Как найти площадь основания шестигранной призмы

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

S_полн. = S_бок. + 2S_осн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

S_бок. = P_осн. ⋅ h

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

Площадь	Формула
основание
боковая поверхность	Sбок. = 3ah
полная

microexcel.ru

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a². А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a².

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Площадь	Формула
основание
боковая поверхность	Sбок. = 6ah
полная

microexcel.ru

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см². Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

В школьном курсе геометрии изучаются свойства различных видов призм, включая шестиугольную. Последняя часто встречается при рассмотрении кристаллических решеток металлов, поэтому знание ее характеристик важно при определении свойств этого класса материалов. Данная статья посвящена вопросу площади основания правильной шестиугольной призмы.

Объемная фигура – призма

В геометрии под призмой понимают такую фигуру, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными параллельно друг другу, и некоторым числом параллелограммов, соединяющих вершины названных многоугольников. Если основание образовано многоугольником с n вершинами, то количество параллелограммов также будет равно n.

Призмы характеризуются по типу многоугольника в основании (правильные и неправильные треугольные, четырехугольные и так далее), который может быть вогнутым и выпуклым, и по углу между боковыми гранями (параллелограммами) и основанием (прямоугольные и косоугольные).

Основными элементами любой призмы являются ее грани (Г), ребра (Р) и вершины (В). На рисунке выше приведена для примера треугольная призма. Как видно, она имеет 6 вершин (по 3 для каждого основания). Ниже приведена развертка этой призмы. Рисунок показывает, что она состоит из 5 граней: 2 треугольника и 3 прямоугольника.

Чтобы посчитать число ребер рассматриваемой фигуры, следует применить теорему Эйлера:

Р = В + Г – 2

Это выражение дает число ребер для этой призмы, равное 9. Действительно, если обратиться к трехмерному изображению призмы выше, то можно увидеть, что 6 ребер образуют основания фигуры, и еще 3 ребра являются результатом пересечения прямоугольников.

Призма шестиугольная

Перед рассмотрением вопроса площади основания правильной шестиугольной призмы, сначала познакомимся с этой фигурой. Из названия и приведенной выше классификации призм понятно, что речь пойдет о фигуре, в основании которой лежит шестиугольник. Это означает, что число сторон в такой призме будет равно 8 (два основания и шесть параллелограммов), а число вершин составит 12 (6 + 6). Тогда количество ребер будет равно:

Р = 12 + 8 – 2 = 18

Из этих 18-ти ребер основаниям принадлежат 12.

Если в основании находится правильный шестиугольник, а углы между боковыми сторонами (параллелограммами) и основаниями равны 90^o, то такая фигура будет называться прямоугольной призмой с правильным шестиугольником в основании, или просто правильной шестиугольной призмой. Ее схематическое изображение приводится ниже.

В правильной шестиугольной призме все ребра равны только в том случае, если c = a, где c – высота (длина бокового ребра) и a – длина стороны шестиугольника. В общем случае c ≠ a.

Далее приведем формулы для расчета площади поверхности и объема рассматриваемой призмы. Чтобы это сделать, необходимо знать площадь основания правильной шестиугольной призмы.

Площадь шестиугольника

Получим формулу площади правильного шестиугольника. Для этого рассмотрим эту плоскую фигуру, которая изображена на рисунке ниже.

Видно, что многоугольник состоит из шести одинаковых сторон, которые образуют угол 120^o. Поскольку этих углов шесть, то их сумма составит 720^o.

Рисунок также показывает, что правильный шестиугольник гармонично вписывается в окружность. Если соединить центр окружности с каждой вершиной фигуры, то получим 6 одинаковых треугольников. Поскольку угловая мера всей окружности составляет 360^o, то соответствующие углы треугольника равны 60^o (360^o/6). Они обозначены на рисунке. Поскольку каждый серый отрезок делит угол шестиугольника пополам, то оставшиеся два треугольника также равны по 60^o. Это означает, что изображенные 6 треугольников являются равносторонними. Длина каждой из их сторон равна стороне шестиугольника, обозначим ее буквой a.

Из курса геометрии известно, что площадь S₃ любого треугольника равна произведению его высоты h на сторону a, к которой она проведена, деленному пополам, то есть:

S₃ = h*a/2

Длину h легко вычислить, используя понятие о тригонометрической функции. Она равна:

h = a*cos(30^o) = a*√3/2

Тогда площадь всего треугольника равна:

S₃ = √3*a²/4

Умножая эту площадь на 6, получаем формулу площади правильного шестиугольника:

S₆ = 6*S₃ = 3*√3*a²/2

Для полноты информации следует отметить, что существует формула площади правильного многоугольника с произвольным количеством сторон n. Ниже приведено соответствующее выражение:

S_n = n/4*a²*ctg(pi/n)

Если подставить в это выражение значение n = 6, то мы получим формулу площади основания правильной шестиугольной призмы, которая совпадет с приведенной выше.

Заметим, что деление шестиугольника на 6 равносторонних треугольников означает, что шестиугольная призма состоит из 6 правильных треугольных призм.

Площадь поверхности

Полная площадь поверхности любой призмы может быть получена, если сложить соответствующие площади S_o для двух оснований и для боковой поверхности S_b, представленной параллелограммами:

S = 2*S_o + S_b

Изучим развертку рассматриваемого вида призмы, которая приведена на рисунке ниже.

Мы видим, что призма состоит из двух одинаковых шестиугольников и 6 прямоугольников. Обозначим сторону основания буквой a, а стороны прямоугольников буквами a и c (сторона a является общей для шестиугольника и прямоугольника). В таком случае площадь полной поверхности шестиугольной призмы будет составлять:

S = 2*3*√3*a²/2 + 6*a*c = 3*a*(√3*a + 2*c)

Объем призмы

Эта важная величина для любого реального объекта в случае призмы находится просто: необходимо лишь умножить площадь основания на высоту фигуры, то есть:

V = S_o*h

Поскольку мы рассматриваем прямоугольную призму, то ее высота равна длине бокового ребра, то есть h = c. Тогда формула для объема правильной шестиугольной призмы запишется в виде:

V = 3*√3*a²*c/2

Таким образом, для определения площади и объема рассматриваемой фигуры необходимо знать длину ее ребра в основании и на боковой поверхности.

Для чего нужно знать свойства шестиугольной призмы?

Как было сказано во введении, эти призмы встречаются в природе в металлах. В частности, кристаллическая атомная упаковка титана, цинка, циркония, магния и некоторых других металлов имеет форму шестиугольной призмы, в основании которой лежат 7 атомов (6 в вершинах и 1 в центре). От соотношения длины ребра этой фигуры к длине стороны основания зависят многие механические свойства этих металлов (деформационные и упругие характеристики).

Выше приведен пример этой упаковки атомов, который носит сокращенное название ГПУ (гексагональная плотная упаковка).

Правильная шестиугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.

Обозначения

• $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма
• $a$ — длина стороны основания призмы
• $h$ — длина бокового ребра призмы
• $S_{text{осн.}}$ — площадь основания призмы
• $S_{text{бок.}}$ — площадь боковой грани призмы
• $S_{text{полн.}}$ — площадь полной поверхности призмы
• $V_{text{призмы}}$ — объем призмы

Площадь оснований призмы

В основаниях призмы находятся правильные шестиугольники со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь оснований призмы равна $$ S_{text{осн.}}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2 $$ Таким образом, получается, что $S_{ABCDEF}=S_{A_1B_1C_1D_1E_1F_1}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2$.

Площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей боковых граней призмы и площадей ее оснований. Каждая из боковых граней призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Следовательно, по свойствам прямоугольника $$ S_{text{бок.}}=acdot h $$ У призмы шесть боковых граней и два основания, следовательно, площадь ее полной поверхности равна $$ S_{text{полн.}}=6cdot S_{text{бок.}}+2cdot S_{text{осн.}}=6cdot acdot h+2cdot frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2$$

Объем призмы

Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро $AA_1$. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{text{призмы}}=S_{text{осн.}}cdot AA_1=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2cdot h $$

Правильный шестиугольник в основаниях призмы

Рассматриваем правильный шестиугольник ABCDEF, лежащий в основании призмы. Проводим отрезки AD, BE и CF. Пусть пересечением этих отрезков является точка O. По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a, angle EOA=120^{circ}$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=acdotsqrt{2(1-cos EOA)}=sqrt{3}cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=sqrt{3}cdot a $, $FM=MO=frac{1}{2}cdot a$.

Находим $EA_1$

В треугольнике $AEA_1$:

• $AA_1=h$
• $AE=sqrt{3}cdot a$ — как мы только что выяснили
• $angle EAA_1=90^{circ}$ — по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник $AEA_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ EA_1=sqrt{AA_1^2+AE^2}=sqrt{h^2+3cdot a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ EA_1=2cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $FB_1=AC_1=BD_1=CE_1=DF_1=sqrt{h^2+3cdot a^2}$.

Находим $EB_1$

В треугольнике $BEB_1$:

• $BB_1=h$
• $BE=2cdot a$ — потому что $EO=OB=a$
• $angle EBB_1=90^{circ}$ — по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник $BEB_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ EB_1=sqrt{BB_1^2+BE^2}=sqrt{h^2+4cdot a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ EB_1=sqrt{5}cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $FC_1=AD_1=BE_1=CF_1=DA_1=sqrt{h^2+4cdot a^2}$.

Находим $OF_1$

В треугольнике $FOF_1$:

• $FF_1=h$
• $FO=a$
• $angle OFF_1=90^{circ}$ — по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник $FOF_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ OF_1=sqrt{FF_1^2+OF^2}=sqrt{h^2+a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ OF_1=sqrt{2}cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $OA_1=OB_1=OC_1=OD_1=OE_1=sqrt{h^2+a^2}$.

Находим $FE_1$

В треугольнике $FEE_1$:

• $EE_1=h$
• $FE=a$
• $angle FEE_1=90^{circ}$ — по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник $FEE_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ FE_1=sqrt{FE^2+EE_1^2}=sqrt{h^2+a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ FE_1=sqrt{2}cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что длины диагоналей остальных боковых граней призмы также равны $sqrt{h^2+a^2}$.

A hexagonal prism is a three-dimensional geometric structure with two hexagonal bases connected by six rectangular faces. It is a polyhedron with eight faces, twelve vertices, and eighteen edges. It is also known as an octahedron as it has eight faces; two of the eight faces are hexagons, which are the bases of the prism, and the other six faces are rectangles, which are the lateral (or) side faces of the prism. The top and bottom faces of the hexagonal prism are in the shape of a hexagon and are congruent with each other. 

There are two kinds of hexagonal prisms, namely, a regular hexagonal prism and an irregular hexagonal prism.

• A regular hexagonal prism is a prism that has two hexagonal bases whose all sides are of the same length. In a regular hexagonal prism, the angles also measure the same.
• An irregular hexagonal prism is a prism that has two irregular hexagonal bases. All the sides of the base do not have the same length, and the measures of each angle are different.

Surface Area of a Hexagonal Prism

The total area that is covered by the surfaces of a hexagonal prism is referred to as its surface area. The surface area of a prism is measured in terms of square units such as sq. m, sq. cm, sq. in, etc. A hexagonal prism has two types of areas just like other three-dimensional shapes: lateral surface area (LSA) and total surface area (TSA).

Let us consider a hexagonal prism that has an apothem length “a”, a base length “s”, and a height “h”. We know that the general formula to calculate the lateral surface area of a prism is the product of its base and height. So, the lateral surface area of the prism of a hexagonal prism is determined by calculating the product of the perimeter of the base of the hexagonal prism and its height.

The formula to determine the lateral surface area of the hexagonal prism is equal to the sum of the areas of its six rectangular faces. Thus, 

Lateral surface area of hexagonal prism (LSA) = 6sh sq. units.

Where “s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.

The formula to determine the surface area of a hexagonal prism is given as follows:

Total Surface Area, TSA = 2×(Area of hexagonal base) + 6×(Area of rectangular faces) = 6s(a + h).

Total surface area of the hexagonal prism (TSA) = 6s(a + h) sq. units.

Where “a” is the apothem length,
“s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.

The formula to determine the surface area of a hexagonal prism in the case of a regular hexagonal prism, TSA = 6sh + 3√3s².

Total surface area of the hexagonal prism (TSA) = 6sh + 3√3s² sq. units.

Where “s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.

Volume of a Hexagonal Prism

The volume of a hexagonal prism is the amount of space enclosed by it in three-dimensional space. It is also referred to as the amount of substance that it can hold, which is the capacity of a hexagonal prism. The formula for the volume of a hexagonal prism is equivalent to the product of its base area and height, which is measured in terms of cubic units such as cm³, m³, in³, etc.

The formula for finding the volume of a hexagonal prism is given as follows,

Volume of the Hexagonal Prism (V) = Base area × height

The formula for calculating the volume of a hexagonal prism when the length of the edge of the base and height of the prism is known is given as follows.

Volume of the Hexagonal Prism (V) = [(3√3)/2]s²h

Where “s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.

The formula for calculating the volume of a hexagonal prism when the apothem length, length of the edge of the base, and height of the prism are known is given as follows.

Volume of the Hexagonal Prism (V) = 3ash

Where “a” is the apothem length,
“s” is the length of the base edge, and
“h” is the height of the prism.

Solved Example on Volume of a Hexagonal Prism

Example 1: Calculate the volume of a hexagonal prism with a base edge length of 15 cm and a height of 12 cm.

Solution:

Given data, 

Length of the base edge (s) = 15 cm

The height of the prism (h) = 12 cm

We know that,

The volume of a hexagonal prism = [(3√3)/2]s²h

= (3/2) × (1.732) × (15)² × 12

= 7,014.805 cu. cm

Hence, the volume of the hexagonal prism is 7,014.805 cu. cm.

Example 2: Determine the volume of the hexagonal prism if its height is 10 inches and its base area is given as 60 sq. in.

Solution:

Given data, 

Base area = 60 sq. in

The height of the prism (h) = 10 inches

We know that

The volume of the hexagonal prism (V) = Base area × height

= 60 × 10 = 600 cu. in

Hence, the volume of the hexagonal prism is 600 cu. in.

Example 3: Calculate the volume of a hexagonal prism if its height is 13 cm, the length of each side of the base is 10 cm, and the apothem length is 8 cm.

Solution:

Given data,

Length of the base edge length (s) = 10 cm

Apothem length (a) = 8 cm

The height of the prism (h) = 13 cm

We know that

The volume of the hexagonal prism (V) = 3ash cubic units

= 3 × 8 × 10 × 13 = 3,120 cu. cm

Hence, the volume of the hexagonal prism is 3,120 cu. cm.

Example 4: Find the total surface area of a hexagonal prism if the length of each side of the base is 8 cm and the height is 10 cm.

Solution:

Given data,

Length of the base edge (s) = 8 cm

The height of the prism (h) = 10 cm

We know that,

The total surface area of the hexagonal prism = 6sh + 3√3s²

= 6 × 8 × 10 + 3√3 × (8)²

= 480 + 3√3 × 64

= 480 + 332.554 = 812.554 sq. cm

Thus, the total surface area of the hexagonal prism is 812.554 sq. cm.

Example 5: Determine the lateral surface area of a hexagonal prism with a base edge length of 12 cm and a height of 9 cm.

Solution:

Given data,

Length of the base edge length (s) = 12 cm

The height of the prism (h) = 9 cm

We know that,

The lateral surface area of a hexagonal prism = 6sh sq. units

LSA = 6 × 12 × 9

LSA = 648 sq. cm

Hence, the volume of the hexagonal prism is 648 sq. cm.

FAQs on Hexagonal Prism

Question 1: What is the Volume of a Hexagonal Prism?

Answer:

The volume of a hexagonal prism is the amount of space enclosed by it in three-dimensional space. It is also referred to as the amount of substance that it can hold, which is the capacity of a hexagonal prism. The formula for the volume of a hexagonal prism is equivalent to the product of its base area and height, which is measured in terms of cubic units such as cm³, m³, in³, etc.

The formula for finding the volume of a rectangular prism is given as follows,

The volume of the hexagonal prism (V) = Base area × height

Question 2: How to determine the Volume of a Hexagonal Prism?

Answer:

Follow the steps given below to determine the volume of a hexagonal prism:

Step 1: Calculate the base area of the prism using the appropriate formula.
Step 2: Note down the value of the height of the given hexagonal prism.
Step 3: Substitute the values of the given dimensions in the formula, V = [(3√3)/2]s²h
Step 4: Finally, write the final value in appropriate cubic units.

Question 3: How can we determine the Volume of a Hexagonal Prism when its Base Area and Height are given?

Answer:

We know that the general formula for calculating the volume of any prism is the product of its base area and its height. A hexagonal prism is a prism that has a hexagon as its base. So, we can also use the same formula for determining the volume of a hexagonal prism. As both the base area and the height of the hexagonal prism are given, the formula to determine the volume of a hexagonal prism is given as follows:

Volume of a hexagonal prism = Base Area × height.

Question 4: What will happen to the Volume of the Hexagonal Prism if its Height is reduced to Half?

Answer:

We know that the formula for calculating the volume of the hexagonal prism is V = 3abh. Where “a” is the apothem length, “s” is the length of the base edge, and “h” is the height of the prism. So, the volume of the prism is directly proportional to its height. So, if the height is reduced to half, the new height will become (h/2). So, the volume of the new hexagonal prism will be 3ab (h/2) = (1/2) (3abh) = V/2. Therefore, we can conclude the volume will also be reduced by half.

Question 5: What is meant by the Surface Area of a Hexagonal Prism?

Answer:

The total area that is covered by the surfaces of a hexagonal prism is referred to as its surface area. The surface area of a prism is measured in terms of square units such as sq. m, sq. cm, sq. in, etc. The formula to determine the surface area of a hexagonal prism is given as follows:

Total Surface Area, TSA = 2(Area of hexagon base) + 6(Area of rectangle faces) = 6s(a + h), where the “a” is apothem length of the prism, “s” is the length of the base edge, and “h” is the height of the prism. 

The formula to determine the surface area of a hexagonal prism in the case of a regular hexagonal prism, TSA = 6sh + 3√3s².

Question 6: How to determine the Lateral Surface Area of a Hexagonal Prism?

Answer:

Follow the steps mentioned below to determine the lateral surface area of the hexagonal prism:

• Step 1: Note down the values of the apothem length, base length, and height of the given hexagonal prism.
• Step 2: Substitute the given values in the formula of the lateral surface area of a hexagonal prism, LSA = 6sh. 
• Step 3: Write the resulting value in square units.