Как найти площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник – равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды – это площадь этой плоской фигуры.

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

• треугольная,
• четырехугольная,
• шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание – равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание – квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник – находим его площадь:

, где – сторона треугольника.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где – сторона квадрата.

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды – это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье “Площадь треугольника”.

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м². Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: . Подставим в нее значение стороны . Получим: м².

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами – нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой – высотой. Определяем площадь по формуле:

.

Ответ: 8

При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.

Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

Правильный треугольник

То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

S = (а² * √3) / 4.

Квадрат

Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» – снова сторона:

S = а².

Произвольный правильный n-угольник

У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

S = (n * а²) / (4 * tg (180º/n)).

Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?

Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение – «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:

S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.

Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:

S = n/2 * в² sin α.

Задача № 1

Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит равносторонний треугольник со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.

Решение. Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см².

Для треугольника в основании получится такое значение площади: (4²*√3) / 4 = 4√3 см².

Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см².

Ответ. 10√3 см².

Задача № 2

Условие. Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.

Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.

Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм². Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16)²) = √2985,9375 = 54,644 мм². Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.

Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм².

Ответ. Искомое значение 267,576 мм².

Задача № 3

Условие. У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.

Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.

Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть прямоугольный треугольник. Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.

Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(3² + 4²) = 5 (см).

Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+6² = 96 (см²).

Ответ. 96 см².

Задача № 4

Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?

Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.

Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*22²) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см².

Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.

Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61)²)=√435600=660 см². Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см². Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см².

Ответ. Основания – 726√3 см², боковой поверхности – 3960 см², вся площадь – 5217 см².

Вычисление площадей фигур является одной из приоритетных задач геометрии на плоскости и в пространстве. В данной статье рассмотрим объемную фигуру пирамиду. И покажем, какие формулы площади основания пирамиды следует применять для вычисления этой величины.

Что представляет собой пирамида?

Ответ на этот вопрос не столь очевиден, как многим может показаться. Когда люди слышат слово “пирамида”, то в их воображении всплывает великое каменное сооружение египетских фараонов. Однако это лишь частный случай фигур этого класса.

Вам будет интересно:Образ русской женщины в классической литературе

С точки зрения точной науки геометрии, пирамида является фигурой в пространстве, образованной n-угольником, каждая из вершин которого соединена с одной единственной точкой. Эта точка в плоскости n-угольника находиться не должна. Здесь n – целое число, равное количеству углов (сторон) плоского многоугольника. Для наглядного представления описанной фигуры приведем фотографию.

Здесь изображен набор самых разных пирамид. Верхняя левая называется треугольной, поскольку ее основание является треугольником. Нижняя правая пирамида называется двадцатиугольной.

Эта фотография позволяет сделать некоторые выводы, касающиеся пирамид. Во-первых, стороны, которые соединяют n-угольник с вершиной фигуры, представляют собой треугольники. Во-вторых, количество сторон любой пирамиды равно n+1 (один n-угольник и n треугольников), n-угольник называют основанием, а треугольники – боковыми гранями. В-третьих, можно заметить, что увеличение сторон основания приближает пирамиду по своей форме к конусу. Этот факт позволяет считать конус пирамидой с бесконечным числом боковых граней.

Правильные и неправильные фигуры

Мы выяснили, что такое основание фигуры. Тем не менее, до того как начать обсуждение формулы площади основания пирамиды, следует дать определение правильных и неправильных фигур этого класса.

Каждый школьник знает, что любой плоский многоугольник имеет геометрический центр. Если многоугольник изготовить из однородного материала, то геометрический центр совпадет с центром масс. Например, геометрический центр прямоугольника – это точка, где его диагонали пересекаются, для треугольника он находится в точке пересечения медиан. Концепция геометрического центра связана с понятиями правильной и неправильной пирамиды.

Выше было упомянуто о вершине пирамиды. Она соответствует точке, где пересекаются все треугольные боковые грани фигуры. Если из вершины опустить перпендикуляр к основанию, то длина полученного отрезка будет соответствовать расстоянию от вершины до основания. Этот отрезок называется высотой фигуры.

Если высота пересекает многоугольник в его геометрическом центре, то пирамида называется прямой. Если основанием прямой пирамиды будет многоугольник, имеющий стороны одинаковой длины и равные между собой углы, то пирамида называется правильной. Соответственно, если какое-либо из названных условий не выполняется, то говорят о неправильной пирамиде.

Согласно описанной классификации, пирамида Хеопса является правильной четырехугольной, имеющей в основании квадрат.

Площадь основания правильной пирамиды

Для вычисления площади основания пирамиды следует использовать соответствующие формулы для конкретного n-угольника. Например, в случае треугольника – это произведение высоты на основание, которое поделено пополам, в случае параллелограмма – это произведение стороны на опущенную на нее высоту.

Если n-угольник является правильным, то формула площади основания пирамиды будет универсальной. Запишем ее:

Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)

Где параметр a – это длина стороны n-угольного основания. Эта формула справедлива независимо от того, рассматривается треугольная или стоугольная пирамида. Функцию котангенса следует вычислять с помощью калькулятора, однако для 3-, 4- и 6-угольника она имеет табличное значение.

Отметим, что данной формулой можно пользоваться, если основание пирамиды – это правильный многоугольник. Справедливость формулы не зависит от того, является пирамида прямой или наклонной.

Пирамида треугольная правильная

Равносторонний треугольник является основанием правильной пирамиды треугольной. Площадь основания ее можно определить, если применить записанную в пункте выше формулу для Sn. Учитывая, что n = 3, получаем:

S3 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 3/4*a2*ctg(pi/3) = √3/4*a2

Зная длину основания a, можно рассчитать соответствующую площадь.

Любопытно отметить, что в треугольной пирамиде, которую часто называют тетраэдром, все четыре стороны являются треугольниками. В правильной фигуре в общем случае только одна из сторон представляет собой равносторонний треугольник (основание). Остальные грани являются треугольниками равнобедренными.

Четырехугольная пирамида правильная

Пожалуй, она является самой знаменитой среди класса пирамид. Формула для площади основания пирамиды четырехугольной правильной известна школьнику уже в начальных классах, поскольку речь идет о площади квадрата. Следуя общему подходу, воспользуемся выражением для Sn. Подставляя n = 4, получаем:

S4 = 4/4*a2*ctg(pi/4) = a2

Например, найдем площадь основания четырехугольной пирамиды Хеопса. Длина стороны ее основания составляет приблизительно 230 метров. Это означает, что соответствующая площадь равна 52,9 тыс. м2, что больше площади 10 футбольных полей.