Как найти площадь основания усеченной пирамиды шестиугольной

Как найти площадь поверхности усеченной пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте периметры оснований и апофему.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Боковая поверхность через периметры и апофему

Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды через периметры и апофему:

p1 – периметр верхнего основания; p2 – периметр нижнего основания; l – апофема усеченной пирамиды.

Источник

Данный сайт находится в режиме тестирования, обо всех выявленных проблемах Вы можете сообщить на почту

Формулы усеченной пирамиды

Для расчёта всех основных параметров усеченной пирамиды воспользуйтесь калькулятором.

Площадь верхнего основания правильной усеченной пирамиды

$$
S_{верх.основ} = {N * CD^2 over 4 * tan(180/N)}
$$

Площадь нижнего основания правильной усеченной пирамиды

$$
S_{нижн.основ} = {N * AB^2 over 4 * tan(180/N)}
$$

Объём усеченной пирамиды

$$
V = {1 over 3} * OE * (S_{верх.основ} + sqrt{S_{верх.основ} * S_{нижн.основ}} + S_{нижн.основ})
$$

Апофема усеченной пирамиды

Так как боковая сторона усеченной пирамиды – это трапеция, то высота этой трапеции и будет апофемой усеченной пирамиды
$$
SK = sqrt{AC^2 – ({(AB – CD)^2 + AC^2 – BD^2 over 2 * (AB – CD)})^2}
$$

Площадь боковой поверхности

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды является сумма всех боковых сторон, каждая боковая сторона является трапецией
$$
S_{Бок.стороны} = {1 over 2} * SK * (CD + AB)
$$

Источник

Этот онлайн-калькулятор поможет узнать не только площадь усеченной пирамиды, но и 18 дополнительных значений. Для этого должны быть известны всего 4 значения, такие как: длины сторон верхнего и нижнего основания, общее количество граней, а также один показатель на выбор из следующих: длина ребра, высота, апофема или площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Введя все необходимые значения и нажав на кнопку расчета, можно будет узнать объем усеченной пирамиды, площадь, высоту, угол сторон основания, длину всех ребер и другие величины. Благодаря развернутым формулам в ответах разобраться в расчетах по величинам фигуры не составит труда.

Введите данные:

Сторона верхнего основания (a) *

Сторона нижнего основания (b) *

Количество граней усеченной пирамиды (n) *

Значение ключевого показателя *

Округление:

* – обязательно заполнить

Источник

Основания правильной усеченной пирамиды представляют собой правильные многоугольники, зная стороны которых можно найти все остальные параметры, такие как внутренний угол, периметр, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей.
γ=180°(n-2)/n
P=n(a+b+d)
S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )
S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )
r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )
r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )
R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )
R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Зная высоту усеченной пирамиды, можно найти ее боковое ребро и апофему, рассмотрев прямоугольные трапеции, соединяющие их через радиусы вписанной и описанной окружностей в основаниях. Из прямоугольных трапеций построив дополнительный прямоугольный треугольник, легко вычислить боковое ребро или апофему как гипотенузу, а также найти углы при основаниях. (рис. 50.3, 50.4)
f=√(h^2+(b/2-a/2)^2 )=√(h^2+(b-a)^2/4)
cos⁡β=(r_b-r_a)/f
α=180°-β

d=√(h^2+(R_b-R_a )^2 )
cos⁡δ=(R_b-R_a)/d
ε=180°-δ

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно вычислить площадь каждой грани усеченной пирамиды, а затем умножить полученное значение на количество сторон в основаниях. Вычислить площадь полной поверхности усеченной пирамиды, зная стороны и высоту, нужно, преобразовав высоту в апофему по приведенным выше формулам, и сложив площадь боковой поверхности с площадями оснований.
S_(б.п.)=nf (a+b)/2
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем усеченной пирамиды, зная стороны и высоту, равен одной трети высоты умноженной на сумму площадей оснований с радикалом из их произведения.
V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))

Источник

Усеченная пирамида – это многогранник, который образуется основанием пирамиды и параллельным ему сечением. Можно сказать, что усеченная пирамида – это пирамиду со срезанной верхушкой. Эта фигура обладает множеством уникальных свойств:

Боковые грани пирамиды являются трапециями;
Боковые ребра правильной усеченной пирамиды одинаковой длины и наклонены к основанию под одинаковым углом;
Основания являются подобными многоугольниками;
В правильной усеченной пирамиде, грани представляют собой одинаковые равнобедренные трапеции, площадь которых равна. Также они наклонены к основанию под одним углом.

Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды представляет собой сумму площадей ее сторон: ${S_b}=sum{i=1}{n}{S_i}$

Так как стороны усеченной пирамиды представляют собой трапеции, то для расчета параметров придется воспользоваться формулой площади трапеции. Для правильной усеченной пирамиды можно применить другую формулу расчета площади. Так как все ее стороны, грани, и углы при основании равны, то можно применить периметры основания и апофему, а также вывести площадь через угол при основании.

Если по условиям в правильной усеченной пирамиде даны апофема (высота боковой стороны) и длины сторон основания, то можно произвести расчет площади через полупроизведение суммы периметров оснований и апофемы:

$S={1/2}(P_1 + P_2) l$

Давайте рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.
Дана правильная пятиугольная пирамида. Апофема l = 5 см, длина грани в большом основании равна a = 6 см, а грань в меньшем основании b = 4 см. Рассчитайте площадь усеченной пирамиды.

Для начала найдем периметры оснований. Так как нам дана пятиугольная пирамида, мы понимаем, что основания представляют собой пятиугольники. Значит, в основаниях лежит фигура с пятью одинаковыми сторонами. Найдем периметр большего основания:

Таким же образом находим периметр меньшего основания:

Теперь можем рассчитывать площадь правильной усеченной пирамиды. Подставляем данные в формулу:
$S_{6ok}={1/2}*(30+20)*5=25*5=125 cm^2$
Таким образом, мы рассчитали площадь правильной усеченной пирамиды через периметры и апофему.

Еще один способ расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды, это формула через углы у основания и площадь этих самых оснований.

$S_{6ok}={S_{1 OCH}-S_{2 OCH}}/{cos{beta}}$

Давайте рассмотрим пример расчета. Помним, что данная формула применяется только для правильной усеченной пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Грань нижнего основания a = 6 см, а грань верхнего b = 4 см. Двухгранный угол при основании β = 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Для начала рассчитаем площадь оснований. Так как пирамида правильная, все грани оснований равны между собой. Учитывая, что в основании лежит четырехугольник, понимаем, что нужно будет рассчитать площадь квадрата. Она представляет собой произведение ширины на длину, но в квадрате эти значения совпадают. Найдем площадь большего основания:
$S_{1OCH}=6^2=36 cm^2$
$S_{2OCH}=4^2=16 cm^2$
Теперь используем найденные значения для расчета площади боковой поверхности.
$S_{6ok}= {36-16}/0.5 = 40 cm^2$