Как найти площадь озера по клеткам

Решение.

Обозначим квадраты буквами так, как показано на рисунке. Перенесём мысленно часть озера, находящуюся в квадрате D, в квадрат А. Сумма этих площадей меньше половины площади квадрата. Площадь части озера в квадрате С примерно половина площади квадрата, другая половина пустая  — перенесем в неё части озера из А и D вместе взятые. Этим квадрат С будет заполнен. Теперь перенесём часть озера, лежащую ниже диагонали квадрата Е, на незанятую часть в квадрате F. Теперь квадрат F заполнен почти полностью, а квадрат Е заполнен наполовину. Итак, озеро покрывает приблизительно два полных квадрата С и F, почти полный квадрат В и половину квадрата Е. Значит, площадь озера больше 3 кв. км, но меньше 3,5 кв. км. Округляя, получаем 3 кв. км.

Ответ: 3.

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Понимая необходимость умений проводить подобные оценки и прикидки в прикладных науках, все же отметим, что приведённые выше рассуждения не имеют никакого отношения к математике. Почему? Потому, что нет доказательств. Например, того, часть из Е действительно поместится в F. Доказательство можно было бы провести так: наложить карту на миллиметровку, найти количество квадратиков, в которые попала фигура, и точно установить границы, в которых лежит площадь: отбросив частично заполненные квадратики, получим площадь с недостатком, учитывая все частично заполненные квадратики, найдем площадь с избытком. Но это путь не для экзамена.

Примечание Д. Д. Гущина о применении палетки для определения площади.

Читательница Ольга Кулешова рассказала нам, что в начальных классах изучают способ нахождения площади фигуры с помощью палетки (квадратной сетки). Площадь фигуры считается равной количеству полностью заполненных клеток сетки плюс половина количества не полностью заполненных клеток. Решая данную задачу таким способом, найдем, что количество полностью заполненных клеток равно 0, количество частично заполненных клеток равно 6, следовательно, площадь фигуры равна 0 + 6 : 2  =  3.

Об этом необходимо сказать следующее.

Для фигур случайной формы, покрытых большим количеством клеток, указанное приближение площади нередко дает удовлетворительную точность. Однако в ряде случаев погрешность становится неприемлемой.

Найдем, к примеру, указанным методом площадь изображенных на рисунке круга и пятиугольника. Для круга сложим 5 целых клеток и половину от 16 частично заполненных, вместе 13 клеток. Как нетрудно проверить, используя формулу для площади круга найденная по клеточкам площадь круга мало отличается от расчетной. Но найдем теперь площадь пятиугольника: к 6 целым клеткам прибавим половину от 9, получим 10,5 или, округленно, 11 клеток. Однако в действительности площадь пятиугольника не 11 и даже не 10, а меньше 9 клеток. Ошибка превосходит 17%, а после округления  — даже 22%.

По всей вероятности, точной формулы для оценки погрешности использования квадратной палетки при оценке площади не существует. Но ясно, что погрешность может быть достаточно велика, если все частично заполненные клетки заполнены более (либо менее), чем наполовину, или если покрывающих фигуру клеток слишком мало.

В приведенном выше задании ЕГЭ площадь покрыта всего шестью клетками. В таких случаях найденный ответ может получиться верным, но может оказаться и ошибочным. Поэтому на экзамене пользоваться указанным методом нельзя. Однако метод можно усовершенствовать. Об этом ниже.

Подробнее прочитать о приближенном определении площадей можно, например, в учебном пособии для высших учебных заведений Инженерная геодезия.pdf.

Примечание Т. Н. Кравченко о последовательных приближениях при применении палетки.

Укажем путь, которым можно находить все более точное значение площади, применяя палетки с уменьшающимся шагом сетки. Истинная площадь фигуры не меньше площади полностью закрашенных клеток. Добавляя к ней половину площади частично закрашенных клеток, мы можем получить избыток или недостаток. Если все частично заполненные клетки «почти пустые», мы получим избыток, равный половине их суммарной площади. Если же все эти клетки «почти полные», площадь будет определена с недостатком, равным половине их суммарной площади. В обоих случаях погрешность площади не больше где n  — количество частично закрашенных клеток, S  — площадь одной клетки. Теперь ясно, что можно попытаться уменьшить погрешность, последовательно уменьшая шаг сетки. Продемонстрируем это на примере нашей задачи.

Изначально площадь одной клетки равна 1. По первому рисунку видно, что озеро Великое расположено в 6 клетках, и ни одна из них не заполнена полностью. В первом приближении площадь озера равна Погрешность в этом случае также равна 3. Поэтому необходимо уменьшить погрешность.

Разделим каждую клетку пополам по вертикали и горизонтали (см. рис. 2), то есть на 4 части. Площадь каждой получившейся клетки теперь равна Озеро Великое занимает 5 клеток целиком, и 14 клеток заполнены не полностью. Следовательно, во втором приближении площадь озера составляет при этом погрешность равна что нас также не устраивает.

На третьем шаге снова разделим все клетки пополам по вертикали и горизонтали, то есть на 4 части (см. рис. 3). Площадь каждой получившейся клетки будет равна Теперь озеро Великое занимает 36 клеток полностью, и еще 28 клеток заполнены не полностью. Площадь озера составляет

при этом погрешность равна Сделаем еще одно разбиение.

Снова разделим все клетки пополам по вертикали и горизонтали. Площадь каждой получившейся клетки будет равна Теперь озеро Великое занимает 172 клетки полностью, и еще 52 клетки заполнены частично. Площадь озера составляет

при этом погрешность равна Таким образом, площадь озера больше 2,5. Наибольшее значение площади равно Это значение достигается, если все частично заполненные клетки заполнены полностью. Но это не так, а потому площадь меньше 3,5. Тем самым строго доказано, что округленное до целых значение площади равно 3.

Подсчитывать количество полностью и не полностью заполненных клеток может быть утомительно. Для облегчения работы можно делить на части только те клетки, которые заполнены не полностью. Покажем это ниже.

По пятому рисунку 5 видно, что озеро не занимает целиком ни одной клетки. Разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. рис. 6). Среди получившихся маленьких клеток полностью заполнено 5 клеток (выделено синим), а еще несколько клеток заполнены не полностью.

Еще раз разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. рис. 7). Среди получившихся маленьких клеток полностью заполнено 16 (выделено желтым), и еще 30 клеток заполнены не полностью. Таким образом, на третьем шаге озеро занимает: 5 целых клеток площадью каждая; 16 3целых клеток площадью каждая и 30 частично заполненных клеток площадью каждая. Найдем площадь озера на этом шаге:

Погрешность определяется последним слагаемым, равным 0,9375, то есть площадь озера может оказаться и меньше 2,5, и больше 3,5, а тогда округление до целых даст 2 или 4 соответственно. Необходим дальше уменьшать шаг сетки.

Еще раз разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. последний рисунок). Теперь озеро занимает: 5 целых клеток площадью 16 целых клеток площадью 29 целых клеток площадью и 62 частично заполненные клетки площадью Находим площадь озера:

Погрешность определяется последним слагаемым, равным 0,484375. Следовательно, площадь озера больше 2,5, и округление до 2 невозможно. Оценка сверху дает 3,671875, то есть площадь может оказаться больше 3,5, а тогда понадобится округление до 4. Так случилось бы, если бы все 62 частично заполненные на последнем шаге клетки были бы заполнены почти полностью. Но это не так. Поэтому на данном шаге можно предположить, что площадь не превзойдет 3,5, а потому должна быть округлена до 3.

Вычисление площади по формуле для ряда фигур дает сильно завышенную погрешность, поэтому для большинства экзаменационных задач, в отличие от этой, нахождение площади применением палеток с уменьшающимся шагом сетки обычно дает хороший результат при однократном делении исходных клеток на 4 части по вертикали и горизонтали, то есть всего на 16 частей.

Такой способ расчета может оказаться более трудоемким, чем предложенный выше основной способ решения, однако он является полностью формализованным и не требует творческих усилий.

Задание #2370

Недавно мы разбирали сложные задачи из вариантов профиля. Но  этому году усложнили ЕГЭ и по базе. Так что сегодня совместно с преподавателем математики
образовательной компании MAXIMUM Education Александром
Дубыниным разбираемся с тремя новыми заданиями.

Задание
№5

Решение.

Для нахождения площади,
приходящихся на озеро Великое, оценим приближенное количество процентов,
которую занимает озеро в каждой клетке:

1 = 35%
2 = 95%

3 = 50%

4 = 2%

5 = 55%

6 = 60%

Задание составляется
таким образом, что при выполнении оценки не должно возникнуть сильных отличий в
большую и меньшую сторону от целого числа для того, чтобы округление было
выполнено по всем правилам математики.

Задание №7

Для его решения вам придется вспомнить основные свойства преобразования функций: тригонометрические,
логарифмические, показательные, иррациональные.

Найдите cos a, если sin a = 0,8 и 90° < a < 180°

Такое задание можно решить несколькими
способами:

1) При помощи основного тригонометрического
тождества

В итоге мы получили два ответа, хотя главный принцип решения части с
кратким ответом – ответом должно быть одно единственное целое число либо
конечная десятичная дробь. Поэтому нам необходимо понять, какое из значений в
итоге должно пойти в ответ.

Для этого обратим внимание на дополнительно условие задания: 90° < a < 180°

То есть угол расположен во второй четверти тригонометрического круга и,
как следствие, дает отрицательные значения для оси косинусов. Таким образом, из
двух значений нам подходит только отрицательное.

Ответ: -0,6

2) Применение упрощающего способа тригонометрии:
использования пифагоровых троек планиметрии, которые работают не только в
геометрических задачах, но и упрощают решение тригонометрических выражений.

Переведем значение
тригонометрической функции к виду обыкновенной дроби:

По определению синуса мы знаем, что это отношение противолежащего
катета к гипотенузе, поэтому можем обозначить полученные значения дроби на
прямоугольном треугольнике.

Мы видим, что в
треугольнике не хватает еще одного значения катета, которое мы можем найти,
воспользовавшись лайфхаком геометрии:

Исходя из первой тройки, неизвестный катет равен 3.

Значит мы можем воспользоваться определением косинуса прямоугольного
треугольника и найти значение тригонометрической функции для того же самого
угла:

Теперь, зная, что угол лежит во второй четверти, добавим знак минуса к
итоговому значению косинуса и получим аналогичный ответ.

Ответ: -0,6

Задание №20

В этом задании мы сразу можем обозначить, что автомобили встретились в
350 км от города A или в 120 км от города B, таким образом мы можем выразить время движения
второго автомобиля, который выехал только спустя 3 часа после начала движения
первого.

Мы сразу можем найти суммарное время движения первого автомобиля, так
как спустя три часа после выезда до момента встречи они оба проехали 2 часа.

3ч + 2ч = 5ч

Первый автомобиль
затратил 5 часов, двигаясь навстречу второму автомобилю, проехав суммарно 350 км.

Найдем скорость первого автомобиля:

При решении текстовых заданий не нужно
забывать, что схема, таблица или рисунок помогут вам обозначить все этапы
движения и при этом не упустить ни одной важной детали при составлении
уравнения. 

На этой странице находится ответ на вопрос На план, масштаб которого равен 1 : 1000, нанесено озеро Лесное?, из категории
Математика, соответствующий программе для 1 – 4 классов. Чтобы посмотреть
другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов
подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью
соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого
интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе.
Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не
только просмотреть, но и прокомментировать.