Данный сайт находится в режиме тестирования, обо всех выявленных проблемах Вы можете сообщить на почту
Формулы усеченной пирамиды
Для расчёта всех основных параметров усеченной пирамиды воспользуйтесь калькулятором.
Площадь верхнего основания правильной усеченной пирамиды
$$
S_{верх.основ} = {N * CD^2 over 4 * tan(180/N)}
$$
Площадь нижнего основания правильной усеченной пирамиды
$$
S_{нижн.основ} = {N * AB^2 over 4 * tan(180/N)}
$$
Объём усеченной пирамиды
$$
V = {1 over 3} * OE * (S_{верх.основ} + sqrt{S_{верх.основ} * S_{нижн.основ}} + S_{нижн.основ})
$$
Апофема усеченной пирамиды
Так как боковая сторона усеченной пирамиды – это трапеция, то высота этой трапеции и будет апофемой усеченной пирамиды
$$
SK = sqrt{AC^2 – ({(AB – CD)^2 + AC^2 – BD^2 over 2 * (AB – CD)})^2}
$$
Площадь боковой поверхности
Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды является сумма всех боковых сторон, каждая боковая сторона является трапецией
$$
S_{Бок.стороны} = {1 over 2} * SK * (CD + AB)
$$
Этот онлайн-калькулятор поможет узнать не только площадь усеченной пирамиды, но и 18 дополнительных значений. Для этого должны быть известны всего 4 значения, такие как: длины сторон верхнего и нижнего основания, общее количество граней, а также один показатель на выбор из следующих: длина ребра, высота, апофема или площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Введя все необходимые значения и нажав на кнопку расчета, можно будет узнать объем усеченной пирамиды, площадь, высоту, угол сторон основания, длину всех ребер и другие величины. Благодаря развернутым формулам в ответах разобраться в расчетах по величинам фигуры не составит труда.
Введите данные:
Сторона верхнего основания (a) *
Сторона нижнего основания (b) *
Количество граней усеченной пирамиды (n) *
Значение ключевого показателя *
Округление:
* – обязательно заполнить
Как найти площадь поверхности усеченной пирамиды
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте периметры оснований и апофему.
Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.
Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.
Боковая поверхность через периметры и апофему
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды через периметры и апофему:
p1 – периметр верхнего основания; p2 – периметр нижнего основания; l – апофема усеченной пирамиды.
Усечённой пирамидой называется часть пирамиды между её основанием и плоскостью, параллельной ему.
Усечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды сечением, параллельным её основанию, называется правильной усечённой пирамидой.
|
|
 |
| Рис. (1). Правильная усечённая треугольная пирамида (ABCKNV)
(ABC) и (KNV) — основания пирамиды, OO1 — высота. |
Рис. (2). Правильная усечённая четырёхугольная пирамида (ABCDZVNK) (ABCD) и (ZVNK) — основания, OO1 — высота |
Объём усечённой пирамиды:
.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды:
;
(h) — апофема правильной усечённой пирамиды, на данных рисунках это отрезок (LF).
|
Рис. (3). Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды |
Рис. (4). Апофема правильной четырёхугольной усечённой пирамиды |
Источники:
Рис .1. Правильная усечённая треугольная пирамида ABCKNV. © ЯКласс.
Рис.2. Правильная усечённая четырёхугольная пирамида ABCDZVNK. © ЯКласс.
Рис. 3. Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.
Рис. 4. Апофема правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.
Зная стороны оснований усеченной пирамиды, можно вычислить внутренний угол оснований, представленных правильными многоугольниками, периметры и площади оснований усеченной пирамиды, а также радиусы вписанной и описанной около оснований окружностей, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников.
γ=180°(n-2)/n
P=n(a+b+d)
S_a=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
S_b=(nb^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
r_a=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )
r_b=b/(2 tan〖(180°)/n〗 )
R_a=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
R_b=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
Боковое ребро усеченной пирамиды дает возможность рассчитать через трапеции во внутреннем и боковом пространстве пирамиды апофему и высоту, а также углы между ними и основаниями.
Чтобы найти апофему усеченной пирамиды, рассмотрим боковую грань, представляющую собой равнобедренную трапецию, разделенную апофемой на две конгруэнтные прямоугольные трапециями, основаниями которых являются половины сторон оснований самой пирамиды. Исходя из этого апофема равна по теореме Пифагора квадратному корню из разности квадрата бокового ребра и квадрата разности половин сторон оснований пирамиды. (рис. 50.2)
f=√(d^2-(b/2-a/2)^2 )=√(d^2-(b-a)^2/4)
Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, рассмотрим трапецию во внутреннем пространстве тела, между высотой и боковым ребром. Основаниями такой трапеции служат половины радиусов описанных окружностей вокруг оснований усеченной пирамиды. Следовательно, формула высоты по аналогии с апофемой выглядит следующим образом. (рис. 50.3)
h=√(d^2-(R_b-R_a )^2 )
Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и боковом ребре, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции.
cosδ=(R_b-R_a)/d
ε=180°-δ
Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую апофема образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.4)
cosβ=(r_b-r_a)/f
α=180°-β
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды состоит из n-ного количества равнобоких трапеций, площадь каждой из которых равна произведению полусуммы оснований трапеции на ее высоту, то есть, перекладывая на измерения пирамиды – полусуммы сторон оснований пирамиды на ее апофему. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно прибавить к полученному значению обе площади оснований усеченной пирамиды.
S_(б.п.)=nf (a+b)/2
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan〖(180°)/n〗 ))
Объем усеченной пирамиды, зная стороны оснований и боковое ребро, можно найти через высоту и площади оснований, найденные по указанным выше формулам.
V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))
