нужна высота (h) самой шестиугольной пирамиды. Ну и, конечно же, сторона основания, благодаря которой нужно найти ее площадь.
Формула выглядит следующим образом:
V = 1/3 × S (основания) × h , (5).
Где V – объем, см3;
h – высота фигуры, см.
Вариант задачи, который может попасться на экзамене
Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Длина основания равна 3 см. Высота составляет 5 см. Найти объем данной фигуры.
Решение: V = 1/3 × (3√3/2 × 32) × 5 = 5/3 × √3/6 = 5√3/18.
Ответ: объем правильной шестиугольной пирамиды составляет 5√3/18 см.
Автор:
25-09-2018 13:51
Жду ваши вопросы и мнения в комментариях